關于“烙餅問題”教材編寫和教學的研究（一）

劉憲升

[摘 要]針對教材編寫的烙餅問題存在的所答非所問、脫離實際且不科學、違背常識及不是最優方案等幾方面問題，給出了六種既實用且更優化的烙餅方案，并論證了它們在生活中的實際應用。

[關鍵詞]烙餅問題;優化;烙餅方案

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0001-04

新課程改革以來，為了貫徹課改理念及其相關要求，“烙餅問題”作為“綜合與實踐”的內容編入了小學數學教材，人教版教材（簡稱教材）將其編排在四年級上冊第八單元“數學廣角——優化”的第二節。可以說，“烙餅問題”自編入教材起就成了廣大教師鐘愛的內容，如示范課、展示課或公開課，以及教研活動或寫文章等，教師就常常選此內容。究其原因，教師認為烙餅的方法能讓學生有耳目一新之感，不但能啟迪學生的思維，完成滲透數學思想方法的課程目標任務，還能讓學生在課堂上用紙片當作烙餅進行模擬操作，利于實施課程改革所提倡的探究式教學之目的。

自“烙餅問題”編入教材起，筆者就反復研讀《義務教育數學課程標準（2011年版）》（簡稱《標準》）（包括之前的實驗稿）、教材及其配套的《義務教育教科書教師教學用書數學四年級上冊》（簡稱“教學用書”）不下十幾遍，觀看了上百個教學視頻，閱覽了上百份教學設計，讀了上百篇教研文章。經過兩年多的整理及反復修改，寫出了該專題系列文章，主要針對一些爭議問題或共性的問題，與廣大數學教育工作者進行商榷。

由教材關于“烙餅問題”的圖（圖1）可知，教材展示的是“用圓形平底鍋烙3張圓形的餅，且每次最多能烙2張餅，正反兩面都要烙3分鐘。怎樣才能盡快吃上餅？”，通過給出探究的提示語和交替烙餅的最優方案，引導學生探討烙4張餅、5張餅、6張餅……的方法，進而得出教學用書第191頁上提出的規律： “如果要烙餅的張數是雙數，2張2張地烙就可以了;如果要烙餅的張數是單數，可以先2張2張地烙，最后3張餅按上面的最優方法烙，最節省時間。”然而，單從教材內容的設計而言，存在著一些問題。

一、教材編寫存在的問題

1.“烙餅問題”的編寫所答非所問

教材中提出的問題是“怎樣才能盡快吃上餅？”，而給出的烙餅方法回答的是烙完餅的時間，是明顯的所答非所問，嚴格來說是錯誤的。關于這個問題，董桂云在文章《談教學“烙餅問題”》中就指出：“生2說：‘為了能盡快吃上餅，烙好2張餅后，把這2張餅分成幾小塊，3個人先吃著，邊吃邊等第三張餅烙好，這樣3個人能同時較快吃上餅。”可見，這是一個小學四年級學生都能發現的問題。

2.“烙餅問題”設計脫離實際

“烙餅問題”是作為“綜合與實踐”的內容編入教材的，那就要符合《標準》中對該部分內容的要求。《標準》（第4至第5頁）在“（三）課程內容”中提出“‘綜合與實踐內容設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力”。教學用書（第188頁）的教學目標中也提出“體會運籌學在解決現實問題中的作用……，凸顯數學與生活的緊密聯系”。可見，“烙餅問題”既然是解決生活中的現實問題，那么設計就應該符合實際。誠然，“烙餅問題”確實是生活中的實際問題，然而相關的條件、烙法等卻脫離了實際。

（1）問題的條件脫離實際

在火焰大小一定的情況下，烙餅“每面3分鐘”的條件就不切合實際。事實上，烙餅的正面3分鐘能烙好，那烙好反面就不需要3分鐘，烙餅不需要兩面烙同樣長的時間。因為一開始的鍋和餅的溫度基本都是一樣的，而正面烙好時，鍋和餅已經吸收了相當多的熱量，具有了相當高的溫度（一般200 °C左右），反面若再烙3分鐘，供給同樣多的熱量，就會把餅烙煳。當然，數學畢竟不同于生活，作為問題的條件本身就是假設，雖然不太符合實際，還尚能說得過去。

