基于上限定理的含裂縫邊坡穩(wěn)定性圖表分析方法

高明輝， 張雅賢， 王奇智， 趙建青， 孫 超， 周記名， 張娜娜

(1.河北省地質(zhì)資源環(huán)境監(jiān)測(cè)與保護(hù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 石家莊 050021； 2.中央軍委后勤保障部安置住房保障中心， 北京 100036； 3.河北科技大學(xué)建筑工程學(xué)院， 石家莊 050018； 4.中國(guó)土木工程集團(tuán)有限公司， 北京 100038)

大量道路邊坡現(xiàn)場(chǎng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)，邊坡表面分布著大量裂縫，而裂縫的存在對(duì)其整體安全性的影響顯著，因此有眾多學(xué)者對(duì)裂縫邊坡展開(kāi)了深入的研究[1-5]。并對(duì)裂縫的擴(kuò)裂范圍進(jìn)行了限定，但常常忽略了裂縫位置存在的影響[6]，導(dǎo)致得到的臨界裂縫破壞狀態(tài)不是最不利裂縫誘發(fā)的。因此，近年來(lái)，不斷有學(xué)者對(duì)裂縫擴(kuò)展的形態(tài)和出現(xiàn)的區(qū)域進(jìn)行理論上的創(chuàng)新和方法的改進(jìn)。Utili[7]使用Chen[8]提出的極限分析上限法的同時(shí)，考慮了裂縫可能存在的不同深度和位置；Michalowski[9]則將裂縫的擴(kuò)展與邊坡的破壞機(jī)制相結(jié)合進(jìn)行研究分析，而后以此研究為基礎(chǔ)，進(jìn)行了深入的探討與分析。

導(dǎo)致裂縫邊坡失穩(wěn)和滑坡的因素很多，典型的如降雨[10]、地震[11]、交通負(fù)荷等或這些因素的共同作用。在邊坡危險(xiǎn)性評(píng)估分析時(shí)，穩(wěn)定性系數(shù)Ns、安全系數(shù)Fs及動(dòng)力荷載下的邊坡位移大小，均可作為評(píng)估其是否失穩(wěn)的指標(biāo)，而安全系數(shù)Fs一直是預(yù)測(cè)坡體失穩(wěn)的常用方法。強(qiáng)度折減法是一種簡(jiǎn)單、有效、系統(tǒng)的確定安全系數(shù)取值的技術(shù)，學(xué)者們?cè)趲r土工程設(shè)計(jì)計(jì)算中廣泛采用了這一技術(shù)[12-14]。當(dāng)使用強(qiáng)度折減法評(píng)估邊坡穩(wěn)定性，需要假想坡體兩個(gè)重要的參數(shù)：黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ，同時(shí)折減到相同的安全系數(shù)。

對(duì)于常見(jiàn)的均質(zhì)邊坡設(shè)計(jì)，Baker等提出了基于極限平衡法的靜力和動(dòng)力條件下邊坡穩(wěn)定性分析的完整設(shè)計(jì)圖；Michalowski等[15-16]提供了一系列基于極限分析方法考慮孔隙水壓力和地震力的設(shè)計(jì)圖表；Steward等[17]提出了計(jì)算5種不同破壞類(lèi)型下土質(zhì)邊坡安全系數(shù)的兩種設(shè)計(jì)圖表。前人的研究表明，各類(lèi)方法，如極限平衡法(limit equilibrium method)、有限元法(finite element method)或有限差分法(finite difference method)、極限分析法(limit analysis method)等，已被廣泛使用以準(zhǔn)確得到邊坡的穩(wěn)定性參數(shù)。以往研究中，較為常見(jiàn)的是傳統(tǒng)的極限平衡法[18]，特別是生成需要大量安全系數(shù)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)圖表時(shí)，與有限元方法相比，它的時(shí)間消耗更少。然而，傳統(tǒng)的極限平衡法并未考慮到土體的本構(gòu)關(guān)系。而極限分析上限法考慮了能量的守恒，有效解決了土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的問(wèn)題，并且給出了精確的臨界上限值，使得當(dāng)前極限分析上限法成為分析動(dòng)靜態(tài)邊坡穩(wěn)定時(shí)經(jīng)常采用的方法。

