多途徑滲透數學文化，全方位體現數學教育

江蘇 張朋舉

(作者單位：江蘇省南京師范大學附屬揚子中學)

除了知識技能與應用外，數學本身也是一種文化.數學文化是指“數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動.”

在課程改革的進程中，數學文化越來越得到重視.《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》多處提到，要在日常教學中融入數學文化，課程性質中也指出“數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言”；“教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養等”.《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》(教試中心函(2016)179號)，也增加了數學文化的要求，明確提出在高考數學考題中要體現數學文化，要求學生加強對數學文化知識的學習，自覺地、有針對性地重視對數學文化修養的提升.縱觀近幾年全國高考卷，以數學文化為背景的試題在逐年增加；然而，在平日的數學教學中，一線教師卻很少滲透數學文化，致使數學文化在中學數學中總是“雷聲大、雨點小、評價高、運用低”，學生更是學業辛苦、但負擔沉重且自信不足;可見，在平日的教學中滲透數學文化的重要性不言而喻.以下筆者結合具體教學案例，從問題情境、主題探究、習題講評、知識總結、課外活動等5種途徑滲透數學文化，讓學生對數學知識和思想方法，不僅知其然，還知其所以然，不僅知其今生，還知其前世，不僅近觀樹木，還遠眺森林.

1.知識之源，問題情境中滲透數學文化

俗話說:“良好的開端是成功的一半”,問題情境對于新授課十分關鍵.學生學習新的數學內容前，往往會有這樣疑問，為什么要學？它有什么學習價值？其實數學概念、定理、法則等數學知識具有背景性和歷史性，其形成和發展的過程往往體現了相應的數學文化.教師如果能夠在課堂的導入環節融入數學史，幫助學生解決學習時的困惑，不僅可以激發他們的學習興趣，還對他們的思維具有啟發性，能夠盡快實現知識的遷移.“數系的擴充和復數的概念”是蘇教版選修1-2的第三章內容，如果把能夠體現數系的擴充的數學史放進教學的問題情境中，則可以讓學生切實體會到數系的擴充是自然的，水到渠成的.

師：著名的哲學家恩格斯說過：“各種數集是數學的兩大基本柱石之一，整個數學都是由此提煉，演變與發展起來的.”請各位同學回顧一下，到目前為止，你學過哪些數集？用符號怎樣表示？

生1：自然數集(N)，整數集(Z),有理數集(Q),實數集(R).

師：那么它們之間有怎樣的包含關系？

生1：NZQR.

師：從數集之間的包含關系，可以看出數是逐步發展壯大的，下面我們結合圖片談談你對數發展的了解(課前已讓學生了解數的發展史).

生2：第一幅為遠古時期的結繩計數，為了技術的需要產生了自然數，第二幅表示海平面以上、海平面以下，為了刻畫具有相反意義的量產生了負數，第三幅為分蛋糕，為了測量的需要產生了分數，第四幅為了求正方形對角線的長，產生無理數.

師：非常好！數的不斷擴充與發展，除了客觀實際需要，還有數學內部發展的需要，看大屏幕，走進意大利數學大師卡當(1501-1576)，他曾試圖解決這樣一個問題：將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40.請各位同學也來試一試？

生3：設一個數為x,另一個數為10-x.然后得到關于x的一元二次方程x2-10x+40=0，這個方程在實數范圍內無解，所以不可能完成將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40的.

師：大家都同意生3的說法嗎？

生眾：同意.

師：大家得到的結論和數學家卡當的想法一樣，但是卡當沒有放棄，他繼續思考這個問題，將10分成兩部分，有沒有這樣兩個數之和等于10的？兩數乘積等于40，有沒有？那怎么就找不到方程的解呢？卡當撇開方程的判別式的情況，嘗試使用求根公式把兩個根表示出來，請同學們表示一下.

師：生3寫的形式和卡當寫的形式一樣，實數集里有沒有這樣的數？

生眾：沒有.

師：實數集里沒有這樣的數,既然實數集中的數不夠用了，那么怎么辦？

生眾：添加新數，擴充數系.

師：引入一個什么樣的新數，能解決這個矛盾呢？具體一點，其實就是找到一個數的平方等于-1.

生眾：虛數.

師：“虛數”譯自英文“imaginarynumber”一詞，最早由17世紀法國數學家笛卡爾創用，原意為“想象中的數”.這個詞反映了一個事實，就是當時人們并不接受這種數.但在今天看來，除正整數外，其他數都是“人造數”.

2.方法之拓，主題探究中滲透數學文化

主題探究是課堂教學的中心環節，是學生獲得思想、方法、發展思維的重要途徑.數學發現來源于生活、生產、實驗、學科本身結構等，主要通過觀察、聯想、類比、歸納、猜想等獲得.而數學發現的結論往往需要經過推理論證，證明則是最重要的方式.數學史是一座積淀了無數先哲思想和方法的寶藏.教師在數學方法生成的教學中，適當滲透數學史，還原、再現知識的發現或發明過程，從數學家探索的痕跡中生產數學知識方法，對不同思想方法進行對比，拓展學生的思維，感受數學思維的豐富多彩，促進學生對知識體系的建構，達到見樹木又見森林，深化數學的理解.匈牙利數學家羅莎·彼得提出的燒開水的問題，其中涉及兩個問題：現在要燒一壺開水，應當怎樣辦？其它條件沒變化，只是水壺中已有足夠的水，又應當怎樣辦？顯然，第一個問題的解決具有較為明確的程序，對于解決第二個問題，只需把水壺的水倒掉，使新問題化歸為第一個已經解決的問題即可.這正是數學化歸與轉化思想的本質，把復雜、陌生、抽象的問題化歸為簡單、熟悉、直觀的問題.“等比數列前n項和公式”是蘇教版必修5第一章內容，在其公式的推導證明的教學中，如果能介紹秦九韶算法和歐拉算法等數學故事，則能促進學生對錯位相減法的進一步理解.