（2）烙餅過程中的依據脫離實際且不科學

在火焰大小一定的情況下，從教材設計的烙餅之探究過程來說，設計提示語“為什么烙2張餅和烙1張餅都用6分鐘？”的目的是促進學生思考與探究。既然如此，就不是后面“每次總烙（? ）張餅”提示語暗示的2張餅“一起烙”能簡單解決的。這樣的設計，限制了學生思考與探索的空間，因為烙好1張餅的一面需要用3分鐘，那同時烙2張餅的一面用3分鐘就烙不好;或烙熟1張餅用6分鐘，同時烙2張餅用6分鐘就烙不熟。其實，在一些數學課堂上就有不少學生提出6分鐘烙不熟2張餅的問題，但都被教師選擇性忽略了。因為，任何人都知道烙餅是需要一定熱量的，火焰供給的熱量只夠烙好1張餅的一面或兩面，那第2張餅需要的熱量哪里來？這無論是從理論還是實踐角度來講都說不通。但從數學簡化問題的角度考慮，雖存在問題，還可算作是比較合理的。

（3）交替烙法既脫離實際又違背常識

教材給出的交替烙餅優化方法存在以下問題：第二次烙餅時，1號餅的溫度已達200 °C左右，3號餅的溫度是室溫，一起烙3分鐘就會出現“1號餅的反面可能烙煳，3號餅的正面可能會欠火候”的現象。同樣，第三次烙餅時，3號餅的溫度達200 °C左右，2號餅的溫度接近或略高于室溫（因從鍋里拿出來晾上3分鐘會散發大量熱量），就會出現“3號餅的反面可能烙或2號餅的反面可能欠火候”的現象。更為重要的是，拿出來“待命”的2號餅，沒烙熟就拿出來，3分鐘后再放入鍋中烙，這張餅有可能會夾生——烙不熟。 “夾生饅頭蒸不熟”可是我國勞動人民長期生活經驗的總結啊！ 楊雨在《如此“烙餅”好吃嗎》中就論述了這個四年級學生也知道的生活常識。董桂云在文章《談教學“烙餅問題”》中也指出，親自按教材的優化烙餅方法烙餅，烙出的餅確實夾生，且“課后讓學生回家詢問媽媽平時是怎樣烙餅的，第二天反饋回來的信息是‘沒有一個媽媽是用交替方法烙餅的”。筆者親自詢問過一些烙餅技術比較好的家庭婦女和烙餅店專門烙餅的多位師傅，他們都說生活中不會按教材上的所謂的“優化”方法烙餅。

3.所謂的“優化”烙餅方法并不是最優烙法

教材上所謂的“優化”烙餅方法不僅脫離實際，還不是最優的烙餅方法。這是因為，即使從數學的角度出發，在先不管所答非所問和夾生的問題，也承認1張餅的正反兩面都烙3分鐘，及烙1張餅和烙2張餅都用6分鐘能烙熟之假設合理的情況下，教材給出的所謂“優化”烙餅方法，無論是單從節省時間上來說，還是綜合節省能源來看，都不是最優的。因為，這種烙法本身就與教材“別讓鍋（空著）”的提示語矛盾——同時烙2張餅的時候鍋至少空著一半。（既實用又更優化的烙餅方法，下文將進一步說明）

由上可知，教材設計存在諸多問題，若是脫離實際的問題，從數學的角度來說還可以理解，因為數學畢竟是對生活的抽象，不可能完全等同于生活，但所答非所問是不應該的，加之烙餅的“優化”方法并不優，那這個設計就有待商榷了，因為這是滲透統籌與優化思想方法的內容啊！

二、既實用又更優化的烙餅方案

稍微有點生活經驗的人都知道以下烙餅常識：在每張餅的面團體積（質量）以及爐灶的火焰大小一定的情況下，烙餅的快慢主要取決于餅的厚度。當然，也與餅每個面的面積大小有關，因其決定了覆蓋鍋底面積的大小，進而決定餅吸熱面積的大小（雖影響熟的快慢但非決定因素），以及鍋底空余的多少（這決定了熱量散發或燃料浪費的多少），而與餅的形狀無關。一塊面團，當搟成的餅面的面積越大時，餅就越薄，烙熟得就越快，熱量散發就越少;當搟成的餅面的面積越小時，餅就越厚，烙熟得就越慢，熱量散發就越多。

