三層流體中入射波作用下直立圓柱支撐圓板的水彈性響應

龔逸綱，盧東強,2,3，浦俊

(1.上海大學 力學與工程科學學院，上海 200072；2.上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；3.上海市能源工程力學重點實驗室，上海 200072)

海洋超大型浮式結構物(very large floating structures，VLFS)作為一個遠離陸地、穩固可靠的海上基地，對存儲、開采海洋能源以及軍事防護都有重大意義，引起了學者的廣泛關注。超大型浮式結構的厚度遠小于水平方向的尺寸，使它的彎曲剛度變得較小，在入射波浪和其他外加載荷作用下其水彈性響應十分重要。在理論研究中，通常運用Kirchhoff-Love薄板理論進行分析[1-2]。對于二維問題，則將其視作為Timoshenko和Woinwsky-Krieger彈性梁模型。Watanabe[3]、趙存寶等[4]提出了采用中厚度板理論，可以避免采用Kirchhoff-Love板理論時應力合力不準確的問題。本文將VLFS簡化為彈性薄板模型，固結一根貫穿海洋深度的直立圓柱來固定它的剛體位移，同時起到一定的支撐作用。在數學上，外載荷與彈性薄板互相作用這一問題，在不可壓勢流理論的框架下可以歸結成為一個Laplace方程初邊值問題，常見的求解途徑分為頻域解法與時域解法。

頻域分析適合于線性穩態問題，主要有模態分析法與本征函數展開法2類。Wu等[5]在計算有限長彈性板在有限水深下的水動力響應時，將板的剛體運動和彎曲變形用梁的自然模態展開，然后解出流體相應的繞射勢和輻射勢，再運用Bernoulli方程計算出流體壓強，最后根據梁方程計算出每個模態的振幅。Kashiwagi[6]將板的垂向位移用梁的自然模態展開，將壓力用B樣條函數展開，通過Galerkin方法得到壓力表達式系數，計算高效且準確性較高，成為工程實際中廣泛應用的一種方法。模態分析法的難點在于模態函數的選取，不同模態函數的選取對應的計算時間差異很大。本征函數展開法則是在只考慮結構物水彈性響應而不考慮剛體位移的前提下，將速度勢函數通過分離變量法展開，其關鍵就是求解展開的速度勢函數中未知系數。Sahoo等[7]構造了內積關系式，使得本征函數在新內積意義下具有正交性，簡化了計算。Xu等[8]驗證了直接使用開闊水域的垂向本征函數可以得到更高的計算效率。

對于實際的密度分層海洋，兩層流體是常見的簡化模型。Linton等[9]基于線性水波理論考慮了二層流體中波浪和水平放置圓柱的相互作用并運用多極展開法進行求解。Lin等[10]研究了有限深兩層流體中固結在浮冰中的直立圓柱的繞射問題，討論了表面波模態和界面波模態入射時，不同波模態對圓柱體的水平作用力和彎矩的影響。Lin等[11]認為在二層有限深流體中內波入射下，彈性板的存在會使2種波模態之間的能量交換增加。更精細地看，海洋是一種三層式的布局。表層密度變化十分緩慢，隨著深度不斷增加，在一個深度密度梯度突然增大，出現一個密度躍層，最后密度變化又趨于平緩。Rus?s等[12]提出了一種基于積分方程的完全非線性數值格式，研究了在三層流體中水平傳播的界面對稱孤立波。Meng等[13]探究了三層流體中漂浮的彈性薄板受到波浪引起的水彈性響應。浦俊[14]研究了三層流體中斜入射波作用下半無限板的水彈性響應，得到了不同波模態入射時的臨界入射角。對于彈性板—直立圓柱模型，Meng等[15]導出了多層流體漂浮多模塊板的水彈性波色散關系。

本文將海洋簡化為三層密度不同的均勻流體，下層流體密度大于上層。同時在界面處密度發生突變，并有界面波入射，其中，第2層流體是為了考慮密度躍層的影響而假定的一層流體。

1 數學模型建立

本文主要討論三層流體中入射重力波與直立圓柱支撐彈性圓板復合結構的相互作用。如圖1所示，采用三維柱坐標系，取豎直向上的為z軸，并將圓盤的中心設為坐標的原點。彈性圓板與直立圓柱的連接方式為固支，直立圓柱被視為剛體。彈性圓板的厚度為d，半徑為R，直立圓柱的半徑為a。將z=0,-H1,-H2,-H3分別定義為平靜水面、第1層流體與第2層流體的交界(上界面)、第2層流體與第3層流體的交界(下界面)以及水底。不同層流體之間有明顯且穩定的界面。第1層流體(-H1ρ2>ρ1，每層流體的厚度為hm(m=1,2,3)。將整個水域劃分為開闊水域(R

