關于三次多項式數列的連續多項式分解

楊永剛

（南充市高坪中學，四川 南充 637100）

如果數列通項an是關于自然數n的多項式，則稱數列an是多項式數列.多項式數列連續分解的概念由文[1]首先提出，并指出了這種分解的重要意義，而文[1]提出這一概念是基于文[2]中一習道及其解答[3].由于一般情況的復雜性，文[1]只對二次多項式數列和兩類特殊的四次多項式數列作了具體研究，并得出了相應結果，而對于三次多項式數列的連續分解僅提到，并未作具體研究.本文采用文[1]的方法，對三次多項式數列的連續分解進行研究，并對三類特殊的三次多項式數列給出具體的連續分解性，最后再指出其在求倒數和與一類特殊求商問題中的應用.

定義1[1]對于數列an，若存在數列bn，使an=bnbn+1…bn+k-1（k≥2），則稱bnbn+1…bn+k-1是數列an的一個k階連續分解.

定義2對于多項式數列an，若存在多項式數列bn，使an=bnbn+1…bn+k-1（k≥2），則稱bnbn+1…bn+k-1是多項式數列an的一個k階連續多項式分解，此時也稱多項式數列an可做k階連續多項式分解.

顯然，多項式數列an的一個k階連續多項式分解也是數列an的一個k階連續分解.

定理1若三次多項式數列an能作k階連續多項式分解：an=bnbn+1…bn+k-1（k≥2），則k=3，且bn是一次多項式.

證明：設an=an3+bn2+cn+d（a≠0），則bn不是常數.因為如果bn=h為常數，則bn=bn+1=…=bn+k-1=h，從而an=bnbn+1…bn+k-1=hk為常數，這與an是三次多項式數列相矛盾.設bn=f(n)是關于n的m(≥1)次多項式：

即bn+1,…,bn+k-1也都是關于n的m次多項式，an=bnbn+1…bn+k-1的右邊是關于關于n的km次多項式，而左邊是關于n的3次多項式，故3=km，由k≥2，且3是素數，故k=3，m=1，即bn是一次多項式.

定理2三次多項式數列an=(an+b)3+c（a≠0）不能作三階連續多項式分解.

證明：假設an能作三階連續多項式分解，則由定理1可設

將（1）兩邊展開并整理為關于n的降冪形式得

比較（2）式兩邊的對應系數得

由（3）得d=a，代入（4）解得f=b-a；將d,f代入（5）并化簡變形得a=0，這與a≠0相矛盾，故an不能作三階連續多項式分解.

定理3形如an=an3+bn+c（a≠0）的三次多項式數列能作三階連續多項式分解的充要條件是：a+b=0且c=0.

證明：（必要性）設an=bnbn+1bn+2，其中bn=dn+e，則

比較系數得：

（充分性）由a+b=0且c=0，則

定理4形如an=an3+bn2+c（a≠0）的三次多項式數列能作三階連續多項式分解的充要條件是：b2=3a2且

證明：（必要性）設an=bnbn+1bn+2，其中bn=dn+e，則

比較系數得：

（充分性）由a、b、c滿足則容易驗證（11）～（14）都成立，故有下式成立：

由定理4的充分性的證明立即得下面的定理5.

定理5若三次多項式數列an=an3+bn2+c（a≠0）滿足：b2=3a2且，則an=bnbn+1bn+2，其中

最后，如果三次多項式數列an(≠0,?n∈N*)能作三階連續多項式分解an=bnbn+1bn+2，其中bn=dn+e是公差為d的等差數列，顯然d≠0，bn≠0(?n∈N*)，從而可以求如下倒數和與商：