整體思想在立體幾何解題中的應(yīng)用探究

江西 魏東升

(作者單位：江西省瑞金第一中學(xué))

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容．但其往往是許多學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的攔路虎，因?yàn)樗粌H需要學(xué)生熟練掌握公式、定理、方法等相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，還需要具備較強(qiáng)的推理論證能力和空間想象能力．幾何學(xué)研究的對(duì)象是圖形的性質(zhì)，這就要求學(xué)生能分辨圖形所給出的信息，洞察隱藏在圖形中與解決問題有關(guān)的“子圖形”，對(duì)何時(shí)需要添加輔助線，添加輔助線后能否解決問題有正確的評(píng)估等．

培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和空間想象能力，有必要讓學(xué)生掌握一些必要的圖形處理策略和數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和整體思想等．前兩種思想學(xué)生接觸的較多，也比較熟悉，本文主要介紹整體思想在立體幾何解題中的應(yīng)用．

所謂整體思想，就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將要解決的問題看作一個(gè)整體，通過對(duì)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、已知條件和所求問題綜合考慮后得出結(jié)論．更加直白的講整體思想就是指從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)地整體處理．

在立體幾何中運(yùn)用整體思想，就是要讓學(xué)生既可以洞察到圖形中的“子圖形”，也能夠發(fā)現(xiàn)圖形中的“母圖形”，從而在解題中不至于“只見樹木，不見森林”．

以下通過具體實(shí)例讓大家感受立體幾何“線”“面”和“體”等三個(gè)維度中存在的立幾“森林”.

1.立幾“森林”之“線”

解析：如圖，取B1C1的中點(diǎn)為E，BB1的中點(diǎn)為F，CC1的中點(diǎn)為G.

評(píng)析：這個(gè)問題其實(shí)是幾何中的截弧問題，屬于球“切截接”(球內(nèi)切問題、球截面問題和球外接問題)中截面問題的一種，解決這類問題的關(guān)鍵是能夠直觀想象到多面體截得的弧是其“森林”——圓的一部分，同時(shí)結(jié)合已知條件通過數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得該圓的圓心和半徑，進(jìn)而得到圓弧所在扇形的圓心角，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

例2(2020·全國(guó)卷Ⅱ文·20)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

(Ⅰ)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

解析：(Ⅰ) 證明略．(Ⅱ)如圖，因?yàn)锳O∥平面EB1C1F，AO?平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN，故AO∥PN.

因?yàn)锽C∥平面EB1C1F，所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離．

評(píng)析：對(duì)于四棱錐B-EB1C1F的體積的求解，關(guān)鍵是求出點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離．這類問題的一個(gè)常見思路是直接找到點(diǎn)在該面的投影，對(duì)本題而言需要對(duì)底面EB1C1F進(jìn)行延展，這對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求比較高．注意到BC∥平面EB1C1F，這樣便可以利用化歸與轉(zhuǎn)化思想將點(diǎn)B延展到其“森林”——直線BC中點(diǎn)M，問題得以解決.

2.立幾“森林”之“面”

例3(2020·上海卷·15)如圖，在棱長(zhǎng)為10的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為左側(cè)面ADD1A1上一點(diǎn)，已知點(diǎn)P到A1D1的距離為3，點(diǎn)P到AA1的距離為2，則過點(diǎn)P且與A1C平行的直線相交的面是

( )

A.AA1B1BB.BB1C1C

C.CC1D1DD.ABCD

解析：如圖，在正方體中，因?yàn)镻到A1D1的距離為3，點(diǎn)P到AA1的距離為2，所以延長(zhǎng)A1P必交線段AD于點(diǎn)R，連接CR，在△A1RC中，過點(diǎn)P且與A1C平行的直線PQ必交CR于點(diǎn)Q.又因?yàn)辄c(diǎn)C，R在平面ABCD上，所以點(diǎn)Q在平面ABCD上，故選D.

