關于“烙餅問題”教材編寫和教學的研究（六）

劉憲升

[摘 要]在對“烙餅問題”教材編寫和教學的研究與反思的基礎上，進行了教材的二次開發設計，并給出了該設計在教材中的位置安排和教學目標，闡明設計的思路與意圖，以及設計的優點和不足。

[關鍵詞]烙餅問題;二次開發設計;教學目標;說明

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0013-04

一、教材的二次開發設計

周六，媽媽將和好的一塊面分成體積相等的3小塊，搟成了直徑和厚度都相同的3張近似圓柱形的餅，想用家里唯一的圓形平底鍋烙餅吃。這樣的每張餅，在灶火大小一定的情況下，正面和反面各需烙3分鐘和2分鐘才能烙熟。媽媽在準備烙餅時發現，鍋里一次放不下3張餅，最多只能同時烙2張餅，她自言自語地說道：“1張1張地烙，需要15分鐘;2張一起烙，另1張單獨烙，需要10分鐘。這有點浪費時間和燃料，有沒有更快把餅烙熟的方法呢？”你能幫幫媽媽嗎？

二、教材中安排的恰當位置及原因

1.位置安排

本設計建議安排在六年級下冊圓柱的內容之后，仍以“綜合與實踐”的內容出現。

2.原因分析

首先，此位置安排是考慮到學生已經學習了圓、扇形及圓柱的有關概念、面積和體積的計算等知識，為學生學習與探究烙餅方法奠定了知識基礎。上述設計中的第二種烙餅方案，學生雖然計算不出烙餅的具體時間，但3張圓形餅相切且與鍋的邊緣相切的圖形在人教版教材六年級上冊的第66頁中已經出現，甚至出現了4個圓相切的圖形。

其次，此設計及位置安排更能體現“綜合與實踐”內容設置的要求和目標。與教材設計只涉及簡單的加法或乘法，沒有數學知識的綜合運用相比，更有利于實現課程目標。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“（三）課程內容”中提出：“‘綜合與實踐內容設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題”，“綜合與實踐……，學生將綜合運用‘數與代數‘圖形與幾何‘統計與概率等知識和方法解決問題”;在總目標的“問題解決”中提出“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題”，“通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯系，獲得數學活動經驗。”這些要求都充分說明了“綜合與實踐”的內容設置應注重知識的綜合運用，教材的二次開發設計就充分體現了這一點。因餅的厚度、底面面積的計算，既涉及圓、扇形的有關知識，也涉及圓柱的有關知識及體積的計算，還涉及“數與代數”和“圖形與幾何”兩個領域的知識，真正體現了知識的綜合運用和知識間的聯系。

由上可見，此教材的二次開發設計的位置安排是科學的，有利于實現課程目標。

三、教學目標

根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求和上述教材的二次開發設計，提出教學目標如下：

1.通過烙餅這一生活事例，使學生初步體會運籌學在解決現實問題中的作用。

2.讓學生從影響烙餅快慢的主要因素出發，抓住問題的可變因素，綜合運用圓、圓柱等有關知識，自主探究烙餅的方法，體驗解決烙餅問題策略的多樣性，培養創新意識，并在尋求解決問題最優方案的過程中積累數學的基本活動經驗，感悟優化的數學思想。

3.通過烙餅這一生活事例，讓學生感受數學與生活，以及數學知識間的緊密聯系，認識數學的價值，使學生初步形成從數學的角度發現、提出問題的能力以及綜合運用數學知識分析、解決問題的能力，增強應用意識和實踐能力。

四、設計說明

1.情境創設既符合實際，又給學生留下了探究的思維空間

首先，情境創設呈現了真實的家庭生活景象。一是絕大多數學生在家庭中都看到過烙餅，比較熟悉。二是餅的正面和反面各需烙3分鐘和2分鐘的假設，是基于餅搟出來后“這樣的每張餅”提出的（而不是任意一張餅的一面都烙3分鐘或2分鐘），且基本符合“烙餅的反面大約需要烙正面三分之二時間”的生活事實。三是問題的提出也比較自然且符合事實。這是因為，媽媽可能由于比較忙，一時疏忽，搟成的餅不能一鍋烙，從而出現一鍋烙1張或2張而導致時間和燃料浪費的問題，且有點自責的自言自語，于是就有了改進烙法的想法，問題自然而然呈現了出來。

其次，暗示了影響烙餅快慢的主要因素，給學生留下了廣闊的思維與探索空間。一是強調“這樣的每張餅”，暗示浪費時間和燃料是由餅的大小（厚度、底面面積）或形狀造成的，給學生留下了可以改變餅的大小或形狀的思維空間;二是問題“有沒有更快把餅烙熟的方法呢？”既沒有強調餅的大小，也沒有強調餅的形狀，更沒有說必須烙成3張餅，而是只要盡快烙熟就行，給學生留下了餅的大小、形狀、張數均可變的廣闊的思維空間。

最后，情境創設中還隱含了必備的前提條件。一是“唯一的圓形平底鍋”說明了鍋是圓形的，且沒有其他鍋可用，是唯一不變的;二是“灶火大小一定”。這些假設是進行探究的必要條件，若少了這些條件，學生就有可能提出用一個大鍋，或把爐灶火開大的想法。