現(xiàn)基于經(jīng)典的極限分析上限法，結(jié)合強(qiáng)度折減法對(duì)裂縫邊坡的安全系數(shù)進(jìn)行綜合性分析，針對(duì)常見(jiàn)地震荷載條件下、裂縫中的靜水壓力以及坡頂部荷載作用等進(jìn)行研究分析，將臨界裂縫的形態(tài)及其對(duì)應(yīng)的深度、位置展示，并與有限元軟件Optum-G2的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以期為邊坡安全性初步快速評(píng)估提供科學(xué)依據(jù)。

1 基本破壞機(jī)制以及公式推導(dǎo)

R0為摩爾圓半徑；δ為剪脹角； f′c為單軸抗壓強(qiáng)度；σ為應(yīng)力； τ為剪切力；速度矢量δw； (δu, δv)為速度分矢量圖1 邊坡破壞強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)Fig.1 Slope failure strength envelope

理想的塑性邊坡往往表現(xiàn)為達(dá)到極限應(yīng)力時(shí)開(kāi)始發(fā)生屈服。經(jīng)典Mohr-Coulomb(M-C)屈服準(zhǔn)則往往用于評(píng)估邊坡安全性時(shí)首選的破壞準(zhǔn)則，即屈服準(zhǔn)則中采用線(xiàn)性的強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)。采用M-C屈服方法時(shí)，抗剪強(qiáng)度由土體的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ來(lái)預(yù)測(cè)，如圖1所示。而對(duì)土體在實(shí)測(cè)的壓縮狀態(tài)往拉伸方向外推得到其抗拉強(qiáng)度，所以并不是實(shí)際實(shí)驗(yàn)而得到的抗拉強(qiáng)度。而針對(duì)裂縫邊坡，裂縫的存在可以有效地解決邊坡抗拉強(qiáng)度的問(wèn)題，因此用經(jīng)典的M-C屈服準(zhǔn)則對(duì)分析是合理的。而使用強(qiáng)度折減法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析時(shí)候，需要同時(shí)將土體的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ折減到一定的程度Fs,可表示為

(1)

式(1)中：cf、φf(shuō)分別為折減后的黏聚力和內(nèi)摩擦角。

極限分析上限法基于能量的守恒，破壞機(jī)制可以包含連續(xù)變形的區(qū)域，也可以由剛性塊構(gòu)成：平移(或轉(zhuǎn)動(dòng))，由中間脆弱的剪切帶隔開(kāi)，通常被視為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)中的速度不連續(xù)性。當(dāng)用線(xiàn)性屈服條件描述土體的強(qiáng)度并用相關(guān)聯(lián)流法則約束變形時(shí)，速度矢量δw與強(qiáng)度屈服面呈垂直狀態(tài)，可將其分解成兩部分：水平分量δu與豎直分量δv。通過(guò)應(yīng)力矢量(σ,τ)和速度矢量(δu,δv)的乘積來(lái)表示非連續(xù)面上每單位面積的能量耗散率dc，可表示為

dc=cvcosφ

(2)

式(2)中：v為單位旋轉(zhuǎn)速度。

在M-C屈服條件下，將邊坡外部做功與內(nèi)能能量耗散(滑裂面做功)相平衡，如式(3)所示，破壞機(jī)制如圖2所示。邊坡右側(cè)BE為豎直裂縫，即預(yù)設(shè)的邊坡后緣的產(chǎn)生拉應(yīng)力區(qū)的裂縫位置，裂縫具有一定的位置x(與破址角的直線(xiàn)距離)及一定的深度y,而裂縫在不同深度、位置的限制下產(chǎn)生不同的安全系數(shù)，從而形成最小的安全系數(shù)，x、y可由式(5)、式(6)得到。裂縫形態(tài)如圖3所示，計(jì)算目標(biāo)為可能出現(xiàn)最不利影響時(shí)裂縫所處的位置x和所達(dá)到的深度y。

