關于“烙餅問題”教材編寫和教學的研究（二）

劉憲升

[摘 要]分析教材編排的“優化烙法”不合情理的原因：沒有從整體出發，沒有抓住主要可變因素（厚度、面積及形狀等）進行優化，只是抓住了“交替烙”這一可變因素進行優化;更深層次的原因是對統籌與優化思想理解的偏頗。

[關鍵詞]烙餅問題;優化;主要因素

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0004-02

《關于“烙餅問題”教材編寫和教學的研究（一）》分析了教材編寫存在的一些不足，下面就分析和探討教材如此設計的原因。

一、達成優化烙餅方法受諸多隱含條件的制約

由教材（圖1）可知，“烙餅問題”的條件為：①用圓形平底鍋烙圓形的餅;②每次最多只能烙2張餅;③兩面都要烙，每面3分鐘;④烙3張餅。問題是“怎樣才能盡快吃上餅？”其實，在這些條件之下很難得出教材圖示的優化方案。因為，要讓學生探究出教材設計的烙餅方法，不僅需要把問題改為“怎樣才能盡快烙完餅？”，還需要一些條件做保證。

首先，條件①只是由圖示得出的，教材并沒有強調這一條件。這一條件的合理性是建立在人們的習慣性思維或思維定式之上的。否則，學生就有可能抓住這一點進行思考，得出更優化的烙餅方案。例如，李茂林在《如何在小學數學教學中處理好數學與生活的關系——教學“烙餅問題”一課的思考》中指出，有的學生把第3張餅切開，填補到鍋的縫隙中，說出充分利用能源和空間的3張餅同時烙只需6分鐘的方案，這豈不比教材的烙法更好？故“用圓形（唯一不變）平底鍋烙餅，且餅是圓形（不變）的”這一條件必須明確，在此前提下，其他條件才有意義。

其次，對于條件②“每次最多只能烙2張餅”，要讓學生知道可以同時烙2張餅，這樣就能達到教材提示的“每次總烙2張餅就最省時間”。當然，作為數學問題的條件假設無可厚非，可與實際問題相結合得思考為什么做此假設，假設的合理性何在，最起碼得讓學生考慮到“鍋里不能同時放3張餅”這一隱含條件。嚴格來說，研究（一）中已提到“在圖示圓形平底鍋大小不變，在3張圓餅直徑相同”的情況下，餅的直徑最大為鍋的半徑，但應大于鍋半徑的[0.928]倍時，才不能同時放3張餅。若缺少此隱含條件的限制，鍋里就有可能同時放3張餅，一起烙6分鐘即可。如圖2所示的3幅教學視頻截圖，學生一眼就可看出：鍋里不僅可以同時烙3張餅，甚至可以同時烙4張或更多張餅（更有不少教師讓學生用小圓紙片或小手當餅，用課桌面或黑板當鍋）。因此，在這樣的教學過程中，當教師讓學生探究烙3張餅最少需要多長時間時，就有學生說是6分鐘。雖然學生的結論是源于觀察或直覺，但觀察也是學習數學或發現數學的重要方法。遺憾的是，由于不合教材或教師的設計套路，大多數教師都無視學生“6分鐘”的回答;個別教師雖然讓學生說想法，可當學生說同時烙3張餅時，就會被教師強調一次最多只能烙2張餅懟了回去。這樣，既制約了學生觀察能力的發展，又約束了學生的思維，教師也失去了思考機會，不利于教學相長。

最后，條件③“兩面都要烙，每面3分鐘”也不只是一個簡單的條件假設。因為要同時烙2張餅，并能同時烙熟且不煳，一個必要的、關鍵的前提條件是餅的厚度（基本）相同。否則，就不可能同時烙好、烙熟。其實，在火焰大小一定的情況下，餅的厚度才是影響烙熟快慢及2張餅同時烙熟的主要因素（可參考研究（一）中更優化烙餅方案的論述）。

綜上，搟成的3張餅只有在滿足上述的隱含條件，且認可餅的正反兩面都烙3分鐘，及烙1張餅和烙2張餅都用6分鐘能烙熟的假設，再加上圓形平底鍋及爐灶的火焰大小一定且每次都烙2張餅的條件下，才可能出現“交替烙”和“不交替烙”這兩種不同烙法的比較，才能滿足教材上所謂的優化烙餅方法——9分鐘烙熟3張餅的時間最省。因此，若按照教材的思路設計教學，就需要處處控制學生的思維，這與教學目標是相悖的。簡單地說，教材編寫的優化烙餅方法是在添加諸多不可變隱含條件下的一種被逼無奈之不合情理的選擇，而不是抓住烙餅過程中的可變因素進行統籌與優化的主動、理性、科學思考的結果。再者，不少教學都把教材的最多烙2張餅改成了每次都烙2張餅，這說明教師也發現了這一問題。當然，教材編寫有可能是考慮到學生的實際情況，故不可能列出這么多條件限制。

