芻議類比思想在初中數學教學中的應用

曹君

一、導語

類比是初中數學教學中常用的教學方法，本質上建構主義的學習思維。所謂的類比是指讓學生通過對相近公式、定律、例題等進行分析，比較兩者之間的相似處和差異點，進而在此基礎上由表及里、由此及彼推導出結論。初中學段尤其是公辦初中，受制于學生學習能力、思維習慣和學習態度等方面的因素，總體而言，學生數學學習的動能相對薄弱，抽象思維、推導能力均明顯不足?；谶@樣的學情，教師必須從學生能學、會學、善學的角度出發，遵循初中學生在數學學習中的認知規律，從學生有切身感知，有一定學習基礎的方向入手，分階段、有步驟地依據已經學過的知識順理承接到新知識的學習中。只有這樣，才能真正體現以學生發展為本的理念，才能真正實現新舊知識之間的無縫對接，也才能讓學生在潛移默化間掌握新授知識。

《可化為一元一次方程的分式方程》是七年級數學第十章分式中重要內容之一，它既承接了“分式”，又聯系了“方程”，通過類比“分式”和“整式方程”的知識來學習，不僅能加深學生對分式的理解，更能拓寬有關方程的知識體系，從而搭建新舊知識的思維聯系，降低感知的難度，促進知識的有效遷移，從而達到調動學生學習的積極性，培養學生分析問題和解決問題的能力，真正做到提升學生的數學核心素養。換而言之，所謂的類比，一方面承上啟下，在類比方法的運用中推動數學本體知識之間的融會貫通。另一方面，類比方法的運用是學生數學學科能力培養的重要載體，是知識建模、方法遷移、綜合運用的有效途徑，是落實學生學習中的主體地位，體現綠色生態課堂，落實數學學科核心素養的重要環節。基于此，教師依據學校學生實際情況，在《可化為一元一次方程的分式方程》一課中嘗試運用類比方法，對“分式”和“整式方程”在性質、推論等方面進行對比分析，循循善誘，幫助學生找出兩者的共同點和差異性，給予學生拾級而上的臺階，在相互比較中領會知識要點，加深對“分式方程”的理解和認識，通過對比，逐步實現單線知識向多維知識的轉換和遷移，把握數學學習的一般規律，提升學生數學學習的能力和理解水平。

二、案例分析

（一）類比舊知，形成概念

數學的抽象性以及公辦初中學生學力的相對薄弱性決定了在概念教學中，學生常常把握不住概念的內涵和外延，不能領會其本質屬性，從而導致在具體的概念運用中理解不深刻、解題不準確。因此，從學情出發，從學生已有知識入手，運用類比的數學思想，通過已知概念架構新概念的模型，在相對緊密的新舊概念的對比分析中幫助學生厘清概念間的關系或聯系，正確區分其中的差異，明晰兩者之間的關聯是數學概念教學中理解新知的較好方法。

在傳授《可化為一元一次方程的分式方程》一課中，教師以類比切入，在引入分式方程概念的教學中，做了如下設計：

上述愿個式子具有典型特征，部分為方程，部分為代數式。教師設計的意圖在于讓學生在概念的學習中逐步通過觀察、分類、歸納的學習方法，在類比分析中掌握分式方程的核心概念。其一，觀察。教師引導學生觀察例題中式子是否含有等號（即式子是否為等式）。此步驟目的在于讓學生直觀比較代數式與分式方程的差異性，形成思維概念。其二，分類。教師組織學生根據觀察結果，逐步引導學生根據兩者之間的差異進行分類，根據已學知識，自主將式子分為代數式和方程兩類。在此基礎上，教師進一步引導學生根據代數式分母的不同特性，以分母是否含有字母為分類依據再一次進行細分，劃分為分式和整式兩類。此種設計，其意圖在于為后續分式方程和整式方程的精準劃分提供參照依據和思維路徑。其三，歸納。在完成分類的基礎上，教師引導學生根據代數式分類的一般方法，對方程進行分類。此種設計，就是要求學生在觀察、比較的基礎上，找出學習規律和新舊概念之間的邏輯關系和內在聯系，在邯鄲學步和逐層深化過程中，對照舊知，逐步掌握分式方程與整式方程之間的差異。從而在思考、探究、實踐的基礎上，在自主學習中領會分式方程的基本概念。

上述教學思路筆者選取的是學生已掌握并熟悉的整式和分式的概念作類比，且與新授的整式方程與分式方程的概念在研究內容上具有趨同性、相似度。學生通過這一教學活動，既加深了被類比的“整式和分式”的概念的鞏固，又實現了與之相對應的“整式方程和分式方程”的概念的形成、理解。

