對(duì)比教學(xué)模式下的分析力學(xué)課堂教學(xué)探討

原亞南 尹顥 張作啟

[摘 要] 近些年來(lái)，“分析力學(xué)”課程在大學(xué)工科院系的開(kāi)課范圍越來(lái)越大，但是鮮見(jiàn)以“分析力學(xué)”課程作為教學(xué)改革對(duì)象進(jìn)行的研究。運(yùn)用對(duì)比教學(xué)模式下的多層次理論，結(jié)合“分析力學(xué)”的課程特點(diǎn)，針對(duì)課程理論知識(shí)晦澀、內(nèi)容體系與理論力學(xué)相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問(wèn)題，提出了教學(xué)實(shí)施方案。方案采用三種課堂對(duì)比的形式，通過(guò)聯(lián)想對(duì)比的方式加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)及質(zhì)疑的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才的目的。

[關(guān)鍵詞] 分析力學(xué);對(duì)比課堂;創(chuàng)新能力;質(zhì)疑能力

[作者簡(jiǎn)介] 原亞南（1989—），女，河南濮陽(yáng)人，博士，武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系講師，主要從事復(fù)合材料力學(xué)研究;尹 顥（1985—），男，湖北武漢人，博士，武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系副教授，副系主任（通信作者），主要從事相變固體力學(xué)研究;張作啟（1982—），男，山東曹縣人，博士，武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系教授，系主任（通信作者），主要從事生物力學(xué)與仿生研究。

[中圖分類號(hào)] O316? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2021）21-0121-04? ?[收稿日期] 2020-10-25

近些年來(lái)，“分析力學(xué)”課程在大學(xué)工科院系的開(kāi)課范圍越來(lái)越大。然而，從現(xiàn)有教學(xué)課堂的探討成果來(lái)看，較少看到以“分析力學(xué)”課程作為教學(xué)改革的對(duì)象進(jìn)行的研究。所謂的經(jīng)典力學(xué)是指創(chuàng)立于1687年的牛頓力學(xué)、創(chuàng)立于1788年的拉格朗日力學(xué)，以及創(chuàng)立于1834—1835年的哈密頓力學(xué)。其中，“理論力學(xué)”主要是講授以牛頓力學(xué)為基本框架的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的課程。牛頓力學(xué)著重分析位移、速度、加速度及力等矢量，故稱為矢量力學(xué)。與之相對(duì)的是由拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)組成的分析力學(xué)[1-3]。在拉格朗日的《分析力學(xué)》的經(jīng)典著作中，沒(méi)有涉及一幅圖，自始至終都采用了解析的方法[4]。分析力學(xué)的特征是以普遍原理為基礎(chǔ)，利用標(biāo)量形式的廣義坐標(biāo)來(lái)取代矢量力學(xué)的矢徑[5]。

根據(jù)筆者前期調(diào)查結(jié)果，在初次接觸“分析力學(xué)”課程時(shí)，超過(guò)70%的學(xué)生認(rèn)為解析公式太多，難度很大（如圖1所示）。因此，“分析力學(xué)”課堂教學(xué)面臨的一個(gè)非常大的困難和挑戰(zhàn)是如何在滿是解析表達(dá)形式的理論知識(shí)講授的課堂中提高學(xué)生的興趣和專注力。

基于對(duì)比教學(xué)模式下的多層次理論，結(jié)合“分析力學(xué)”的課程特點(diǎn)，針對(duì)本課程中的理論知識(shí)晦澀、內(nèi)容體系與理論力學(xué)相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問(wèn)題提出了教學(xué)實(shí)施方案。該方案通過(guò)采用三種對(duì)比形式，突出了在課堂上通過(guò)聯(lián)想對(duì)比的方式加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)及質(zhì)疑的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才的目的。

