例談教學設計的“聚焦”問題

王喜秋

人教版二年級數學上冊《數學廣角（排列組合）》是教學研討中廣為展示的一節課。在優質課比賽中，一位青年教師所講的這節課在一些環節的設計和處置方面引起了聽課教師的爭論，出現了在廣義數學、學生認知范圍、生活實際等層面不同答案如何處理的問題。為此，筆者想到了教學設計的“聚焦”問題。

先來說說這節課引起爭議的問題。第一個問題在課的引入環節：“行李箱密碼鎖的密碼是由1和2組成的兩位數，密碼是幾？”學生回答：“12和21。”教師認可之后說：“還可能是11和22。”對于教師提出的后兩個答案，學生有些迷惑，聽課教師對這個引導也有爭議。第二個問題在新知探究后的鞏固環節：“車子的尾號是由0、2、5組成的兩位數，并且是可能出現的結果中從小到大的第三個數。車子的尾號是什么？”課堂上出現了三種答案：05、20、50。授課教師沒有想到會出現這種情況，聽課教師和學生對授課教師給出的答案50也沒有信服。

為了以這節課出現的問題為例來說清楚教學設計中的“聚焦”問題，筆者先通過兩道題來說說排列和組合的相關知識。

例題一：有從1到9共9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數？解答：123和213是兩個不同的三位數，對排列順序有要求，這屬于排列數的計算范疇。這個問題中，組一個數時任何一個號碼球只能用一次，顯然不會出現988、998之類的組合。我們可以這樣想，百位數字有9種可能，十位數字就只有9-1=8種可能，個位數字應該只能有9-1-1=7種可能了。根據分步計數的原理，最終共有9×8×7=504個三位數。

回到課引入環節的問題：“行李箱密碼鎖的密碼是由1和2組成的兩位數，密碼是幾？”聯系使用行李箱密碼的情境，每個位置有很多數字，的確可以出現11、22之類的數。按照這樣的情境設計出了下題。

例題二：行李箱的密碼由三位數組成，每一位都有0到9十個數字，那么行李箱一共可以設置出多少個不同的密碼？解答：這道題對排列順序有要求，顯然是排列問題，但是這道題的情境與題一不同。題一中，九個號碼球百位用了，十位和個位就用不了了，也就意味著不同數位上可以選擇的可能性不同。而題二的情境中，組出的數在百位、十位、個位可以有重復的數字，所以每個數位都有10種可能，能組成的三位密碼數有10×10×10=1000個。

有了上面兩道排列組合題目及解題說明，下面來談一談教學設計中的聚焦問題。

一方面，教學設計要聚焦教材的編寫目的。引入環節中“行李箱密碼鎖的密碼是由1和2組成的兩位數，密碼是幾？”的問題，答案不必引向11和22。不但不要引向11和22，而且要設置“路障”，擋著11和22這樣的答題是在排除某一個元素重復出現的問題。如：“用1、2和3組成兩位數，每個兩位數的十位數和個位數不能一樣，能組成幾個兩位數？”“用三種顏色給地圖上的兩個城區涂上不同的顏色。”以上都是強調排列的元素不重復使用。在不重復的情況下才有了規律，才更容易發現規律。所以，密碼鎖的情境不建議在二年級課堂中出現，而應在學生理解和掌握了排列組合的基本思想方法之后，再靈活解決紛繁復雜的實際問題。

為什么在小學二年級設計排列組合這樣的內容，是為了掌握定義和公式嗎？顯然不是的。這節課屬于小學數學之“數與代數”領域中“探索規律”板塊，這一板塊的編排目的是讓學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。而這節課是要通過解決生活中排列組合之類的實際問題體會有序思考的好處，習得有序思考的方法，提高全面思考的意識和能力。整節課是要在解決問題的過程中學習數學，學生要經歷的是分析問題、解決問題、得到方法的全過程，是一次探索發現之旅。

明確了教材安排這部分內容的意圖，就明白為什么教材中強調“每個兩位數的十位數和個位數不能一樣”“兩個城區涂上不同的顏色”，這是由數學的嚴謹所決定的，是在規避一個元素重復出現。所以，教師在本節課的教學設計中要聚焦教材的編寫目的，規避一個元素的重復使用，之后才能幫助學生開啟有序思考、全面思考的探索之旅。

另一方面，教學設計要聚焦教學目標的達成。這節課的教學目標是讓學生通過解決簡單的數學排列問題，培養學生有序、全面思考問題的意識。基于這個目標，引入環節問題的選擇、例題的處置、練習的設計都要仔細斟酌、取舍。本節課的引入環節可以是從兩個元素中選出兩個元素的排列，但要規避一個元素重復使用的問題;探索環節應該是從三個元素中選出兩個元素的排列問題，這個環節是有序思維、全面思考意識和能力形成的關鍵階段;練習階段可以延伸到四個元素中選出兩個元素的排列問題，但不是必須要延伸，把從三個元素中選出兩個元素的排列問題練到位即可。

教學設計應該聚焦教學目標的達成，從這個角度上看，這節課上鞏固練習環節的那個題目設計顯然是失敗的。“車子的尾號是由0、2、5組成的兩位數，并且是可能出現的結果中從小到大的第三個數。車子的尾號是什么？”這道練習題首先是難度大，要排列出所有情況，還要排序得出答案，作為第一課時的初步練習來說難度太大。其次，這個問題情境會引起數學學習經驗和實際生活經驗的認知沖突。按照車號數字這樣的實際生活場景，有個別學生排出了“02、05、20、25、50、52”這樣的答案，排在第三個的是20。當這個學生講出自己的想法時，有學生還補充了車號00，認為排在第三個的是05。這是按照車號出現的實際生活場景思考的結果，因為01號、02號這樣的生活經驗學生是有的。多數學生排出的兩位數是20、25、50、52，認為排在第三個的數是50。這顯然是基于他們二年級學生的數學認知邏輯排出來的，因為數學的學習使他們認識到，十位上的數是0就要省了不寫，所以他們刪掉了00、02、05這三種情況。這道練習題讓學生思維混亂，妨礙了教學目標的達成。所以，這道練習題可以修改為：“用0、2、5組出個位數字和十位數字不同的兩位數，一共可以組出多少個？”這樣的練習題才有助于教學目標的達成。

綜上所述，教師在進行教學設計時要聚焦教材的編寫目的來制定教學目標，更要聚焦教學目標的達成來進行引入環節、探究環節和鞏固提升環節的教學設計。畢竟，好的教學設計是上好課的前提。

（責編 馬孟賢）