圖1 三層流體中重力波與圓形彈性板及直立圓柱相互作用

本文基于勢流理論，假設流體理想且不可壓，運動無旋。令Φm(r,θ,z,t)(m=1,2,3)為第1、2、3層流體速度勢函數，ξm(r,θ,t)(m=1,2,3)為自由水面、上下界面的鉛垂位移。將時間自變量t從上述變量中分離出來，得到：

Φm(r,θ,z,t)=Re[φm(r,θ,z)eiωt]

(1)

ξm(r,θ,t)=Re[ξm(r,θ)eiωt]

(2)

速度勢函數φm(r,θ,z)在整個流域內滿足Laplace方程:

(3)

其中：

(4)

一階近似下的自由水面邊界條件為：

(5)

板覆蓋區水面邊界條件為：

a≤r

(6)

式中：D為彈性圓板的抗彎剛度；Me=ρed為彈性圓板單位面積上的質量。

水底的非滲透條件為：

(7)

在各層流體之間的界面處流體速度、壓力滿足連續性條件:

(8)

z=-Hn,a≤r<∞

(9)

式中：γn=ρn/ρn+1;n=1,2。

考慮彈性圓板的外緣是自由端，即在r=R處，彈性圓板的力與彎矩為零，在r=a處，直立圓柱與彈性圓板固支，因此其位移與轉角為0。

(10)

(11)

ξ1=0，r=a

(12)

(13)

在板覆蓋區與開闊水域的交界處，即r=R處，速度勢滿足壓力與速度連續的匹配條件為：

φm|r=R-=φm|r+R+，m=1,2,3

(14)

(15)

在直立圓柱的側面，流體與固體之間沒有間隙，因此不能有沿圓柱法向的速度分量：

(16)

2 數學模型求解過程

色散關系滿足方程[13]：

(17)

其中具體參數定義以及垂向本征函數表達式見文獻[13]。

為簡潔，將速度勢函數φm寫成分段函數形式:

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:

(22)

(23)

為了得到上述復系數，將展開后的速度勢函數代入彈性圓板與直立圓柱在z=0處的邊界條件(10)～(13)。

根據垂向本征函數的正交性，引入垂向本征函數的內積定義為：

(24)

其中下標取值范圍為l,n為01,02,03,1,2,3,…。可以通過計算驗證在l≠n時，Pln=0。首先將速度勢函數代入匹配條件(14)、(15)以及直立圓柱側面邊界條件(16)。再將本征函數Zl(z)(l=01,02,03,1,2,3,…)分別對上述匹配條件與直立圓柱側面邊界條件做內積：

l為01,02,03

(25)

l=i=1，2,…

(26)

l為01,02,03

(27)

l=i=1，2,…

(28)

l為01,02,03

(29)

l=i=1，2,…

(30)

對無窮累加項i,j做截斷，取i=1,2,…,M;j=I,II,1,2,…,M以及n=-N,…,-1,0,1,…,N。M、N為正整數。根據上述邊界條件及匹配條件得到一個(2N+1)(3M+13)維的方程組，相應的未知系數為(2N+1)(3M+13)個，方程封閉。通過求解該方程組，求解出待定系數，可以解出速度勢函數表達式，從而進一步得出其他物理量的值。

在得到了整個流場內勢函數表達式之后，可以進一步分析彈性圓板與直立圓柱這2個結構物上的受力情況。根據本文所采用的線性勢流理論，直立圓柱側面(r=a)處的任意一點的動壓可以根據線性化后的Bernoulli方程給出。

3 數值結果與討論

為不失一般性，取流場深度H3，重力加速度g以及上層流體的密度ρ1做無量綱化。后文中出現的物理量均為無量綱化后的物理量。

采用上述方法進行數值運算。彈性圓板的參數數值為E=1.2×106，ν=0.3，ρe=0.9，d=0.01。流場中流體參數為γ1=γ2=0.9，h1=h2=0.2,h3=0.6。首先對求解的正確性進行檢驗并判斷收斂性。正確性的判據選取為檢驗開闊水域與板覆蓋區在交界處的波流能守恒。參考文獻[16]，波流能εf可以表示為：

