分數的再認識，新視角下要有新高度

李軍良

[摘 要]分數的含義豐富，學生初次認識分數時，只能觸及皮毛，明白分數是部分與整體的比例就已經很難得，但再認識分數時，就要清楚分數與它在具體情境中與所指代的實際值的對應關系，即與整體單位“1”存在一個復雜的“三角關系”。

[關鍵詞]分數;回顧;探究;深化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0054-02

“分數的再認識”教學目標：探究分數中“部分與整體的關系”“量與率”的匹配關系;明確“單位1”直接決定分數指代的實際值;結合具體的情境，使學生明確“分數背后的‘整體不同，它所指代的實際值也有區別”，并能正確解釋分數的意義。教學重難點：指引學生明確分數背后的“整體”不同，實際值也有區別。

一、探究操作，回顧舊知

師（板書分數“1/2” ）：請大聲念誦，并舉例闡述其意義。

生1：我把一盒糖果均分成2份，取走1份，取走的部分是所有糖果的1/2……

（板書：整體與部分之間的包含關系）

師：大家在三年級就學過分數知識，都掌握得很扎實，下面將進一步揭開分數的面紗。

[活動一]拿取

師（出示兩個筆盒）：筆盒里裝有多少枝彩鉛，你們知道嗎？

師：看來大家都不知道。下面請兩位同學分別取走這兩盒彩鉛的1/2，拿到就算自己的。

（兩位男生都取走了4枝彩鉛）

師：這還有一盒彩鉛，請一位女生來取走1/2。

師：剛才男生取走的是4枝彩鉛，這位女生取走幾枝彩鉛？還會是4枝嗎？

（女生取走了3枝彩鉛）

師：比比他們拿走彩鉛的數量，有什么古怪沒有？

生2：兩位男生取走的都是一盒彩鉛的1/2，都是4枝。

師：表明他們兩位拿到手的數量相等。

生3：男生取走的彩鉛多于女生。

師：說明男生和女生拿取的數量不同。

師：你們真是火眼金睛、目光如炬，其中有什么蹊蹺嗎？

生4：同樣都是取走一盒彩鉛的1/2，為何第一次兩人得到的枝數同樣多，第二次的枝數卻與前兩人不同？

師：盒子里裝的彩鉛具體是多少呢？

（學生充分商議后，再驗證盒子的包裝容量）

師：同一個分數，背后的整體相同，它所指代的實際值也相等，背后的整體不同，所指代的實際值也不同。

[活動二]看一看

課件展示：趙華和李亮閱讀的情境圖。

師：他倆看的是同一本書嗎？

生（齊）：不是。

師：那誰看的頁碼多一些？

生1：同樣都是看了全書的1/3，對應全書的總頁碼大，1/3所指代的頁數就多，對應全書的總頁碼少，1/3所指代的頁數就少。

師：大膽假設。假若趙華看了全書的50頁，李亮看了全書的5頁，你們知道李亮所看的書的總頁碼是多少嗎？趙華呢？

生2：同樣都是看了全書的1/3，看的實際頁數越多，說明1/3對應的全書總頁碼數就越多。

師 （與剛才取走彩鉛的女生握手） ：剛才你表現很出色。請用一個分數來表示她拿走的彩鉛所占的份數。

師：同樣一個人，為何能用不同的分數表示呢？

生3：同一個實際值，它背后的整體不同，采用的分數也有差別。

為了揭示分數的深刻內涵，在簡單回顧分數形式后，教師直接切入正題，通過活動讓學生切身體會到同一個分數1/2對應的實際數量不盡相同，引發學生直觀上的認知沖突，促使學生產生一探究竟的解密動機。在深究下，學生發現分數背后的整體（一盒彩鉛的包裝容量）起決定性作用。接著，教師進一步升級難度，讓學生通過分析兩人看書的頁碼數，來推算全書的總頁數，同一看書進度下，1/3對應的實際數不同，背后隱藏的總頁碼數也不同。這樣一來二去，雙向疏通，分數與整體和部分的“三角關系”展現得淋漓盡致。

