圖說數學教育理論模型的建構

【摘 要】文章借助圖形幫助教師直觀地理解數學教育理論模型建構的常用方式，如MPCK理論的樹形圖模型、MKT理論的韋恩圖模型、HPM理論的流程圖模型、數學課程綜合難度的雷達圖模型、數學核心素養體系的幾何體模型、數學核心素養評價的坐標系模型、數學教育雙邏輯體系的對稱圖模型等。建構數學教育理論模型有助于教師形象且不失邏輯地詮釋自己的教育教學觀點和理論。

【關鍵詞】圖說;數學教育理論;模型建構

《數學寫真集（第1季）——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖形組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：“有什么比用插圖來展現一個個重要的數學知識點更好的主意呢？”[1]筆者希望借助圖形幫助廣大教師直觀地理解許多復雜、深奧的數學教育原理。

理論與實踐本是相輔相成、辯證統一的關系，但很多中小學教師往往畏懼數學教育理論，認為理論過于抽象、難以理解。為此，筆者專門對30多個數學教育理論模型做了分析，發現數學教育理論模型的建構主要有樹形圖、韋恩圖、流程圖、雷達圖、幾何體、坐標系、對稱圖等形式，這些圖形能形象且不失邏輯地向教師揭示某項理論研究的精髓。

一、MPCK理論的樹形圖模型

毋庸置疑，教師所具備的知識、能力、素養直接影響著教育質量。自20世紀80年代以來，人們從不同角度提出了許多關于教師的知識模型。其中，美國學者舒爾曼（Shulman）研究團隊提出的Pedagogical Content Knowledge（簡稱PCK）理論，即學科教學知識或者教學內容知識理論有較大影響力[2-3]。

針對美國教師教育中的培養模式、教師資格認定和教師教育研究中所存在的學科知識與教育學知識脫節的現象，舒爾曼團隊經過研究后提出PCK這一概念，認為成功的教學不僅需要教師的學科知識，而且需要教師的學科教學知識，也就是說為了促進學生的理解，教師必須自己先理解表征概念的方法，具備將教學內容轉化為便于教學的知識。

PCK理論提出后，國外學者開展了大量的研究工作。2005年以后，PCK理論受到我國教育界的關注，并迅速成為教師知識研究領域的熱門話題。

如果放在數學教學領域，討論的就是數學教學內容知識，即Mathematical Pedagogical Content Knowledge（簡稱MPCK）。圖1為MPCK理論的樹形圖模型[4]。該樹形圖模型的一個顯著優點是把MPCK做了兩級分類，便于人們開展局部與整體研究。其中，處在第一層級的四類知識分別是數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關數學學習的知識（CK）、教育技術知識（TK）。

與MPCK理論類似，我國的章建躍博士提出了“四個理解”的觀點，他認為“理解數學、理解教學、理解學生、理解技術”（簡稱“四個理解”）是數學教師教好數學的前提，也是數學教學改革的基石[5]。雖然還沒有人給出“四個理解”的理論模型，但“四個理解”的觀點已經受到我國中學數學教師的青睞，截至2021年4月中國知網收錄的以之為題的文章多達70余篇。

其實，無論MPCK還是“四個理解”，除了教育技術這個因素，兩者還與數學教育學經典理論中的“三論”——數學課程論、數學教學論、數學學習論相吻合[6]。這就告訴我們，數學教育理論往往是相通的，它們是相同實質的不同表現形式。

利用樹形圖建構的理論模型還有數學教育學體系（曹才翰，1987）[7]、數學知識的分類模型（喻平，2000）[8]、高中數學研究型教學模式（李昌官，2018）[9]等。

二、MKT理論的韋恩圖模型

在上述MPCK理論的基礎上，美國密歇根州立大學教育學院鮑爾（Ball）教授研究團隊于2000年前后提出了Mathematical Knowledge for Teaching（簡稱MKT）理論，即面向教學的數學知識理論。經過10年左右的不斷完善，MKT理論的韋恩圖模型如圖2所示。

其中，一般內容知識（CCK）指除教學外，在其他背景下也使用的數學知識和技能;專門內容知識（SCK）指教學所特有的數學知識和技能;水平內容知識（HCK）指關于數學主題之間相互關聯的知識;內容與學生知識（KCS）指把數學和學生學習情況相結合的知識;內容與教學知識（KCT）指把數學與教學相結合的知識;課程與內容知識（KCC）指關于課程標準、教科書等課程資源的知識。我們將CCK、SCK、HCK統稱為學科內容知識（SMK），將KCS、KCT、KCC統稱為教學內容知識（PCK）。

MKT理論將原來割裂的學科內容知識與教學內容知識融合并統一為面向教學的數學知識，并給出了精致的分類（即圖2中的六個板塊）。很多人認為MKT理論是“教好數學需要哪些類型的數學知識”這一問題當前最好的答案[10-11]。