(31)

在M=5，N=15，R=4，a=1，ω=0.5，d=0.01的算例中，相對誤差為：

(32)

對于衰減模態項數的截斷參數M,當M≥5時，衰減模態對結果的影響就可忽略不計，本文后續計算均在M=7下進行。對于Bessel函數階數截斷參數N，數值的收斂性隨ω的變化而變化。在ω較小時，如ω=0.5，N=10便已經收斂，但在ω=2 時，N=20才能達到收斂。本文后續計算全部取N=20。

圖2展示了在不同入射頻率ω下上界面上豎直位移的幅值。在ω=0.1時，波受到直立圓柱的干擾較小，但當ω增大到1時，直立圓柱的存在對后面的流場產生了很大的影響，符合低頻長波繞射能力強，對下游的影響更大。同時，隨著頻率的增加，直立圓柱一周的豎向位移不斷減小。

圖3展示了在表面波模態入射時，不同板厚d,密度比γ和每層流體的厚度h下，表面、上下界面θ=π處的豎直位移幅值，其中選定ω=0.5，ζ1=0.01，ζ2=ζ3=0。當板厚d不斷變大時，彈性板的抗彎剛度不斷增加，因此板的撓度更小同時板覆蓋區的波幅也相對較小，在x=-1處滿足彈性圓板與直立圓柱的固結條件，同時因為抗彎剛度的增加，使得開闊水域的波幅增大。當密度比γ變化時，板的撓度并沒有明顯的變化，但當密度比不斷減小，明顯在自由水面上激發了新的模態，波形變得更加粗糙，但在上下界面模態波數則不斷變小，同時波幅有所增加。最后，當第1層與第2層流體的厚度不斷增加時，表面波波形基本不變，上下界面處的波幅則變得更小，激發的模態波長也更長，表明在表面波模態入射時，上層流體越厚，傳到下層的能量也就越少。

圖4討論了表面波模態入射時,不同半徑直立圓柱、彈性圓板的徑向壓力s(a,θ)。圖4(a)給出的是彈性圓板與直立圓柱半徑基本相同的模型，可以看出，當直立圓柱的半徑不斷增大，受到的徑向壓力就越小，同時隨著直立圓柱尺寸增加，圓柱后方壓力分布變得更加復雜。在a=1時可以與圖4(b)相較得出，板的存在吸收了部分的能量。

圖4 表面波模態入射時，不同圓柱半徑a與彈性圓板半徑R下圓柱的徑向壓力s(a，θ)

圖5為表面波模態入射時，不同入射頻率ω下圓柱收到的切向壓力q(z)。因為在界面上勢函數并不連續,因此水平方向的壓力會有突變。隨著入射頻率不斷增加，水平方向壓力減小，但當ω取很小的值，如ω=0.1，圓柱受到的壓力更均勻，因此水平方向的壓力就變得很小。

圖5 表面波模態入射時，不同 ω下圓柱水平方向受到的壓力q(z)

圖6對比了同樣波幅下表面、上下界面波模態分別入射時，各個界面θ=π處的豎直位移幅值。只有在表面波模態入射時，在表面上會引起較大的振幅，而當上下界面波模態入射時，在開闊水域會激起波數更大的新模態，但波幅更小。在板覆蓋水域則在上下界面處引起較大的波幅，但板的撓度幾乎為零。相比表面入射波，上下界面入射波所產生的水平方向壓力與徑向壓力都要小得多，上表面波模態入射時，在第2層流體內，水平方向壓力明顯減小，與下表面波模態入射時相反。

圖6 表面、上下界面波模態分別入射時，各個界面θ=π處的幅值以及圓柱所受到的徑向壓力與水平方向的壓力

4 結論

1)衰減模態對于結果的貢獻較小，在力、彎矩上基本可以忽略不計，在數值計算時并不需要考慮高階項的影響。而Bessel函數的階數對數值收斂性有影響，求解高頻短波對階數要求更高。

2)在低頻長波入射時，行進波的繞射能力強，受到彈性圓板直立圓柱結構的影響很小; 當頻率增加，模型對行進波的影響就越大。

3)表面波模態與界面波模態入射相比，引起的波幅在開闊水域各個界面上較大，但相應模態的波數越小。

4)在界面波模態入射時，有能量從界面波模態轉移到了表面波模態。