在上述教學活動中教師充分考慮了不同學生的能力水平，設計了圓分鐘的小組討論，一方面發揮團隊合作的力量，讓學生在思維碰撞和頭腦風暴中加深對概念的認識，提升學習效率。另一方面，小組討論的目的在于將學習基礎相對薄弱的學生融入到集體學習中，通過小組成員的幫、扶、帶幫助該部分學生提升學習自信。在此過程中，教師發揮“導演”作用，提供適當的引導和提示。此環節中，通過師生共同學習、相互促進作用的發揮，在互動交流和自主探究中，學生在潛移默化和環境浸潤、實踐操作中逐步構建了對相應并列概念的理解，同時既溫故、梳理舊有知識，又構建完善數學的知識體系。

（二）類比方法，領會思想

數學學習不僅僅是學科本體知識的習得，更重要的是思想方法的傳授和運用數學知識解決實際問題能力的培養。從這個角度講，類比思想的運用就是數學學習從書本轉向應用，從知識轉化為能力的重要步驟。因此，在解題中應用類比，使新內容的引出顯得自然合理，對同類問題進行縱橫比較分析能加深對問題的理解和認知，不但可使學生溫故知新，而且可以幫助學生更好地理解記憶和運用。

在探索“可化為一元一次方程的分式方程”解法教學中，教師做了如下設計：

顯而易見，上述圓道例題中，例（員）屬于整式方程，例（圓）屬于分式方程。根據已學知識，有關含有分母的整式方程解法的關鍵就是去分母，其步驟為在方程兩邊同時乘以兩邊的最簡公分母，將之轉化為不含分母的整式方程后求解。此種解題思路同樣適合于分母帶字母的分式方程，其解題方法異曲同工。對此，教師在組織學生完成例（員）并分析其解法后，要求學生類比例（員）的解題方法，依樣畫瓢，聯想分式方程的解法，嘗試對例（圓）進行求解。一定程度上說，例（圓）是例（員）的變式，兩者之間存在共同的解法特性。由于有了例（員）解題的邏輯思路，學生一目了然地理解了分母帶字母的分式方程解法的一般方法，順理成章地解決了教學中的難點，順利完成了例（圓）的解題。同時，在此過程中，因為解決了理解上的堵點，學生學習的創造力被充分激發，思維深度得以進一步拓展，在例（圓）解題中，甚至有學生對分式方程的解法提出了更為大膽且理性的思考，即通過對角相乘，類比比例的基本性質（比例內項的乘積等于比例外項的乘積）得出問題的答案。這種通過類比整式方程解題方法，實現分式方程、比例性質等知識之間的互通對接，潛移默化間將所學數學知識融合成了整體，推動了“知識樹”在學生思維中的形成，在類比中強化了學生運用各種知識一題多解，加深了學生對知識之間內在邏輯的認知?？傮w而言，取得了比較好的學習效果。

三、課堂滲透類比思想的思考

類比作為數學教學中常用的教學形式，本質上屬于思想方法的傳授。根本上來說，類比思想在教學中的應用是由表象到本質、由經驗到方法、由單一知識到多維能力的過程。從這個角度講，類比教學應該要充分考慮學生的認知能力，給予學生逐級而上的學習空間。在此基礎上，幫助學生進一步厘清相近知識之間的關系和差異，在發揮學生主體作用、主動探究學習過程中，逐步滲透數學學習的思想方法。

（一）適當設置教學坡度，逐層降低學習難度

在《可化為一元一次方程的分式方程》一課，有關概念引入與解法教學的教學環節中，教師的設計意圖是學生能通過類比舊知，易于轉化總結新授知識。在概念引入部分，學生通過小組討論的方式，將各式進行分類。在學生的小組活動過程中，教師對各個小組討論的觀察中發現，基礎較好且觀察分析能力強的同學很容易將各式按特征進行分類，而基礎較薄弱且觀察分析能力弱的同學則產生了一定困難。這就要求教師在運用類比思想進行設計教學環節時要充分考慮學生個體的差異，設置適當的鋪墊，讓各層次的學生都能進行自主探究活動。

因此，教師對引入部分的分組歸類做了如下調整：其一，針對大部分學力基礎尚可的學生，設置問題串，以可否按照式子中是否含有“越”號進行分類，以及是否可以按照分母中是否含有字母進行分類等問題引導學生進行思考分析。如此設置其目的在于引導學生觀察重點，為其后的自主活動概念類比做鋪墊。其二，針對小部分學習能力較為薄弱的學生，教師從概念入手，要求學生對“方程和代數式”“整式和分式”進行分類，由學生按概念進行類比分析，分類進行填空，在填空的過程中回顧方程、代數式、整式、分式的概念，思考其中的聯系。如此設置將抽象的問題先具體化，學生通過按類填空再去觀察類比，很大程度上降低了自主活動的難度。