2.引導語的設計科學，不僅具有啟發性，還有利于學生掌握或形成科學有序的思維方法

引導語主要用一男生想問題的方式出現，對學生具有示范效應。當然，也伴有教師的引導。

首先，男生和教師的第一條引導語，目的是啟發學生遇到問題時，要從影響問題解決的主要因素和可變因素出發進行思考;抓住各種可變因素進行統籌考慮，進而提出解決問題的方案。

其次，男生的第二條引導語到第四條引導語，目的是引導學生進行科學有序的思考。當要解決的問題中可變因素較多時，所有因素一起變就不好控制，不利于、不便于確定解決問題的方案。因此，引導語就抓住“讓餅的厚度變化”這一影響烙餅快慢的主要因素，對其他因素進行有效和合理的控制——讓部分因素保持不變，部分因素變化。這既避免了學生的盲目探索，有利于形成科學、有條理的思維，又可讓學生領悟處理復雜問題的方法——控制變量法。同時，也有利于教師對課堂的控制，進而實現教學目標。

最后，男生的第五條引導語和教師的第二條引導語，目的是促進學生比較、思考，進而認識到雖然方法多樣，但要從時間、資源和實際應用角度考慮，還要優中選優，進而獲得最佳的方法，有利于學生領悟統籌與優化思想。

3.探究結果的設計既具有啟發性，又具有示范性

學生探究的結果用一女生回答問題的方式給出。其中，第一、四、五、六條探究結果以填空的形式出現，目的是促進學生動腦，應用所學知識解決問題。第二、三條探究結果直接展示，目的是展現思維的模式，對其他探究具有示范性，有利于學生進行其他探究和掌握思維方法。特別值得指出的是，第三條探究結果的設計沒有明確的結果，只是給出了估計范圍，一方面是因為學生不具備初中數學知識，算不出來;另一方面是告訴學生問題探究不一定有明確的結果，尤其在實際生活中，像烙餅這樣的問題，大多數人是不會應用數學知識進行科學計算的，而是靈活應用數學思想與方法，結合估計處理問題。如，人們烙餅時不可能將其搟成圓心角為120°的扇形面餅，也不可能和第三條探究結果一樣將餅變厚，而是將這兩種方法結合起來，把三張餅變形后使其變薄，且盡量把鍋鋪滿，雖然3.75分鐘烙不熟，可也多用不了多少時間。這既體現了數學的應用，也避免了學生在生活中機械地應用數學知識。因為，生活中的大多數問題是不能機械套用數學知識的。這樣的設計，有利于學生形成對數學應用的科學認識，能有效避免數學無用論的傳播 。

（第一、四、五、六條探究結果填空答案如下：

一、厚度，厚，薄，面積，厚度、底面的面積、形狀、張數;

4.烙餅的方法具有開放性，有利于學生形成創新意識，感悟統籌與優化思想方法

教材二次開發設計中的烙餅方法具有開放性，這充分體現了《義務教育數學課程標準（2011年版）》在總目標的“問題解決”中提出的，要使學生“體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識”的要求，也符合前面教學目標的要求。這有利于課程目標及教學目標的實現。

設計抓住了“餅的厚度”這一影響烙餅快慢的主要因素，以及厚度、形狀、張數等可變因素，從數量和形狀兩方面體現了運籌學的實質。烙餅方法的開放性、多樣性，為方法的比較，進而優中選優提供了前提條件，有利于學生對優化方法的領會與理解，有利于學生對統籌與優化思想方法的領悟與掌握。這一點最后用教師小結的形式總結了出來，不僅達到了理論的升華，還借助成語說明了運籌學來源于實踐及應用的廣泛性和重要性。

5.“想一想”的設計有利于學生體會、認識和靈活應用數學知識

“想一想”不只是讓學生探討其他烙餅方法。其中，不一定計算出具體的烙餅時間的提醒，是為了讓學生靈活應用數學知識與思想方法，并與實際相結合（如給出將第二、三種方法結合起來的烙法），避免機械地套用數學知識與方法，形成對數學應用的科學認識。

6.設計的不足

首先，雖然六年級的學生具有較強的閱讀能力，但設計的文字敘述較多。依據學生的閱讀能力，按理問題不大。因為，人教版教材六年級下冊不少內容的文字敘述都有幾百字。如負數、稅率、利率的介紹等都達到兩三百字;綠色出行從介紹到提出問題有近五百字;就是一個練習題有的也達一兩百字，如第83頁的第13題。

其次，與原設計相比，教材二次開發探究注重的是知識的綜合運用和動腦的設計，以及大腦的思維探索。雖然需要動手進行計算，但單純的動手操作設計太少。

第三，此教材二次開發設計，青島新區香江路第一小學的劉慧老師已給六年級一個班的學生講授過，絕大多數學生能夠接受，但缺乏大面積的實驗，故教學效果如何還需要實驗驗證。

最后，考慮到篇幅，沒有設計有關練習。教學時可適當配一些相關練習題。

需指出的是，情境創設利用了人教版教材四年級上冊的截圖。

【本文系濱州市教育科學“十三五”規劃2020年度立項課題“小學數學‘綜合與實踐領域教材編寫與優化研究——以人教版第二學段數學教材為例”（BJK13520-109）成果之一。】

（責編 金 鈴）