“弧度制”課堂教學反思與重構

周建平

[摘 要]從引入、建構、抽象概括、提煉表述、應用理解、感悟等環節對《弧度制》一課進行教學反思與重構，能為教師的教學設計提供參考.

[關鍵詞]弧度制;教學;反思;重構

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0008-03

“弧度制”是繼任意角后，對角的又一次深入學習與認識.弧度制的本質是用線段長度度量角的大小.這樣的度量統一了三角函數自變量和函數值的單位，為我們進一步研究三角函數奠定了基礎.結合弧度制在教材中的地位和作用，從歷史和知識本身的角度思考概念，進行文本解讀，深刻領會其內涵，可以發現弧度制有著極高的教育教學價值.從引入、建構、抽象概括、提煉表述、應用理解、感悟思想等環節完整地體現數學概念的形成過程.借助教學內容，學生有自我發現、自主探究、合作交流、感悟知識和方法的獲得過程.可以說其是發展學生數學核心素養的極好素材.

一般來說，概念作為最基本的數學知識，它的教學通常分為三個環節.第一，認識概念的來源.即根據學生已有的知識和經驗來建構學生知識理解的認知基礎.這一環節通常伴隨著直觀感知、模型想象的思維活動，指向了數學核心素養中“直觀想象”素養的發展.第二，概念的抽象.即在概念對象原型直觀感知的基礎上抽象和概括出概念的特征、要素、關系以及數學表示方法，從而建立概念的認識.這一環節指向了數學核心素養中“數學抽象”素養的發展.第三，概念的應用.這一環節的應用不是在復雜情境的綜合應用，而是針對抽象概念對象的原型的直接應用，進一步理解概念的本質，建立起對概念比較完整的認識和理解.

下面筆者就圍繞對弧度制的理解，在上述教學三環節基礎上來審視弧度制概念的教學，并就教學內容及其方法在反思的基礎上做出重構.

一、創設情境，引入概念

弧度制如何有效引入？在教學過程中，如何讓學生體會研究弧度制的必要性，明確概念發展的意義？部分教師在情境創設、課堂引入環節的做法需要我們分析和探討.

1.教學現狀及反思

情形1：通過系列探究問題引入新課.比如：

問題1：[30°+sin30°]等于多少？

意圖：引發學生認知沖突，讓學生意識到角度不是實數，不能在角度和角度的三角函數值之間進行運算.

問題2 ：你能找到一個合適的實數來度量30°角嗎？

意圖：讓學生將30°角放在扇形中，圍繞30°對應的弧長以及半徑這兩個量來思考探究，然后再一般化，形成相關結論.

分析：問題1揭示的現象正是弧度制產生的根源性問題.哪里來的這個問題？為什么要研究這樣的問題？學生完全不清楚，被教師牽著鼻子走，沒有體現學習自主性.問題2的探索，可以說學生完全沒有方向，此時，將角放在扇形中來思考只是教師的一廂情愿.這種引入，沒有為概念對象提供直觀感知材料或想象的模型，后面概念的抽象也就無從談起.

情形2：借助學生熟悉的自行車，將大小齒輪和連接的鏈條中蘊含的圓心角、圓心角所對的弧長和半徑巧妙地聯系在一起，使學生比較直觀地看到同弧長時，半徑和圓心角的關系（如圖1）.半徑相同（同一圓中）時，變化弧長，相應的圓心角也隨之變化.進而引出本節課所要探究的問題：保持圓心角的大小不變，探究它所對的弧長與相應半徑之間的關系.這樣的引入，從生活中提煉數學問題，容易引起學生的共鳴，符合情境創設的原則.但遺憾的是它帶來的問題并不是本課概念需要探究的問題，是一個間接性問題.這樣從投入的時間和精力以及效率上來看得不償失，值得商榷.

2.有效重構

有效的教學情境要包含數學問題，并且要有利于學生提出問題、解決問題.弧度是建立在扇形圓心角基礎上，從圓心角、弧長、半徑三者關系中分析抽象出來描述圓心角大小的概念，應該設計一個既包含圓心角、弧長及半徑又符合學生認知規律的情境引入新課.

問題情境：按照國際標準，學校鉛球場地投擲區是一個圓，落球區是一個以圓心為頂點的角（根據比賽對象的不同，在角內畫出多條弧線），如圖2所示.

問題3 ：現只有皮尺，你能測算出這個角的大小嗎？

從學生小組的計算方案來看，他們都是采用弧長公式，從中解出圓心角的角度數[n=180lπr].各組將測量到的弧長及相應半徑的值分別代入，計算出n的值分別大約為34.6，35.1，34.8，35，推斷落球區角度應該約為35°，經查證與國際標準一致，誤差是由測量引起的.

鉛球比賽是學生比較熟悉的，提出的問題學生也比較容易聯想到扇形中的弧長公式，達到了通過情境引出問題的效果.

二、經歷過程，建構概念

這一環節是概念的形成階段，在對原型直觀感知的基礎上抽象和概括出概念的特征、要素、關系以及數學表示方法，從而建立概念的認識.在概念知識對象的來源階段，教師為學生提供的應該是包含圓心角、所對弧長及相應半徑的一個扇形，通過適當的問題，引領學生探究交流.教師對知識的理解和把握往往制約著該環節的實際效果.

1.教學現狀及反思

情形1：對上述情形1中問題2，在扇形中將角度一般化，如圖3.教師引導學生思考：弧長l和對應半徑r與圓心角[α]之間有怎樣的關系？通過直觀感知，學生基本能夠確定單一的弧長l和半徑r不能用來刻畫角[α]的大小.接下來用弧長l和半徑r的比值[lr]來確定角[α]的大小，學生茫然.有的教師利用扇形分別是半圓和圓周時比值[lr]是定值來推測，既沒道理也不可能完成證明.學生無法完成概念的抽象，主要是缺乏有效的探究活動支撐.

