小學數學思想方法教學的意義及原則

摘 要：小學階段是數學思想方法教學的啟蒙階段。在這一階段有效地開展數學思想方法的教學，有利于學生建構良好的數學認知結構，獲得“有靈魂”的知識，有利于學生實現對知識的深層次理解，有利于培養學生獨立解決問題的能力。教學時教師不可人為拔高教學要求，而要遵循循序漸進、具體分析以及感悟的原則。

關鍵詞：數學思想方法;數學思想方法教學;基本原則

自《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出數學思想方法的教學要求以來，小學階段數學思想方法教學受到越來越多的關注。所謂數學思想，是指人們對數學知識和方法的本質認識。所謂數學方法，是指人們在解決數學問題的過程中所采用的方式、途徑和手段。數學思想具有概括性和普遍性，它是數學方法的靈魂，它指導著方法的運用。數學方法指向實踐，具有操作性和具體性，它是數學思想的表現形式和得以實現的手段。前者給出解決問題的方向，后者給出解決問題的策略。為適應小學階段的教學，通常把數學思想與數學方法看作一個整體，即數學思想方法。

一、小學數學思想方法教學的意義

生活中，有思想的人，總是倍受尊敬;有思想的話語，總是被人津津樂道，而有思想的知識，會讓人終身受益。數學學科，恰恰是一門“有思想”的學科。中科院院士、中國數學會理事長袁亞湘先生說：“最最美好的是數學的思想，它美得要命?！睌祵W家張景中先生說：“小學生學的數學很初等，很簡單，但里面卻蘊含了一些深刻的數學思想?！毙W數學雖然淺顯，但它與“最最美好的數學思想”有著與生俱來的聯系。在小學階段恰當有效地開展數學思想方法的教學，有利于學生建構良好的認知結構，實現對知識的深層次理解，培養學生獨立解決問題的能力。

1.有利于學生建構良好的數學認知結構——獲得“有靈魂”的知識

人民教育出版社李海東老師認為：“數學知識、數學方法、數學思想是數學知識體系的三個層次，它們相互聯系、協同發展。數學知識是數學思想方法解決問題所依附的材料;數學方法是解決問題的途徑、手段，是數學思想發展的前提;數學思想是一類數學方法本質特征的反映，是數學方法的靈魂?！笨梢?，在一個良好的數學認知結構里，數學知識、數學方法、數學思想三者是缺一不可的。

對于忽略思想方法的數學教學，中科院院士、復旦大學教授李大潛先生一針見血地指出：“如果將數學教學僅僅看成是知識的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發揮作用。”可見，在良好的數學認知結構里，數學思想方法不但不可或缺，它還起著統領的作用，缺少數學思想方法的數學知識體系將是一堆“沒有靈魂”的死知識。對于其中數學思想教學的重要性，李大潛院士更是將之提高到開設數學課程的意義的高度，他認為：“如果就事論事，僅僅將數學作為知識來學習，而忽略了數學思想對學生的熏陶以及學生數學素質的提高，就失去了數學課程最本質的特點和要求，失去了開設數學課程的意義?！睆倪@個角度看，幫助學生建構包括數學思想方法在內的良好的數學認知結構，是數學教學的應然追求。

2.有利于學生實現對知識的深層次理解——知其然，亦知其所以然

小學生對數學知識的理解，大致可以分為兩個層次：一是知其然，即知道概念、公式、結論或規律等是什么;二是知其所以然，即還知道概念、公式、結論或規律等生成的過程、產生的原因，并能對結論或規律等做出適當的解釋。顯然，后者在理解程度和層次上更進一步、更加深入。