二、動手創造，深化認知

課件出示：一個平面幾何圖形的1/4是一個邊長為1厘米的小正三角形，請你復原全圖。

師：請動手畫一畫。

（給學生充足的畫圖時間，然后展示學生各種各樣的畫法，并簡單解說畫圖思路）

師：一個圖形的1/4是一個邊長為1厘米的小正三角形，那么就是把原圖等分成4份，其中一份為這樣的小正三角形，4份就是4個這樣的小正三角形的拼圖，所以原圖只要含有4個這樣的小正三角形就行，形狀不限。

出示拓展題：為幫助武漢感染新冠肺炎的病人，李亮捐助了自己積蓄的1/4，馬芳捐助了自己積蓄的3/4，馬芳捐獻的金額肯定比李亮多嗎？請陳述理由。

師：倘若李亮的捐助額是40元，馬芳的捐助額是60元，他倆誰的積蓄多？

（讓學生分清“定量”與“變量”）

師：這節課我們重新認識了“分數”，你有什么新看法？

為了進一步深化學生的認識，教師采用抽象化手法，先讓學生通過分數1/4和它所對應的實際量，自主創造整體圖;然后進一步抽象，制造反差，列出兩個不等的分數1/4和3/4，讓學生進一步深刻認識到，分數值大小不能代表實際值大小，一定要考慮到背后的總量;最后通過40元與60元的直觀差距，制造直覺與現實的落差，讓學生明白60元背后的整體是60÷3/4=80（元）（馬芳），40元背后的整體是40÷1/4=160（元）（李亮），40背后的整體大于60背后的整體。這種反轉的真相，深刻揭示了整體大小受到實際值與對應分數的雙重制約。

三、回顧反思，常看常新

教師務必要潛心鉆研教材，做到洞若觀火，吃透教材，洞穿編者的編寫用意。在初次設計教學時，筆者扭曲了編者的真實意圖，甚至是枉顧編者的用心，所確立的教學目標扁平單薄，片面以為只要設法讓學生悟透“整體相同則同一分數指代的實際值也相同，整體不同則同一分數指代的實際值也不同”，則“整體與部分”的關系就水落石出;對教材上的例題也存在誤解，淺薄魯莽，沒有探查到例題背后別有洞天。在對教材進行深度解剖后，教學效果直線上升。

教學過程中，在學生動手“畫圖”時，筆者不停巡查督導，有位男生給筆者展示了他的畫法，對這道題預設出9種圖案的筆者，卻遺漏了這位男生的畫法。筆者當時判明他的畫法有誤，不符合要求，為了不挫傷他的積極性，便委婉地讓他下課后再斟酌斟酌。課后，筆者反復思量，發現該男生的畫法簡直是腦洞大開，不失為一大創舉，雖然不符合此題的要求，但是也有閃光點。當時不該急于否定和排除，應該把這種畫法當成一種生成性的教學資源，供全班商討交流，學生完全有能力推出正確結論，而且可以深化和鞏固大家對“分數單位”的理解。但因為害怕節外生枝、局面失控，難以收拾殘局，筆者埋沒了這么重要的教學資源，實屬遺憾！今后再碰到這種完全超出意料之外的偶發狀況，教師在課中更要有敢于讓學生申訴和申辯的氣度與胸襟，當然還要有救場的措施和魄力，哪怕是學生荒誕的鬼點子，因為那也是智慧的靈光！

這堂課存在一個瑕疵，即練習設計時考慮到了開放性和延展性，卻輕視了練習題組的梯級性和層次性，沒有充分利用課本上的配套習題，沒有體現練習從具體到抽象，再回歸抽象的循環交替過程。因此，上新課時，不能只局限于當堂課新授環節的研磨，各個環節是有機整體，都要均衡發展，嚴防出現短板效應，練習設計要有層次性，由易到難，由具體到抽象。只有為教學目標的落實做好一切準備，周全細致，才能真真正正上好一堂課！

（責編 童 夏）