氣動三自由度并聯平移型機器人的同步控制

張曉堯，王 濤，王 波，朱愛東

(北京理工大學自動化學院，北京 100081)

引言

并聯平移機械手由多條運動鏈組成，具有高剛性、高精度和高承載力的優點[1-3]，因其結構復雜，非線性較強，相關控制策略研究也較為復雜。SUN等[4]使用交叉耦合控制來改善并聯機械手運動的同步。SHAN Xianlei等[5]研究了基于機械誤差和摩擦補償的控制策略，與增廣PD控制相比，運動控制精度得到了提升。 YANG Xu等[6]研究了一種用于并聯機器人軌跡跟蹤控制的連續摩擦前饋滑模控制器，該控制器具有比滑模控制器更好的瞬態和穩態跟蹤性能。自抗擾控制器可對外部擾動進行估計，對非線性系統的控制具有一定的魯棒性及抗擾動能力，在液壓控制和氣動控制領域受到廣泛關注[7-9]。

氣動三自由度并聯平移機械手的末端動平臺在輔助臂約束下，僅可沿x,y,z方向進行平移運動,不具有旋轉自由度。本研究針對動平臺的三維空間位置控制，提出一種線性自抗擾協調控制方法。線性自抗擾控制器用于改善驅動臂的跟蹤性能，協調控制器用于增加氣動并聯平移機械手3個驅動臂的運動協調性，并進一步減少定位誤差。

1 氣動并聯平移機械手

1.1 機械結構

三自由度氣動并聯平移機械手的結構如圖1所示，該機械手由動平臺、固定基座和3組相同的輔助臂和驅動臂組成。每條驅動臂由上球形鉸鏈、驅動缸(SMC CE1B12-150Z)和下球形鉸鏈組成，負責驅動機械手運動；每條輔助臂由直線導軌、花鍵軸和2個軸承組成，負責限制機械手的冗余自由度。 結構滿足以下幾何條件：

(1) 第i個輔助臂的R副(ri)和C副 (ci)必須平行于同一矢量si,i=1,2,3；

(2) 輔助臂的方向應滿足當i≠j時，si≠sj,i,j=1,2,3。

1.直線導軌 2.上軸承 3.花鍵軸 4.下軸承 5.動平臺6.固定平臺 7.上球鉸 8.氣缸 9.下球鉸 10.工作臺圖1 氣動并聯平移機械手組成結構

1.2 運動學分析

圖2 驅動臂坐標系幾何圖

bi=p+O′bi

(1)

1) 運動學雅可比矩陣

根據如圖2所示，可將第i條驅動臂的矢量環等式表示如下：

(2)

將式(2)對時間求導，可得下式：

(3)

(4)

式(4)對3個驅動臂均成立, 將3個方程寫為矩陣形式：

(5)

其中：

(6)

Jq=I3×3

(7)

(8)

雅可比矩陣中各元素可易由下式推出，根據機械手的拓撲結構和式(1),ai,bi可表示如下：

ai=[acφiasφi0]T

(9)

bi=[x+bcφiy+bsφiz]T

(10)

式中，c —— 余弦

s —— 正弦

(11)

故雅可比矩陣中元素jij表示如下:

(12)

(13)

(14)

其中，e=a-b。

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2) 運動學位置逆解

給定動平臺位置和方向得出驅動器位移變量即為運動學位置逆解。參考式(1)和式(2),可得下式：

(15)

將式(15)與自身做點乘再將式(9)和式(10)帶入結果可得：

(li0+li)2=(x-ecφi)2+(y-esφi)2+z2

(16)

求解式(16)可得到運動學位置逆解，表示如下：

(17)

3) 運動學位置正解

給定一組驅動器輸入計算動平臺的位置和方向，即為運動學位置正解。根據式(16)寫出另外2組方程, 得出關于未知變量x,y,z方程組。分別將i=2,3時的式(16)減去i=1時的式(16)可得下式：

(l20+l2)2-(l10+l1)2

=(x-ecφ2)2+(y-esφ2)2-

(x-ecφ1)2-(y-esφ1)2

(18)

(l30+l3)2-(l10+l1)2

=(x-ecφ3)2+(y-esφ3)2-

(x-ecφ1)2-(y-esφ1)2

(19)

化簡式(18)、式(19)可得：

2e(cφ1-cφ2)x+2e(sφ1-sφ2)y-

(l20+l2)2+(l10+l1)2=0

(20)