β為坡腳；θ0、θc、θh為旋轉(zhuǎn)角；khG為水平加速度； kvG為豎直加速度；G為重力，q為上部荷載； r0、rh分別為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)到A點(diǎn)和D點(diǎn)的距離；H為邊坡高度圖2 裂縫邊坡破壞機(jī)制Fig.2 Failure mechanism of slope with crack

L2為裂縫處到坡上緣的距離圖3 臨界裂縫位置及深度Fig.3 Critical crack position and depth

(3)

在實(shí)際破壞條件下，地震加速度并沒(méi)有固定傳遞方向。而計(jì)算地震作用引起的外部功率的推導(dǎo)方法與邊坡自身重量引起的外部功率的方法一致。在計(jì)算水平外力作用下的外部功的比率時(shí)，唯一的區(qū)別是速度方向。因此，將極限分析法與強(qiáng)度折減法相結(jié)合，可以得到裂縫邊坡在地震條件下的安全系數(shù)計(jì)算公式為

[(f1-f2-f3-t1+t2+t3)(1+λkhG)+

(4)

(5)

sinθ0}-1+cotβ

(6)

考慮裂縫中靜水壓力εw影響時(shí)，引入無(wú)量綱系數(shù)K表示裂縫中的含水量，K=0時(shí)表示裂縫中未出現(xiàn)靜水壓力，而K=1時(shí)表示裂縫中充滿(mǎn)了靜水壓力。則加入裂縫中的靜水壓力后的安全系數(shù)Fs、fr的計(jì)算公式分別為

(7)

(8)

式(8)中：γw為水的容重。

考慮邊坡上部荷載作用時(shí)，引入無(wú)量綱系數(shù)qt，qt=q/γH。整理后的邊坡安全系數(shù)Fs和fq的表達(dá)式分別為

[(f1-f2-f3-t1+t2+t3+qtfq)+

(9)

(10)

(11)

2 程序優(yōu)化與結(jié)果分析

先前求解安全系數(shù)的計(jì)算方法存在顯著的不足，常常存在搜索精度不高、迭代計(jì)算復(fù)雜以及無(wú)法獲取全局最優(yōu)解的問(wèn)題。文章為解決這類(lèi)問(wèn)題，采用隨機(jī)搜索法與序列二次優(yōu)化法(sequential quadratic programming,SQP)結(jié)合的計(jì)算方法，即采用MONTE-CARLO算法在一定精度范圍內(nèi)確定一個(gè)初值，再使用SQP方法確定全局最優(yōu)解，計(jì)算效率顯著提高，且精準(zhǔn)度更高。具體計(jì)算邏輯如圖4所示。

圖4 優(yōu)化算法邏輯圖Fig.4 Optimization algorithm logic diagram

考慮破壞工況為：坡腳30°～80°、內(nèi)摩擦角10°～30°、參數(shù)組合c/γH為0.05～0.3、地震系數(shù)(0～0.2)g(g為重力加速度)、裂縫靜水壓力系數(shù)：0～0.3及上部荷載系數(shù)：0.1～0.15。為驗(yàn)證計(jì)算的準(zhǔn)確性，將結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果[19]進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比參數(shù)如表1所示，計(jì)算結(jié)果如表2所示，結(jié)果顯示，針對(duì)裂縫邊坡，可以明顯看到其相對(duì)于完整邊坡(無(wú)裂縫)呈現(xiàn)出更加不利的安全系數(shù)，因此對(duì)于裂縫邊坡的破壞穩(wěn)定性研究，尤為關(guān)鍵。

表1 算例參數(shù)設(shè)計(jì)