師：教材中提供的錯位相減法是19世紀英國數學家華里司在為《大英百科全書》所寫的兩則長篇辭條“代數學”和“級數”中給出的.其實在此之前，就有很多不錯的方法.公元前1650年，萊因德紙草書中有一個等比數列7，72，73，74，75的求和問題，其解法為S5=7+72+73+74+75=7×(1+7+72+73+74)=7×2 801=19 607.因此，古埃及人總結得出了等比數列7，72，73，…，7n的前n項和Sn與前n-1項和Sn-1之間的關系，同學們，你能利用這種關系得出等比數列a1,a1q,a1q2，…，a1qn的前n項和Sn么?

3.情感之潤，習題講評中滲透數學文化

數學思想方法往往隱藏在數學知識背后，滲透于具體問題的解決之中，是經過提煉與概括后的理性認識；講解和練習則是促進學生領悟數學思想的基本途徑,但數學思想本身是抽象和復雜的，學生不一定能理解其精髓，往往感覺數學課堂是枯燥乏味的.甚至有不少學生認為：數學除了考試與世界無關、數學很無聊、數學家天生與錯誤無關等等，但數學史告訴我們，數學是人類的一種文化活動，是人類創造了數學，在數學活動中，錯誤、懷疑、挫折、爭議都是不可避免的.例如“推理與證明”是蘇教版選修2-2的第二章內容，例題講評后，筆者進行了如下的文化滲透，使數學變得有趣、親和、激動人心.

師：近代數學的發展表明，許多重要的發現與發明都是在歸納與演繹的思維活動中產生并建立起來的，歸納與演繹是數學的基本活動.數學不是符號和公式堆砌起來的，而是歸納與演繹的統一，是猜想與證明的統一，數學家用歸納法發現問題，用演繹法證明結論.猜想幾乎總是走在最前頭的.數學家費馬的猜想就很多，公元1640年，他發現：f(n)=22n+1,將f(n)與n的對應值列成下表：

n01234…f(n)351725765 537…

他就猜想對任意正整數n，22n+1都是素數，這就是著名的“費馬猜想”.直到1732年，也就是費馬猜想提出的92年后，瑞士數學家歐拉才發現，當n=5時f(5)=225+1=641×6 700 417,是一個合數.否定了費馬的這個猜想.同樣在兩百多年前，有一位數學家觀察了這樣一組算式：6=3+3，8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=3+11,16=5+11…得到一個猜想，同學們，他的猜想是什么？

生眾：哥德巴赫猜想.

師：對的，他的猜想是任意大于2的偶數都可以表示成兩個奇數的和,即“1+1問題”.這是發生在1742年.“哥德巴赫猜想”至今未得到證明，雖然我國數學家陳景潤證明“1+2”，取得了震驚中外的世界領先結果，但這個問題最終解決的人是誰？也許還是陳景潤，也許就是我們同學中的一位.

4.實踐之效，知識總結中滲透數學文化

總結拓展是課堂教學非常重要的環節.教師應該鼓勵學生對所學的知識進行回憶、總結，但這不應該是整節課的結束，優秀的數學課還應該讓學生有種意猶未盡的感覺，應從實踐視角進行對知識進行內化與重構.因此，教師可以利用課堂時間進行知識總結，滲透數學文化，拓展學生思維，真正體會數學與現實生活之間的密切聯系.比如學生學完“數列遞推公式”，總結拓展時，教師可以通過讓學生閱讀蘇教版必修5第二章習題2.3(2)后的閱讀材料，介紹斐波那契數列.講授完“等比數列前n和公式”，進行知識總結和拓展時，可以利用蘇教版必修5第二章習題2.3(1)第17題進行如下引導：

師：非常棒.數學源于生活，生活中數學無處不在！學習數學就是要學會用數學的眼光看世界，生活中充滿著等比數列，它可以是超市里擺放的果凍、可以是銀行中復利的計算等等.瑞典數學家科赫通過觀察雪花，在1906年就構造了能夠描述雪花形狀的圖案：如圖，從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到雪花曲線.

圖1

圖2

圖3

圖4

同學能否結合該圖案或生活實際編制一道有關等比數列求和的問題，并給出相應的作答？

5.視野之拓，課外活動中滲透數學文化

數學課堂時間是有限的，數學文化又是包羅萬象的，為了能拓寬學生視野，僅靠在課堂滲透是遠不夠的,所以數學文化還要進入學生的課余生活.教師可以結合教學內容，課余時間定期舉辦數學史專題講座、數學史競賽等，讓學生在聽專家講座或考試中熟悉數學史，了解數學文化.如:高一可以向學生介紹康托的集合論和三次數學危機，介紹古今中外數學家的奮斗史和數學成就等，高二可以介紹楊輝三角等，高三可以介紹數學的思想方法史等等；也可以讓學生課余時間查閱書籍或網絡、撰寫數學小論文、收集資料、出數學文化黑板報等了解數學文化.