評(píng)析：本題的本質(zhì)其實(shí)是考查正方體的截面問題.根據(jù)題意，點(diǎn)Q必然在由點(diǎn)P與直線A1C確定的平面內(nèi)，即正方體的一個(gè)截面.要找到Q點(diǎn)所在的平面，需要找到截面與該面的交線，從而根據(jù)交線的位置可以確定Q點(diǎn)的位置，由此可知本題的關(guān)鍵是確定PQ所在“森林”——截面A1RC.此題另一種比較流行的做法是延展右側(cè)面以延展直線PQ，與本法有異曲同工之妙.

例4(2020·江蘇卷·15改編)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是A1C，A1B1的中點(diǎn)．求證：EF∥平面A1OB．

解析：該題的證法較多，以下僅給出部分證法的思路：

思路1：取A1C1的四分點(diǎn)M,連接ME,MF,由面面平行的判定定理可得平面MEF∥平面A1OB，EF?平面MEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路2：取CO中點(diǎn)N,連接NE，NF,由面面平行的判定定理可得平面NEF∥平面A1OB，EF?平面NEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路3：取BC中點(diǎn)P,連接PE，PF,由面面平行的判定定理可得平面PEF∥平面A1OB，EF?平面PEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路4：取BB1中點(diǎn)Q,連接QE，QF,由面面平行的判定定理可得平面QEF∥平面A1OB，EF?平面QEF，所以由面面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路5：連接AB1交A1B于K, 連接B1C，OK,可證得EF∥B1C，OK∥B1C，所以O(shè)K∥EF，OK?平面A1OB,由線面平行的判定定理可得EF∥平面A1OB;

思路6：連接AC1則必與A1C交于E, 交A1O于R，連接AF交A1B于S,可證得R，S分別是AE，A1B的三等分點(diǎn)，所以EF∥RS，RS?平面A1OB,由線面平行的判斷定理可得EF∥平面A1OB;

另外還可以借助空間向量的法向量或者向量共面定理來證明，此處略.

評(píng)析：線面平行的證明一般可以通過其判定定理和面面平行的性質(zhì)定理兩種思路，之所以能快速想到前四種證明思路，就是因?yàn)檎业搅薊F所在的“森林”——三棱柱的截面EMFQPN，在這個(gè)平面內(nèi)再任取一個(gè)異于E，F(xiàn)點(diǎn)(其實(shí)還可以取多個(gè)點(diǎn)，這樣就有更多的證法)，便能夠構(gòu)造面面平行.需要指出的是，后兩種思路也可以基于線面平行的性質(zhì)定理找到類似的屬于EF的“森林”，大家不妨一試.

3.立幾“森林”之“體”

例5(2016·浙江卷理·14)如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________.

評(píng)析：此題常規(guī)思路運(yùn)算量很大，上述解法其實(shí)是通過BA=BC=BP而得到其為圓錐的母線這一點(diǎn)，從而可以將四面體PBCD置于其“森林”——圓錐內(nèi)部，高屋建瓴地把空間中的動(dòng)線問題轉(zhuǎn)化為平面上的動(dòng)點(diǎn)問題來分析，這種思路還適用于高考中大量存在的簡(jiǎn)單幾何體體積求解問題.

例6(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( )

評(píng)析：對(duì)于幾何體外接球問題，解決方法一般有球心法、交匯法和補(bǔ)形法．對(duì)于補(bǔ)形法，通常是通過找到不規(guī)則幾何體與規(guī)則幾何體的聯(lián)系入手，常見的規(guī)則幾何體有長(zhǎng)方體、棱柱、圓柱和圓臺(tái)等.本題就是利用了三條側(cè)棱相互垂直的三棱錐P-ABC與其“森林”——正方體共一個(gè)外接球這個(gè)特點(diǎn)，從而借正方體外接球的求法讓問題得到快速解決.

結(jié)語：在實(shí)際解題中，往往要用到多種思維方式，它們相輔相成，密不可分，組成一個(gè)有機(jī)的整體.這就要求我們要善于總結(jié)歸納立體幾何解題中的特殊與一般方法，從全局出發(fā)，多角度多視野地去思考問題.如“割補(bǔ)”“轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”和“空間向量”等多種思想的交互使用，但有些問題如果把它看成一個(gè)整體，考查題設(shè)的整體結(jié)構(gòu)和特征，弄清條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，從整體上進(jìn)行推算，便會(huì)事半功倍.