表2 不同計(jì)算方法結(jié)果對(duì)比

2.1 考慮地震作用的影響

針對(duì)地震的影響，采用擬靜力法進(jìn)行研究分析，即針對(duì)khG=(0～0.2)g進(jìn)行研究分析。橫坐標(biāo)表示邊坡坡腳β，縱坐標(biāo)表示計(jì)算求得的安全系數(shù)Fs，考慮內(nèi)摩擦角的變化，以邊坡參數(shù)組合c/γH為變量進(jìn)行研究分析，研究地震力作用時(shí)，為僅考慮地震荷載影響的結(jié)果，因此并未加入裂縫中的靜水壓力以及坡頂上部荷載的影響。結(jié)果顯示，地震荷載對(duì)于邊坡安全系數(shù)的影響非常顯著，圖5(a)～圖5(c)展示了不同地震荷載下的裂縫邊坡的安全系數(shù)，結(jié)果顯示考慮地震荷載的作用大大折減了Fs，如針對(duì)c/γH=0.05、β=30°、φ=20°的邊坡，不考慮地震荷載時(shí)，其安Fs=1.24，坡體整體處于安全狀態(tài)，而考慮地震影響時(shí)候，如khG=0.2g時(shí)，裂縫邊坡的Fs=0.85，相比較靜態(tài)降低了31%，且此時(shí)坡體處于滑落狀態(tài)，因此地震作用力對(duì)于邊坡安全性的影響尤為顯著。而豎向地震動(dòng)對(duì)于邊坡穩(wěn)定性也存在一定程度的影響，圖5(d)展示了不同程度的豎向分析系數(shù)λ對(duì)于邊坡安全系數(shù)的影響，結(jié)果顯示，考慮豎向地震荷載的存在對(duì)于邊坡的影響顯著，考慮豎向地震系數(shù)λ為正時(shí)，即向下的豎向加速度，邊坡的安全系數(shù)隨之降低。在針對(duì)考慮地震力時(shí)的帶裂縫邊坡安全分析時(shí)，工程師可直接采用圖5中一系列圖表參數(shù)進(jìn)行選取評(píng)估。

2.2 考慮邊坡上部荷載作用的影響

將上部荷載的作用加入裂縫邊坡的討論中，考慮上部荷載系數(shù)qt(qt=q/γH)為0.05～0.15的工況，計(jì)算結(jié)果整理到圖6中，與圖5坐標(biāo)軸一致，區(qū)別了地震荷載與上部荷載的作用，結(jié)果表明：上部荷載作用下，邊坡的安全系數(shù)產(chǎn)生一定的折減，尤其針對(duì)c/γH較大時(shí)候的工況，而邊坡的Fs同樣隨著上部荷載qt的增加而降低。上部荷載的作用將會(huì)對(duì)邊坡的穩(wěn)定性帶來(lái)較大程度的影響，如針對(duì)c/γH，β=80°、φ=10°的邊坡，當(dāng)不考慮上部荷載作用時(shí)，根據(jù)圖6(a)可見(jiàn)，邊坡Fs=1.18，而考慮上部荷載的作用，當(dāng)qt=0.15時(shí)，邊坡Fs=0.95，降低了19.5%，折減程度明顯，因此邊坡穩(wěn)定性分析時(shí)，需將上部荷載的作用進(jìn)行討論。

圖5 地震荷載作用下裂縫邊坡的安全系數(shù)Fig.5 Safety factor of slope with crack under earthquake load

圖6 上部荷載作用下裂縫邊坡的安全系數(shù)Fig.6 Safety factor of slope with crack under surcharge load

2.3 裂縫中靜水壓力的影響

將裂縫中的靜水壓力的作用加入裂縫邊坡的討論中，考慮無(wú)量綱的靜水壓力系數(shù)K為0.2～0.6的條件，結(jié)果如圖7所示，在坡度較大的裂縫中，同樣產(chǎn)生較大的折減，同樣針對(duì)c/γH=3、β=80°、φ=10°的邊坡，在考慮空隙水壓力K=0.3時(shí)，邊坡Fs=1.02，折減程度為14%，同樣顯著。因此對(duì)裂縫邊坡設(shè)計(jì)時(shí)，不可忽略裂縫存在的靜水壓力的作用。

圖7 靜水壓力作用下裂縫邊坡的安全系數(shù)Fig.7 Safety factor of slope with crack under hydrostatic pressure