以蘇教版數學教材六年級上冊“分數四則混合運算”單元安排的一個“動手做”的活動為例（如圖1）。該活動名為動手做，實為感知、發現規律。

學生按要求通過兩個階段的畫一畫、算一算、比一比的活動后，發現：動手畫出的幾個長方形的長和寬分別增加[12]，新長方形的面積都是原來長方形面積的[94]。由此，學生進一步猜想：如果把任意長方形的長和寬分別增加[12]，那么新長方形的面積都是原來長方形面積的[94]。但是，由不完全歸納法推導出來的結論具有偶然性，可能是正確的，也可能是錯誤的。上述猜想到底是否正確？為什么會是這樣？顯然，不能再依靠舉例來證明，僅通過舉例也無法給出令人信服的解釋。此時，可以通過運算推理的方法來證明猜想的正確性，從而使學生獲得對這一結論的深刻理解。

分別用a、b表示原來長方形的長和寬。

a×（1+[12]）×[b×（1+[12]）]÷（a×b）

=a×b×（1+[12]）×（1+[12]）÷（a×b）

=（1+[12]）×（1+[12]）

=[94]。

在這則案例中，運算推理的方法不僅證明了“新長方形的面積都是原來長方形面積的[94]”這一猜想的正確性，而且能夠說明原來長方形的長和寬的實際數據并不影響結論的成立，從而使學生的思維擺脫了特定圖形的限制，進入了更抽象更自由的層面，讓學生獲得了更深刻的理解。對結論不但知其然，而且知其所以然。此外，在本案例中，運算推理的方法還適用于將“[12]”改成其他分數，或者將“增加”改為“減少”。

3.有利于培養學生獨立解決問題的能力——從“得魚”走向“會漁”

“授人以魚，不如授人以漁。”在實際運用中，數學思想方法與數學知識的關系，類似于“漁”與“魚”的關系。事實證明，對數學思想方法體會越充分，領會越深刻，學生思維的敏捷性、靈活性、創造性、批判性更強，具體表現為：他們能更快地抓住問題的實質，更容易找到解決問題的突破口;他們善于靈活變換思路，能從不同角度、方向、方面運用多種方法解決問題;他們善于在新舊知識或問題之間建立聯系，善于運用猜想與驗證的方法求證，善于把分析與綜合、特殊與一般、具體與抽象結合起來思考、解決問題;他們善于自我監控，及時調整、修改思路，不容易鉆“牛角尖”。簡而言之，獨立解決問題的能力更強。因此，重視數學思想方法的滲透、體會與感悟，是數學教學從“授魚”向“授漁”轉變的關鍵，也是促進學生解決問題的能力從“得魚”向“會漁”轉變的關鍵。

比如，在前期課題研究中，在教學完蘇教版數學教材五年級下冊“圓”單元后，我們在課題實驗班與對照班中開展了對比測驗，其中設計了這樣一道動態數學題（如圖2）：“在一個底面是長方形的紙盒中，有一個直徑5厘米的塑料圓片在盒底任意滑動，塑料圓片不可能滑到部分的面積是多少平方厘米？”顯然，相對于日常的靜態圖形題來說，這道題具有相當的挑戰性，十分考驗學生獨立解決問題的能力。

測驗結果顯示：課題實驗班中約75%的學生通過想象或借助實物模擬的方式能洞察問題的實質，并成功將原題轉化成求一個正方形的四個角落的問題（如圖3）。而對照班中只有20%多一點的學生能夠化動為靜找到解決問題的突破口。由此可見，重視數學思想方法的教學，有助于發展學生的數學思維，培養學生創造性地解決問題的能力。

二、小學數學思想方法教學的基本原則

曹培英老師認為：“數學基本思想承載了獨特的、鮮明的學科育人價值，可教、可學，是名副其實的學科核心素養?！痹谇捌谡n題研究中，我們對此深有體會。在小學階段，數學思想方法不是“只可滲透不可感悟”“只可意會不可言傳”的神秘東西。相反，它是可教、可學的，關鍵是找到體會它、感悟它的切實可行的方法，而難點在于把握好教學的度，做到不人為拔高教學要求，具體來說，要遵循以下三個基本原則。

