連續時間系統預期強干預

莫培勇

摘 要：本文研究的是基于累積效應的連續時間系統預期強干預，即我們采取相應控制，使系統在受到可預期的強干預時，能其達到輸出相對穩定的結果。其中，干預強度可以是非常大的，因此要在強干預發生之前就進行一定控制。一旦強干預來臨，則可起到緩沖作用，有利于系統輸出的穩定。此外，最小方差控制考慮預期強干預時的控制效果明顯好于不考慮預期強干預，說明我們控制是有效的。我們預測不同的初始（終止）干預時刻對系統輸出的影響也不同，當時，控制效果明顯;則控制效果較差。當輸入約束較為寬松時，控制效果明顯;反之，控制效果不甚理想。

關鍵詞：連續時間; 強干預;累積效應;初始干預時

1 預期強干預的基本概念

預期強干預，即在可預見的短期之內，系統必然遭到因某些外部因素的影響而引起的干預，且干預強度一定是大的。其中，便是強干預，是分布已知的隨機過程，是的數學期望[1]。

外部因素的影響而引起干預相對系統本身所受的是干擾非常大的，所以為了方便我們研究，往往假定干擾是小的干擾[2]，如零均值白噪聲[3]。

2 本研究項目的創新之處

基于干預（干擾）的系統分析、建模與控制的研究，無論是在系統控制領域還是在經濟、管理領域都已開展多年[4，5]。不過，已有的研究主要限于干預（干擾）是過去發生過的[6]，或者是自初始時刻就存在的，或者是計劃實施的過程中影響計劃完成的因素變化屬于已知的有限集合等等[7]。

本項目是一項創新性課題，其中所提出的預期強干預區別于已有的干預分析，是一個全新的概念。預期強干預是本項目所涉及的關鍵性概念，也是全部擬定研究內容的出發點和圍繞的核心，所界定的預期強干預概念主要包含如下屬性。

1.22.1 強干預作用的顯著性

對系統而言，干預的強度是一個較大的值，將產生顯著的（正面或反面）效應。在這里，為了方便研究，我們取為一個不隨時間變化的常數。干預發生及其持續期間對系統的動態品質如峰值、波動以及連續性將造成大的影響，特別是可能導致系統的狀態（輸出）與系統設定值（平衡點或跟蹤軌跡）的偏離程度達到不能容許的程度以至于導致系統的崩潰;

1.32.2 強干預發生的可預期性

所謂的可預期性是以如下兩方面為基礎和前提條件的。首先，誘發強干預的外部因素的客觀存在性;其次，外部因素（的變化）導致強干預在“可預見的未來”發生的必然性。

1.42.3 強干預發生的初始時刻和持續時間均具有隨機不確定性

誘發強干預的外部因素通常是由多因素構成的，且具有某種隨機不確定性[8]。外部因素的隨機不確定性決定了，由其誘發的強干預發生時刻及干預終止時刻也必然具有隨機不確定性。因此，我們必須對初始干預時刻和終止干預時刻做必要的估計預測。

3 外部因素及預測

1.53.1 累積效應

在實際事例中，誘發強干預的外部因素通常是由多因素累積構成的，且眾多因素中的任何一種因素都不占主導地位，即由累積效應誘發強干預。

為了方便我們研究，通常認為誘發強干預的外部因素是靜態的，即各種因素對系統的影響不隨時間的變化而改變。

3.2 初始干預時刻的預測

既然知道在可預期的未來強干預將必然發生，就必須系統加以控制，使強干預對系統產生的效應減少至最低。對初始干預時刻的預測及預測的精確性顯得至關重要。誘發強干預的因素眾多且隨機不確定[9]，此預測方法基于累積效應，在眾多靜態的外部因素共同作用下，導致強干預的發生。由此，我們得到了在可靠度為下的對的估計值，就是預測的初始干預時刻。

3.3 終止干預時刻的預測

既然誘發強干預的外部因素是隨機不確定的，則導致強干預消失的外部因素也是隨機不確定的。本項目中，我們研究的是預期強干預，在課預期的不久，強干預必然發生，但終止干預時刻則不然，一些干預一旦發生，就不再會終止，即。且這種情況經常發生。例如：國家就針對某一行業所設定的法規、規范我們可視之為強干預，此種干預將在很長的時間內不會消失，就可以認為終止干預時刻無窮大;

4 控制及分析

4.1 連續時間系統與離散時間系統的轉換

本項目研究的是連續時間系統預期強干預，不過在MATLAB中極難實現，因此，須把連續時間系統轉化為離散時間系統，以下便是推導過程，在接下來的研究中，便都按離散時間來處理問題。

4.2 基于預期強干預的最小方差控制

4.2.1 控制不受約束

為了更好地反映控制效果，我們這里對控制的輸入項不設限制，即，也就是說，無論受到的干預強度有多大，系統都有能力進行控制，使盡可能趨于穩定，當然這是基于理想情況下的。

4.2.2 控制受約束

在實際當中，系統的輸入一般都會受到某種約束，即，例如，對控制力大小的限制;對能耗的約束等等，因此，當系統受到的干預強度較大的時候，對該系統的控制面臨心有余而力不足的實際現實。雖然此種情況的控制效果不甚理想，但是更加符合實際情況，更具實際意義。并且（為了滿足條件）。相對于控制不受約束的情況，研究方法不變，和發生改變，主要是因為不能實現。