3 裂縫位置搜索及圖表應(yīng)用

3.1 裂縫位置的搜索

基于表1的工況，進(jìn)行了3種條件下的邊坡破壞臨界裂縫的位置與深度，計(jì)算結(jié)果如表3所示。可以明顯看出，更低的安全系數(shù)將導(dǎo)致距離破址更遠(yuǎn)的裂縫位置x/H與距離坡頂面更大的裂縫深度y/H。為更加形象展示計(jì)算結(jié)果，將滑裂面破壞形態(tài)進(jìn)行展示，即分別考慮khG=0.2g，上部荷載系數(shù)qt=0.26以及裂縫靜水壓力系數(shù)K=0.2與僅考慮自身重力破壞的邊坡臨界滑裂面進(jìn)行對(duì)比分析，并將其裂縫的位置、以及裂縫深度進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果如圖8所示。可以明顯看出，僅考慮自重條件下，裂縫的位置更加靠近坡頂面，而考慮不同條件的破壞工況時(shí)，裂縫出現(xiàn)在較遠(yuǎn)處。為驗(yàn)證裂縫位置、深度的準(zhǔn)確性，采用有限元軟件Optum G2計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比兩類(lèi)工況：即khG=0.2g、qt=0.26的兩類(lèi)，從圖9可知，計(jì)算得到的臨界滑裂面與軟件結(jié)果幾乎一致，由此再次驗(yàn)證本文公式推導(dǎo)、計(jì)算結(jié)果均具備合理性。

圖8 典型條件下臨界狀態(tài)滑裂面形態(tài)Fig.8 The morphology of sliding crack surface in critical state under typical conditions

圖9 本文結(jié)果與Optum G2的破壞面對(duì)比Fig.9 Comparison between the current analytical results and Optum G2 results

3.2 圖表選取運(yùn)用

圖5～圖7可作為工程設(shè)計(jì)時(shí)安全系數(shù)的初步評(píng)估。為反映圖表的有效性，針對(duì)一個(gè)案例進(jìn)行示范。如假設(shè)實(shí)測(cè)β=45°、φ=20°、c=20 kPa、γ=17 kN/m3、H=12 m的邊坡，在不考慮任何工況條件時(shí)，根據(jù)圖5(b)顯示，F(xiàn)s=1.27時(shí)邊坡處于安全狀態(tài)，而針對(duì)khG=0.2g時(shí)可讀取Fs=0.95，處于不安全的狀態(tài)，因此設(shè)計(jì)時(shí)需要進(jìn)行更多考慮。

4 結(jié)論

邊坡后緣往往分布著裂縫，當(dāng)前對(duì)于裂縫邊坡的研究尚且缺乏，為準(zhǔn)確分析裂縫邊坡安全系數(shù)，將LAM、強(qiáng)度折減法、擬靜力法綜合研究推導(dǎo)。計(jì)算時(shí)，用蒙特卡洛隨機(jī)搜索法與序列二次優(yōu)化法結(jié)合進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。得出如下結(jié)論。

(1)采用蒙特卡洛與SQP算法相結(jié)合可以有效解決先前算法的缺陷，且結(jié)果精度更加準(zhǔn)確，計(jì)算速度更快。

(2)三類(lèi)典型破壞條件：地震、靜水壓力、上部荷載的存在均會(huì)對(duì)邊坡的安全系數(shù)產(chǎn)生一定程度的影響，而對(duì)于坡度較高、內(nèi)摩擦角較小的邊坡影響更為顯著。

(3)對(duì)臨界破壞狀態(tài)下裂縫的位置、深度還原，結(jié)果表明，相同參數(shù)條件下，產(chǎn)生較小的安全系數(shù)，而較小的安全系數(shù)易產(chǎn)生更深的臨界裂縫深度以及更遠(yuǎn)的臨界裂縫距離。

(4)針對(duì)不同條件的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)文獻(xiàn)經(jīng)典解進(jìn)行了對(duì)比分析，其精度優(yōu)于傳統(tǒng)分析結(jié)果，且計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果基本吻合，因此繪制了大量安全系數(shù)的圖表，可作為快速評(píng)估裂縫邊坡安全系數(shù)的參考。