1.準確把握學段要求，循序漸進的原則

小學階段數學思想方法的教學要求，由易到難、從低到高大致可以分為三個層次（如圖4）：滲透、體會與感悟。具體執行哪一級教學要求，要依據學生的年齡、可接受程度，以及數學思想方法本身的特點等做出科學的判斷。

小學階段學生年齡小，但是年齡跨度大，不同年級之間，學生的認知水平差異很大。一年級學生與三年級學生，三年級學生與六年級學生，他們之間在感知、感悟的能力上相差懸殊。因此，必須準確把握數學思想方法教學的學段要求?？偟膩碚f，1～3年級以滲透為主，4～6年級可適當加以體會和感悟。特別是在小學低年級，切不可隨意拔高教學要求，超越學生的實際認知水平。事實上，無論是哪種數學思想方法的體會與感悟都必須以掌握一定的數學知識與技能為前提。也正因為如此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》是從第二學段起，才開始提出“體會”和“感悟”的要求。

當然，學段要求也不是一成不變的。特別是對于一些常見的容易理解或易于感受的數學思想方法，可以從三年級起視學生的可接受程度逐步加以提高。但這個過程一定是循序漸進的，而不能是冒進的。

2.對象有別，具體思想具體分析的原則

所謂對象有別，是指具體到某冊教材某個單元的某個數學思想方法到底是采用“滲透”的方式，還是提出“體會”和“感悟”的要求，除了要考慮學生年齡和學段要求外，還必須考慮數學思想方法本身的特點。

從共性的角度看，小學數學教材中的數學思想方法具有以下特點：在呈現形式上，具有隱蔽性;在教材分布上，具有無序性。這些特點決定了數學思想方法的獲得，不可能像普通的數學知識那樣，能有序地以單元的形式整體地被感知、系統地被傳授，它難以通過一次或幾次教學就被深刻領會，達到被運用自如的程度，一般要在多次滲透的基礎上，經過反復地體會和感悟才能真正獲得。

此外，不同數學思想方法還有一些特點。比如，體會和感悟的難易程度不一，出現的頻次各不相同，出現和再次出現的時間毫無規律可言，等等。這就要求在教學具體的某個數學思想方法時，教師必須充分考慮該數學思想方法體會和感悟的難易程度、出現的背景、頻次以及間隔的時間，做到“對象有別，要求有別”。一般說來，初次接觸的，以滲透、感知為主;經常接觸的，可以引導學生進行體會和感悟;易于理解、感受的，以學生自主體會為主;體會難度較大的，以教師點撥介紹為主。

3.重體驗、重反復、重對比的感悟原則

數學思想方法是數學知識體系中具有能動性的知識，它能給出解決問題的方向和策略。然而，要想獲得“活的”數學思想方法，感悟是正確的途徑。所謂感悟，必須有“感”有“悟”，先“感”后“悟”。“感”是感知，是經歷，是體驗，它是“悟”的前提和基礎;“悟”是品味，是反思，是領悟，是對“感”的總結、提煉與升華?！拔颉睆摹案小敝衼?，“感”有多充分、多曲折，“悟”就有多豐富、多深刻。

其中，“經歷過程，加強體驗”是獲得數學思想方法的基本路徑。數學思想方法蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，它無法脫離知識教學而獨立存在。對它的感悟必須讓學生充分參與到數學知識的學習過程中去，在多層次的學習活動中生成點滴感受，積累經驗體會，從而對某個數學思想方法的認識逐漸從模糊走向清晰，從膚淺走向深刻?！霸佻F情境，反復體會”是獲得數學思想方法的必要過程。數學思想方法的教學不可能一蹴而就，它是一個漸進的過程，必須先有“量”的積累，然后才會有“質”的領會。學生必須經歷一定次數的情境再現，在反復體會中才可以使淺顯的體驗深刻化，使點滴的感受系統化。

總而言之，小學階段是數學思想方法教學的啟蒙階段。在這一階段，重視數學思想方法的教學對于發揮數學學科的育人價值，促進學生形成數學的思維方法，提升學生的數學素養具有重要的作用。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）

參考文獻

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