為方便論述，先做以下假設：用教材上圖示的圓形平底鍋（其大小不變）烙餅;圖示3張圓餅的厚度相同（這是隱含條件，否則同時烙2張餅不可能同時烙熟），也假設餅的直徑相同（當然可以不同），搟成餅的3塊面團的質量或體積相同;因每次最多只能烙2張餅，故餅的直徑d小于鍋的半徑R（再大了放不下2張餅），但大于鍋半徑的[43-6≈0.928]倍（當r=0.928R時，3張餅兩兩相切并都與鍋的內邊緣相切，可以同時放3張餅一起烙）。另外，爐灶的火焰大小雖然可調，但也假設是不變的，并假設所設計的圓餅每面烙3分鐘，多張一起烙和單獨烙1張的時間相同。

在上述假設下，基于烙餅常識，只要餅的厚度、每個面的面積大小及形狀是可變因素，便可以給出既能節省時間又能大大減少燃料浪費地烙熟3張餅，并且在生活中可以應用的、最優化的烙餅方案。

1.餅的張數和形狀不變情況下的烙餅方案

方案一：把3張餅都搟成和鍋一樣大的餅，一張一張地烙。這時，可計算出：每張餅的受熱面積至少變為原來的4倍，厚度最多為原來的1/4。單從餅的厚度來說，理論上每張餅1.5分鐘就可烙熟;若再考慮到受熱面積的增大，實際上應少于1.5分鐘就可烙熟1張餅。這樣烙熟3張餅最多需要4.5分鐘。

方案二：把3張餅仍搟成圓形且同時烙。把3張餅都搟成圓形，且使它們兩兩相切，并與鍋的內邊緣相切（此時餅的直徑d最大為0.928R（鍋的半徑為R））。這時可計算出，餅的厚度最多為原來的1.16倍，理論上6.96分鐘可同時烙熟這3張餅，還可減少鍋空余造成的燃料浪費。

2.餅的張數不變而形狀可變情況下的烙餅方案

方案三：把3張餅都搟成圓心角為120°，半徑等于鍋的半徑的扇形餅，放在鍋里一起烙（即將3張餅拼成和鍋一樣大的餅）。此時可計算出：每張餅的厚度最多為原來的3/4，受熱面積最少為原來受熱面積的4/3倍，理論上這3張餅一起烙，最多4.5分鐘也可烙熟。

方案四：先烙2張，再烙1張;或先烙1張，再烙2張。把2張同時烙的餅搟成半圓（直徑等于鍋的直徑）形。這時，每張餅的受熱面積最少變為原來的2倍，厚度最多為原來的1/2，理論上3分鐘就足以烙熟這2張餅。單獨烙的1張餅搟成和鍋一樣大，由方案一可知理論上1.5分鐘就可烙熟。這樣， 4.5分鐘也可烙熟3張餅。

3.餅的張數可變而形狀不變情況下的烙餅方案

其實，實際生活中，烙餅一是考慮熟得快;二是考慮省燃料。因此，沒有必要非得烙成3張餅，烙成1張餅或2張餅后再切開吃也是可以的。基于此，還有以下方案。

方案五：把3張餅的面團揉在一起，搟成和鍋一樣大的1張大餅。此時可計算出：餅的厚度最多為原來的3/4，受熱面積為原先3張餅受熱面積的4/3倍，理論上4.5分鐘也可烙熟。

方案六：把3張餅的面團揉在一起，平均分開（此時每張餅的體積或質量為原來1張餅的1.5倍），搟成和鍋一樣大的2張大餅（也可以搟成更多張餅）。此時可計算出：大餅的厚度最多為原來的3/8，每張餅的受熱面積最少為原先1.5張餅受熱面積的8/3倍，理論上2.25分鐘足已烙熟一張餅，4.5分鐘足已烙熟2張餅。