二、對統籌與優化認識的偏頗是教材如此編寫的根本原因

統籌，顧名思義，是指通盤籌劃或統一籌劃。而統籌的前提是要解決的問題必須存在一些可變因素，這樣才能提供統籌的可能與空間。否則，若要解決的問題中一個可變因素都不存在，那就失去了統籌的可能性。如，烙餅問題若規定了每張餅必須烙熟才能出鍋，那教材給出的優化方法就不存在了;沏茶問題若規定必須用燒開的水燙茶杯來殺菌，那茶葉就不能在燒水的時候提前放了;田忌賽馬若規定必須用同等級的馬進行比賽，孫臏就沒有了運籌的空間。因此，統籌的首要任務就是從要解決問題的整個過程或全局的角度，去觀察及思考問題中有沒有可變因素，有哪些可變因素，哪些可變因素更合情合理，以及可變因素之間的關系（如前后邏輯關系、并行關系等）;然后，統籌考慮這些可變因素，尤其是抓住合理的可變因素進行運籌，提出或制訂不同的解決問題的方法，展現解決問題方法的多樣性，為解決問題提供比較和選擇的機會與空間，進而選擇或確定最優化的解決問題的方法;最后，按確定的最優方法統籌安排解決問題的具體過程，實施并獲得問題的解決。這樣，只要可變因素考慮得全面，就不會顧此失彼，不因小失大，使問題得到圓滿解決。

從上面的分析可以看出，觀察、思考問題中的可變因素是統籌的前提，綜合可變因素及其之間的關系進行運籌，并提出不同解決問題的方法是統籌與優化的關鍵，選擇并實施最優方法解決問題是統籌與優化的過程和結果。總之，統籌是從開始到結束的解決問題的過程，優化只是其中的比較選擇環節。從數學的角度來說，數學問題的可變因素主要有兩方面：一是數量的變化;二是形式的變化。因此，統籌作為一種數學方法，其過程之本質是抓住要解決問題的各種數量關系（比如餅的厚度和每個面的面積等）和空間形式（如餅的形狀）的可變因素及其之間的邏輯等相互關系進行運籌。只有運籌到位，才有比較、優化選擇的可能，才能給出最優化的解決問題的方法。

基于上述認識，教材的編排沒有從全局——整個烙餅過程的角度進行統籌，忽略了搟餅的過程（這是數量關系和空間形式變化的關鍵），只抓住了烙餅過程中的部分程序（交替烙）進行優化。從哲學的角度講，就是沒抓住主要矛盾（因素），而是抓住了次要矛盾（因素）;只抓住了部分，而忽略了整體。因此，教材編寫的所謂優化烙餅方法脫離實際，違背常識，且不是最優方法就不足為怪了。

冒昧揣測，教材之所以如此編寫，可能與華羅庚先生的科普作品《優選法評話及其補充》及《統籌法評話及補充》中，所舉工農業生產中的實例大都是工序安排問題有關。須知，統籌不只是工序問題，統籌或運籌也不只是數學方法，只是現代才明確為一門學科（運籌學）或方法（統籌法）。眾所周知，古代勞動人民沒有多少數學知識，但在生活中解決問題時也需要運籌，成語“運籌帷幄”就是現今運籌學的實際應用。再者，就是工序問題，搟餅當然也是工序之一，且是最重要的、最先開始的工序，那為什么不考慮？當然，教材編寫也有可能是在引用別人的舉例時忽略了問題的條件而簡單搬移的結果。

值得指出的是，小學數學內容雖然簡單，但數學教育工作者切不可麻痹大意。這不僅因為小學數學對學生學習數學有著啟蒙的作用，還有著開啟思維促進能力發展的作用。再者，小學生的思維更活躍，發散性思維和創新思維也更強，甚至會有一些奇思妙想，如果數學教育工作者對教材及教學設計淺嘗輒止，浮于表面，流于形式，那就有可能出現教師面對學生質疑時只能尷尬應對的局面，甚至會束縛、禁錮或影響學生思維能力的發展。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數學（四年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 李茂林.如何在小學數學教學中處理好數學與生活的關系：教學“烙餅問題”一課的思考[J].課程教育研究，2016（9）.

[3] 董桂云.談教學“烙餅問題”[J].中小學數學（小學版），2011（5）.

[4] 聞浩.“數學烙餅”豈能吃[J].教育實踐與研究（A），2011（2）.

【本文系濱州市教育科學“十三五”規劃2020年度立項課題“小學數學‘綜合與實踐領域教材編寫與優化研究——以人教版第二學段數學教材為例”（BJK13520-109）成果之一。】

（責編 金 鈴）