情形2：有的教師啟發學生：同一個圓心角，它所對的弧長與相應半徑總是成對出現的，將以半徑值和弧長值構成的數對對應的點放到平面直角坐標系中進行觀察研究，你能發現什么？然后，通過多媒體技術發現所取的數對對應的點幾乎都在過原點的同一條直線上，也就是說[lr]是一個定值.為了避免偶然性，教師再讓學生設定一個半徑的值，通過[lr]的值求出弧長l 的值，驗證此時對應的點仍在直線上.這樣的探究，我們認為教師的設計有引領過度的嫌疑，學生的參與是被動的，缺少他們自身的探究發現活動，對于[lr]是一個定值仍將信將疑.

2.有效重構

在數學概念建構過程中，教師把對知識的深刻理解，轉化為教學設計，讓學生經歷歸納、概括的“數學抽象”過程，是發展數學核心素養的需要.

接上述有效重構，各組測量的弧長l及相應半徑r的值均不同，為什么算得n的值卻都相同？

學生觀察式子[n=180lπr]，體會運算流程，抽象形成新的認識：[n=180π·lr]同一個圓心角，盡管 l與r不同，但對應的比值[lr]卻都相同.也就是說，對于一個圓心角，它所對的弧長與相應半徑的比值是一個唯一確定的值.獲得這樣的認識，是弧度概念形成的關鍵.有了較為有效的發現活動支撐，學生的抽象感悟對圓心角公式的結構特征有了進一步的認識.

問題4： 在上述認識基礎上，大家還有什么想說？

生：對于其他扇形內的圓心角，相應的[lr]也都是定值.算出[lr]代入[n=180π·lr]后，得到了圓心角的角度數，表明算出[lr]后，圓心角的大小實際上已經確定了.

至此，本課最關鍵、最核心的認知已經形成.學生感悟到圓心角的大小其實可以用弧長與半徑的比值[lr]來確定，可直接用[lr]來反映圓心角的大小.學生通過這次抽象獲得了對弧度初步的認識.

考慮到概念蘊含的數學文化，介紹歐拉用半徑來度量弧長，用[lr]表示圓心角的大小，并將這種度量角的方法稱之為“弧度”.這不僅統一了角度和長度的單位，還蘊含著當[l=r]時圓心角的大小即為1弧度.用弧度度量角的大小的制度稱為“弧度制”.

弧度制下，扇形的弧長公式和面積公式得以化簡，將來也可以簡化微積分中公式的計算，體現了數學的簡潔美.進一步利用歐拉提出的圓周所對圓心角為2[π]弧度完成角度制與弧度制之間的換算，使角度與實數之間建立起一一對應關系，為學習三角函數奠定基礎.至此，學生了解了弧度制的價值，增強了對弧度制本質的理解，建立起了對弧度概念完整的認識和理解.

三、應用體驗，理解概念

要深刻理解概念，僅從對定義文字的閱讀理解是遠遠不夠的.還要創設合適的例題，將概念的理解置于數學問題的解決過程中，深化概念的內涵與外延，同時讓學生再次經歷從具體到抽象的思辨過程.這一環節的應用不是在復雜情境的綜合應用，而是針對抽象概念對象的原型的直接應用，進一步理解概念的本質，建立起對概念比較完整的認識和理解.

1.教學現狀及反思

在實際教學過程中，存在著對教材內容定位以及例題在概念教學過程中的作用理解不到位的現象.表現之一是將角度與弧度的換算理解為概念的應用.其實它仍是概念建構的重要組成部分.通過換算使學生明白角度與弧度其實就是對同一事物的不同的描述，任意角度與弧度之間可以進行互換，正是由于此，角度與實數之間就建立了一一對應關系.表現之二是例題功能發生偏離.如：已知扇形花圃的周長是20 m，求花圃的最大面積.例題已經指向運算技能的訓練，沒有指向概念理解的范疇.

2.有效重構

實際上，我們在概念建構環節就應該完成角度與弧度的換算，明確[1? rad=180°π≈57.30°]，[1°=π180? rad≈] [0.01745 rad].在此基礎上設計例1，完成0°到360°之間特殊角的角度和弧度換算.意圖是讓學生正確進行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數，觀察發現特殊角之間的倍數關系.體現從特殊到一般、由未知向已知轉化的策略.進而引導學生總結出，在弧度制下，角的集合與實數集R之間就建立的一一對應關系：每一個角都對應唯一的一個實數;反過來，每一個實數也都對應唯一的一個角（如圖4）.為后面三角函數的學習做好鋪墊.

我們可以回到情境創設的問題中，情境再現：鉛球的落球區為扇形，沿著扇形的弧有一段防護網，如何計算防護網的長度？落球區是一塊草坪，更換草坪需要知道草坪的面積，如何求出扇形的弧長與面積？

設計意圖：

（1）在計算弧長的過程中讓學生探究出弧長公式[l=αr].

（3）利用PPT展示，強化學生利用數學語言規范表達.

從概念理解的角度看，讓學生了解弧度制的精髓、優勢，感受弧度制在數學知識體系發展中的作用，切實發展學生的數學抽象素養.

每一個數學概念都是對客觀事物本質屬性的概括和反映，都有其產生和發展的自然性.“弧度制”概念也要遵循這種自然性，充分利用學生原有的知識經驗，體驗數學抽象概括的過程，在揭示概念本質、滲透數學思想方法上做文章，精心設計每一個教學環節.無論是概念的引入、概念形成時經歷的概括過程，還是概念的理解，都應按照教材要求自然展開.

（責任編輯 黃桂堅）