由上可見，若教材上的烙法能烙熟的話，上述方案中，除方案二外，其他方案理論上4.5分鐘都足已烙熟餅。這不僅比教材上所謂的“優化”烙餅法的時間少了一半，而且都實現了餅對鍋底的全覆蓋（符合教材提出的“別讓鍋（空著）”），大大減少了熱量的散發，至少比教材上的方法省一半多的燃料。

值得指出的是，一鍋烙1.5張、2張或3張餅肯定比烙1張餅需要的熱量多，方案二至方案六實際所需時間可能略多于理論值;最后一次烙完都損失一次熱量，但前一張餅烙熟后，鍋本身的熱量可以使下一張餅烙熟得更快一些。故綜合諸多因素來看，方案一應是最優的烙餅方案，方案六、方案四次之。

生活中，在烙3張餅且烙餅次數不限的前提下，應用方案一的人最多，應用方案四的也比較多，常出現在人們烙餡餅時，把面搟成一個圓餅，在一半放上餡后折疊過來捏好再烙。在烙3張餅且一次烙完的情況下，由于方案三所述的形狀難以搟出，人們往往是將其適當變形，搟出面積盡量大的餅，使3張餅基本鋪滿鍋，不太在意形狀;在不限制烙餅的張數，但一次烙完的情況下，人們往往是按照方案五烙餅，然后切開吃;在不限制烙餅張數，也不限制烙餅次數的情況下，人們往往是按照方案一、方案六烙餅（當然餅的張數未必是2張、3張，可以更多）。

特別需要指出的是，上述方案都是給出的烙熟餅的方案，而不是盡快吃上餅的方案。若是盡快吃上餅，在方案一中，1.5分鐘就可使一家三口人吃上餅——把烙好的第1張餅切成三份先吃著，接著邊吃邊烙。

綜上可知，從節省時間和節約能源的角度給出的烙餅方案，都比教材上所謂的“優化”烙餅方法更優，且方法多樣，真正貫徹統籌與優化思想，并都能在生活中得以應用。再者，上述方案中關于餅的厚薄、直徑及每面面積的計算還應用了圓及圓柱等有關知識，體現了數學知識的綜合應用，更符合“綜合與實踐”的內容設置及標準要求。反觀原設計，基本沒有涉及多少數學知識——只是簡單的加或乘，體現不了數學知識的綜合應用。

當然，有的人會說，教材上沒說餅的厚薄、面積或形狀可以變。是的，但教材也沒有說不能變，況且方案一和方案二中每張餅的大小（體積或質量）及形狀都沒變。更何況，這些方案都符合教材“別讓鍋（空著），這樣應該最省時間”的提示。再者，教材也沒有說烙餅烙好一面可以拿出來等會再烙，但給出的烙法不照樣將2號餅拿出來晾上3分鐘再烙嗎？何況這樣烙的餅還夾生呢！難道比餅的厚薄、面積、形狀或張數的變化更合理？只有抓住問題的可變因素進行處理，才能真正體現統籌與優化思想的內涵與實質（詳見研究（二）的分析），如果問題的所有因素都不變，何來的統籌與優化呢？

綜上，由于教材編寫存在的一些問題，按教材進行教學不可能實現教學目標。上面給出的既實用且更優化的烙餅方案，既有利于學生感悟統籌與優化思想，有助于教師實現教學目標，更能說明數學確實“源于生活，又應用于生活”，還可避免課堂上教師面對學生質疑烙餅方法時，茫然無措或出現無法應對的窘相;避免用諸如“數學源于生活，但它高于生活”的大道理去應付學生的質疑。更何況，課程標準中指出的就是讓學生學“有用的數學”“貼近學生實際”的數學;教材編寫也貫徹課程改革的這一理念，且教學用書提出的教學目標（第188頁）還要求“凸顯數學與生活的緊密聯系……增強應用意識和實踐能力”。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數學（四年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3] 人民教育出版社.義務教育教科書數學教師教學用書（四年級下冊）[M].2版.北京：人民教育出版社，2016.

[4] 董桂云.談教學“烙餅問題”[J].中小學數學（小學版），2011（5）.

[5] 楊雨，朱艷麗.如此“烙餅”好吃嗎[J].中小學數學（小學版），2013（3）.

（責編 金 鈴）