一、牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對(duì)比講授

由于大部分院校在“分析力學(xué)”課程講授前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“理論力學(xué)”（大部分內(nèi)容講授的是牛頓力學(xué)），因此，在學(xué)習(xí)“分析力學(xué)”課程時(shí)，同學(xué)們會(huì)有如下疑問(wèn)：既然牛頓力學(xué)和分析力學(xué)都是研究質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)方程，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了牛頓力學(xué)，為什么還要學(xué)習(xí)分析力學(xué)？這個(gè)問(wèn)題筆者在第一次給學(xué)生上“分析力學(xué)”課程的時(shí)候就被問(wèn)過(guò)。筆者在認(rèn)真反思這個(gè)問(wèn)題后最初的想法是，既然學(xué)生已經(jīng)了解和熟悉了牛頓力學(xué)的理論知識(shí)，就沒(méi)必要花費(fèi)寶貴的課時(shí)來(lái)重復(fù)提及了。現(xiàn)在回過(guò)頭細(xì)細(xì)想來(lái)，當(dāng)初的想法或許正是引起學(xué)生疑問(wèn)的根本源頭。或許筆者要做的不是去回避在“分析力學(xué)”課上講授牛頓力學(xué)，恰恰相反，應(yīng)該直面這二者的區(qū)別，讓同學(xué)們“知其然”，并“知其所以然”，掌握牛頓力學(xué)和分析力學(xué)的異同，并理解學(xué)習(xí)分析力學(xué)的必要性和重要性。那么，在課程最開(kāi)始，筆者以圖2[6]來(lái)開(kāi)始“分析力學(xué)”這門課程。

圖2很好地總結(jié)了從牛頓力學(xué)開(kāi)始到拉格朗日力學(xué)最后到哈密頓力學(xué)發(fā)展的完整歷程。此外，牛頓力學(xué)的發(fā)展主要服務(wù)于研究運(yùn)動(dòng)力學(xué)，應(yīng)用包括但不限于有心力場(chǎng)中的二體運(yùn)動(dòng)、非慣性系下的運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、非線性動(dòng)力學(xué)和混沌、生命力學(xué)及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。而拉格朗日力學(xué)從變分法和達(dá)朗貝爾方程演變而來(lái)，通過(guò)勒讓德變換和哈密頓原理發(fā)展成為哈密頓力學(xué)。而哈密頓力學(xué)為后來(lái)的量子力學(xué)、相對(duì)論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)等提供了理論基礎(chǔ)[7]。相對(duì)于牛頓力學(xué)，分析力學(xué)方法對(duì)其他如量子力學(xué)、相對(duì)論等影響更加深遠(yuǎn)。通過(guò)對(duì)比講解牛頓力學(xué)和分析力學(xué)，不僅讓學(xué)生站在更高的角度審視學(xué)習(xí)分析力學(xué)的必要性，還能鼓勵(lì)學(xué)生自主探索基于分析力學(xué)方法衍生出的如量子力學(xué)等新的領(lǐng)域，激發(fā)他們的科研興趣。

二、拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的對(duì)比講授

在解決了學(xué)生“已經(jīng)學(xué)習(xí)了牛頓力學(xué)為什么還要學(xué)習(xí)分析力學(xué)”的疑問(wèn)后，之后的課程學(xué)習(xí)也并非一帆風(fēng)順。在學(xué)習(xí)完拉格朗日力學(xué)進(jìn)入哈密頓力學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生還會(huì)有新的疑問(wèn)：既然很多運(yùn)動(dòng)方程明明通過(guò)拉格朗日第二類方程就能很容易地求解，那為什么還要學(xué)習(xí)哈密頓原理，費(fèi)力求解哈密頓作用量呢？可見(jiàn)，即使在課堂上沒(méi)有給學(xué)生灌輸對(duì)比教學(xué)的模式，學(xué)生自己也會(huì)對(duì)以往的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，總是選取最容易理解、最好求解的途徑來(lái)解題。事實(shí)上，在課堂上講述的很多例子確實(shí)會(huì)有多種求解方式，也確實(shí)有一些明明用拉格朗日第二方程來(lái)求解很容易，卻仍然用哈密頓原理來(lái)求解的例子。要想打消學(xué)生的疑慮，筆者仍然采取對(duì)比講授模式，將拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)對(duì)比講授。要想講清楚它們的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，應(yīng)該從表1[8]的角度來(lái)著手講述。

表1非常清楚地闡述了拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的區(qū)別，不僅體現(xiàn)在對(duì)應(yīng)的空間和幾何上，還體現(xiàn)在方程類型上[9]。

拉格朗日力學(xué)的f個(gè)二階微分方程組為

■■-■=Q′■（k=1，2，…，f）

而哈密頓力學(xué)的方程類型是2f個(gè)一階微分方程組為

■■=■■■=-■ （k=1，2，…，f）

哈密頓正則方程為微分方程的求解帶來(lái)了很大便利。