課堂教學中滲透類比思想，首先要激活學生的觀察能力，才能激發學生探索、研究新的知識的興趣。在實際教學中，要根據不同學生的能力需要，設置合適的鋪墊，讓學生在自主探究、觀察類比的過程中更具有指向性，真正意義上降低學習新知識的難度。

（二）厘清新舊知識，架構知識通路

從日常的數學教學中，教師認識到，部分學生在數學學習中仍然存在著較大的障礙。分析其原因，固然有學習基礎和學習能力等方面的客觀因素。但是，不可否認的是，學生數學學習方法的欠缺，思維能力的單一化、表象化，對比分析、觀察差異能力的不足以及在數學學習中單方面地將各個知識點作為孤立的問題來學習，而沒有將新舊知識很好地聯系和銜接，從而產生學習上的“孤島效應”是阻礙數學學習成效彰顯的重要原因。

從《可化為一元一次方程的分式方程》一課的學習成效來看，本課運用類比方法傳授新課，打通了新舊知識之間的壁壘，通過不斷對舊知識的溫故循序漸進滲透新知識，達到了比較好的學習效果。在后續的知識檢測中，學生知識的習得水平都達到了較高水準。因此，在數學教學中，運用類比思想是幫助學生將原本看似獨立的知識點聯系起來，由點成線，由線成網，構筑出完整的數學知識體系的重要支撐力量，類比方法的運用深化了學生對知識的理解，加固了學生對知識的掌握。從這個角度而言，架構完整的知識體系需要將類比的思想點點滴滴地滲透到日常的教學中，而不是偶爾為之，在學生不斷學習新知的過程中，運用類比思想能有效對舊知識進行梳理，更有助于學生對知識的內化和吸收，久而久之，學習新知對學生來說便會變得更簡單，由此培養起來的自主探索的能力便展現為學習能力的增強。

（三）培養自主探究能力，內化思想方法

傳統的數學概念教學，以教師的講述傳授為主，相對枯燥、抽象，不易于學生的理解記憶，學習效果不甚理想。本質上，以教師為主體的課堂教學無法激發學生學習中的探究欲望，學生處于被動接受的狀態。因此，新時期的數學教學必須把課堂真正還給學生，讓學生成為學習的主人，只有這樣才能激發學習動力，讓學生掌握學習主動權。本節課對于什么是分式方程這一概念教學，在教學理念上運用類比思想，通過具有規律性、相似性的概念對比，在體系上實現新舊知識之間的互聯共通。在方法上采用小組合作、自主探究的形式。在思維上采用觀察、對比、歸納的思路。通過搭建完整的通路體系，發揮主體作用的學習方法，階梯式的學習步驟，讓學生了解數學知識間的相互關系，使學生的數學知識逐漸形成網絡，同時激發出學生主動探究的興趣，更有利于提高學生的觀察能力和借助已有知識解決新知識的學習能力，真正培養了學生的自主探究能力。

在解題方法的學習探索中滲透類比思想，通過類比含分母的整式方程的解法，聯想分式方程的解法，歸納總結兩類方程解法上的共通點———去分母，從而搭建新舊知識的思維聯系，降低新授知識學習的感知難度，促進知識的有效遷移。數學有豐富的研究領域、問題和方法，形成了很多特點鮮明、作用不同的數學分支，但數學又是一個有機整體，擁有清晰的結構，通過類比思想的滲透，幫助學生有效地將舊知融匯于新知，通過對同類問題進行比較分析，不但加深對問題的理解和認知，而且可以幫助學生更好地記憶和運用。在注重素質教育的今天，教師在重教學結果的同時更要注重過程，學會了教學思想與方法，才能真正意義上提升學生的核心素養。

四、結束語

《可化為一元一次方程的分式方程》一課，教師在概念教學中滲透類比思想，幫學生鞏固舊知，促進新知形成，將新舊知識很好地聯系和銜接，構建完善數學體系；解題方法中滲透類比，幫助學生降低探究新知時的感知難度，促進知識遷移，深化理解解題的數學方法。從本課的教學中，教師深刻地認識到數學教學不僅僅是幫助學生學會解題，更重要的是學習能力的培養。所謂“授人以魚，不如授人以漁?！苯處煵粌H要教學生學會，更重要的是要學生會學。課堂中滲透類比思想，讓學生通過觀察歸納，通過類比、聯想，從舊知去探索新知，讓學生真正在探究中掌握數學學習的方法，這才是數學教學的真諦，也是數學學科核心素養達成的關鍵一步。