2e(cφ1-cφ3)x+2e(sφ1-sφ3)y-

(l30+l3)2+(l10+l1)2=0

(21)

由于cφ2=cφ3,式(21)減去式(20)可得：

(22)

將式(22)帶入式(20),可得x的解：

由于x,y均已求解,z可由以下方程確定：

(24)

依據固定平臺上的Oxyz坐標系,選擇z解中的負值。

2 機械手控制器設計

設計線性自抗擾協調控制器(LADRCC)對氣動并聯平移機械手進行控制，其由兩部分組成：一個是線性自抗擾控制器(LADRC)，用于改善單個驅動臂的跟蹤效果；另一個是協調控制器，用于增加3個驅動臂的運動協調性，以減少動平臺的空間定位誤差。 控制器的結構圖如圖3所示。

2.1 線性自抗擾控制器

針對氣動并聯平移機器人每個驅動臂都包含的單個氣缸，設計線性自抗擾控制器進行控制，其由線性微分跟蹤器(LTD)、線性擴張狀態觀測器(LESO) 和線性狀態誤差反饋控制律組成。線性自抗擾控制器的方框圖如圖4所示。

圖3 氣動并聯平移機械手控制方框圖

圖4 線性自抗擾控制器方框圖

根據文獻[10],氣缸模型可被簡化如下：

(25)

(26)

1) 線性跟蹤微分器

根據文獻[11]，線性跟蹤微分器設計如下：

(27)

式中，v0—— 給定信號

v1——v0跟蹤信號

v2——v1近似微分信號

r—— 可調參數

2) 線性擴張狀態觀測器

在氣缸系統的狀態方程中，未知的非線性部分是有界且可微的，可視為擴張狀態x3，即f(x1,x2)=x3，因此系統的狀態方程表示如下：

(28)

線性擴張狀態觀測器的構造如下[12]：

(29)

式中，β1,β2,β3為3個可調參數，按照線性系統狀態反饋理論，采用極點配置的方法整定其為:β1=3ω,β2=3ω2,β3=ω3；z1和z2實時跟蹤系統狀態x1和x2，z3實時跟蹤系統總擾動。

3) 線性狀態誤差反饋控制

通過狀態變量的線性組合可以生成以下控制量:

(30)

式中，e1=v1-z1，e2=v2-z2；k1和k2為2個可調參數；u1為生成的控制量。

2.2 協調控制器

氣動并聯平移機械手的3個驅動臂由氣缸組成。根據線性驅動的結構特點，第i個驅動臂的同步誤差定義如下：

(31)

對每個驅動臂的同步誤差進行控制，即可增加氣動機器人空間運動的協調性。同步誤差定義的示意圖如圖5所示。

圖5 同步誤差示意圖

采用如下所示PI控制器作為協調控制器:

(32)

3 實驗結果

氣動并聯平移機械手的主要結構參數如表1所示。

表1 機械手主要結構參數 mm

在實驗中，將氣動并聯平移機械手動平臺的軌跡設置為空間螺旋軌跡，軌跡方程如下式：

(33)

氣源壓力ps設為0.5 MPa,2個控制器參數設置為:r1=200,ω=150,k1=118,k2=13,b0=1600,kp=33,ki=0.06。

圖6～圖8為使用自抗擾協調控制策略與PID控制策略下3個驅動臂的跟蹤效果,縱坐標為驅動臂位移s。為進一步比較跟蹤精度，以3個驅動臂跟蹤誤差的均方根為測量指標，定義如下:

(34)

圖6 驅動臂1跟蹤效果

圖7 驅動臂2跟蹤效果

圖8 驅動臂3跟蹤效果

如圖9所示,PID控制器誤差約為2.1 mm，自抗擾協調控制器跟蹤誤差約為1.2 mm，有效地提高了氣動并聯平移機械手的軌跡跟蹤精度。

4 結論

本研究針對氣動并聯平移機械手，提出一種線性自抗擾協調控制方法。 將線性自抗擾控制應用于氣動并聯平移機械手的單個驅動臂，并根據機械手的結構特點，設計基于驅動臂跟蹤誤差分解的協調控制器，以增加運動的協調性。 基于所設計的控制策略，對氣動并聯平移機械手進行了空間軌跡跟蹤實驗，與PID控制相比，提出的線性自抗擾協調控制有效地提高了氣動并聯平移機械手的軌跡跟蹤精度。

圖9 PID控制和LADRCC控制均方根誤差對比