5 預測及控制各種情況的分析

5.1 控制是否基于強干預對系統輸出的影響

首先，我們考慮最小方差控制不針對預期強干預，最小方差控制不針對預期強干預，在系統面臨強干預時，對穩定系統輸出無任何作用[10]。

接下來的是最小方差控制基于預期強干預所得到的，即在系統受到強干預時，立馬對該系統進行有效控制，故控制相當有效。

為了使具有可比性，令初始干預時刻，終止干預時刻一致，并且輸入無約束，即可以進行完美的控制，無現實中存在的諸多限制。可以得出最小方差控制基于預期強干預的系統輸出明顯好于控制不針對預期強干預。因此，我們可以認為控制考慮預期強干預是十分必要的，控制效果也是十分有效的。

5.2 輸入是否受約束對系統輸出的影響

因為實際中控制很難做到隨心所欲，往往受到規模、人力、物力、財力還有自然條件等各種限制，控制一般只能做到相對最優，并不能像理論這么完美，所以針對輸入是否受約束這種情況的討論時非常有必要的。

終止干預時刻比較特殊，就是強干預一旦發生就不再終止。且初始干預時刻都想相同。可以看出，無論是否無窮，對系統輸出均無顯著影響，不過只要強干預還在，控制項也隨之持續。唯一對系統輸出有影響的是輸入是否受限制。顯然，當輸入受約束時，即使進行及時有效的控制，系統還是受到強干預的影響。

5.3 不同初始干預時刻對系統輸出的影響

在以下分析中，我們統一將實際上真正發生強干預初始時刻記為，將預測的初始干預時刻記為。真正發生強干預終止時刻記為，預測的終止干預時刻記為。由于是人為的預測，所以其預測值與真實值之間必然存在一定的誤差。一般有三種情況：。

假定整個系統所持續的時間，令實際初始干預時刻。并且以下三種情況都令，這樣就不必考慮終止干預時刻對系統輸出的影響。還有以下三種情況都是輸入無約束的，能進行有效控制。

第一種情況在，即預測值等于實際值，此為最理想模型。由上圖可知，由于精確的預測，故在系統受到強干預的情況下，能做出及時有效的控制，使輸出基本趨于穩定，此控制效果明顯。

第二種情況在，即預測值小于實際值由上圖可知，通過較早的有力控制，系統在受到強干預的情況下，輸出基本趨于穩定，此控制效果明顯。

第三種情況較為特殊，當，即預測值大于實際值。換而言之，在還沒有到我們預測的強干預發生時刻之前，事實上，針對該系統的強干預已經發生。簡單地說，也就是預測失敗。既然預測失敗，則控制發生的時間也就不再是預測的時刻，而是實際上干預發生的下一個時刻。皆因預測時晚于實際強干預發生時刻，所做的相應控制相對滯后。此控制效果差強人意。

由以上三種情形可知，對初始干預時刻的準確預測至關重要。所以，在一般不能精確預測初始干預時刻的情況下，應當稍稍提前預測初始干預時刻，并及早采取相應措施進行控制才能事半功倍。否則，一旦預測時刻晚了，即使控制輸入不受約束，控制效果也不是十分理想，只能說是事倍功半。

6 結論

本項目所研究的系統預期強干預，在現實實踐中有著廣泛的應用。并且，相比以有的所研究的干預分析，提出了更新的概念，更有實際意義。首先，我們強調的是“預期”，即研究在可預見的未來發生的強干預，這樣，便能對即將到來的強干預有所準備，使其影響減至最小，比之，研究過去發生的干預事件更具實際意義;其次，再考慮是“強干預”，即干預強度必須非常大，從而，便可忽略系統本身所帶的小干擾。此外，我們還預測了的不同的初始干預時刻（終止干預時刻）對系統輸出的影響并進行分析，比較而后得出結論。在發生強干預之后，對系統進行的控制并分析，比較不同的控制對系統輸出的影響，例如：是否考慮預期強干預;輸入是否有約束等等。由于，本項目所研究的內容極其復雜以及時間原因，故我們只研究其中最為簡單的一階線性時間控制系統。現今，干預分析越來越成為熱門研究課題，相信在眾多專業學者的努力下，相關理論會發展得更加成熟，解決更多的實際問題。

參考文獻

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[2] B. O. D. Anderson and J. B. Moore. 最佳濾波[M]：國防工業出版社，1979

[3] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程 [M].北京：高等教育出版社，2004

[4] 馮文權.政策干預或突發事件影響的統計分析模型[J].統計與決策，1990（6）.

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[7] C. K. Chui and G. Chen， Kalman Filtering with Real-time Applications， Springer Press， 2009， 4th Edition.

[8] 蓋如棟.基于預期強干預的單輸入離散時間系統的建模、預測與控制研究.技術報告，淮陰工學院，2010.

[9] 劉次華，隨機過程及其應用，北京高等教育出版社，2004.

[10] 蓋如棟.論臨界穩定的一階線性離散時間系統在預期強干預條件下的改進的最小方差控制[J]，Asian Journal of Control，2008.7：pp.1-8.