與MKT理論相通的是我國的數學教學基本功經驗。數學教學基本功是我國數學教研組師徒傳承的寶貴經驗，受到我國中學數學教師甚至教育主管部門的重視。數學教學基本功主要包括：（1）解題;（2）教材解讀;（3）新授課教學設計;（4）課件制作;（5）課堂組織;（6）板書;（7）作業設計;（8）復習課與試卷講評;（9）命題。它們可與MKT理論建立起對應關系。[12]

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學教師應以《中學教師專業標準》為指導，提升自身的專業水平，數學教師要努力提升通識素養、數學專業素養、數學教育理論素養、教學實踐能力，并對這四方面的素養或能力做了具體闡述[13]。這比MKT理論與數學教學基本功經驗增加了教師的通識素養，具有更加宏觀的指導意義。

利用韋恩圖建構的理論模型還有數學競賽（奧林匹克數學）的性質模型（羅增儒，2000）[14]、青年數學教師專業發展共同體ERTP理論模型（劉祖希等，2018）[15]等。

三、HPM理論的流程圖模型

HPM是History and Pedagogy of Mathematics（數學史與數學教育）的簡稱。1972年，數學史與數學教學關系國際領導小組成立，標志著HPM作為一個研究領域正式出現。HPM自20世紀末引入我國，目前的研究達到了一個前所未有的高度，既有HPM的學術組織、研究團隊、理論成果[16]，也有HPM的實踐隊伍、課例模式、案例成果[17-18]。華東師范大學汪曉勤教授研究團隊建構的HPM理論如圖3所示，這是一個流程圖模型[19]。

這個模型展示了HPM理論的核心內容：立足1個視角（數學史），通過2座橋梁（歷史與現實、數學與人文），采用4種形式（附加式、復制式、順應式、重構式），遵循5個原則（科學性、可學性、有效性、人文性、趣味性），將數學史融入數學教學，發揮數學教學的6大價值（知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效），實現立德樹人的根本任務。這個HPM理論模型是中國學者對世界HPM的貢獻，增強了中國數學教育研究的理論自信[20]。

利用流程圖建構的理論模型還有關系—映射—反演（RMI）原理（徐利治，1983）[21]、數學建模的基本過程（《普通高中數學課程標準（2017年版）》）、數學主題教學設計的過程（《普通高中數學課程標準（2017年版）》）、數學“情境—問題”教學模式（呂傳漢等，2001）[22]、基于數學文化的教學模式（張維忠等，2009）[23]、數學概念學習的APOS理論模型（杜賓斯基，1991）、數學教學設計原理（涂榮豹，2018）[24]、數學解題思維調節與控制系統（周春荔，2012）[25]、教育數學與數學教育的關系（張景中，1989）[26]等。

四、數學課程綜合難度的雷達圖模型

鮑建生教授于2002年在其博士學位論文中提出了數學課程綜合難度的雷達圖模型，如圖4所示。該模型借鑒了美國國家教育統計中心工作報告（2001）中的課程總體難度（Overall difficulty）的概念，并結合數學學科的特征，以數學題的難度來衡量數學課程的難度[27-28]。數學課程綜合難度的雷達圖模型受到廣泛引用，截至2021年4月中國知網收錄的該模型引用文獻高達390余篇。

這個模型包含五個難度因素：背景、探究、知識含量、推理、運算，每個因素又劃分為不同的水平，根據等級權重，利用公式計算一組題目在每個因素上的加權平均數，具體如下：

di=∑jnijdijn（∑jnij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）。

其中di表示五個難度因素的取值，dij表示第i個難度因素的第j個水平的權重，nij表示一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數，其總和等于該組題目的總數n。

得到五個di值后就可以畫出反映課程綜合難度的五邊形雷達圖，根據圖形的整體態勢還可以分析課程的綜合水平與難度特征。

當然，這個模型也有值得商榷的地方：一是以習題的難度代替課程（教科書）的難度，顯然不夠全面;二是習題的五個難度因素的劃分既比較粗略，也沒有對所獲得的五個數值進行必要的整合。之后許多研究者對此進行了改進。[29]

利用雷達圖建構的理論模型還有數學教材例題難度模型（濮安山等，2016）[30]、幾何課程難度模型（史寧中等，2005）[31]、高中生數學學科核心素養測評框架（朱立明，2020）[32-33]等。

五、數學核心素養體系的幾何體模型

自從《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了數學核心素養六要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，許多研究者嘗試建構數學核心素養體系的幾何模型，比較典型的有三棱臺模型（曹培英，如圖5所示）[34]、魔方模型（孫成成、胡典順）[35]、金字塔模型（呂世虎、吳振英）[36]。

筆者曾對這些模型分別進行了評析。其中，三棱臺模型的優點是將《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的10個核心詞（除去非數學特征的“創新意識”，并增加具有數學特征的“抽象”）歸類到三棱臺的6個頂點，上底面頂點表示的核心素養整體作用于下底面頂點表示的核心素養。該三棱臺模型既做好了義務教育與普通高中數學課程標準的銜接，又突出了數學核心素養的層次[37]。

利用幾何體建構的理論模型還有數學“四基”教學理論的正方體模型（張奠宙等，2011）[38]、數學學習力結構的圓錐模型（唐恒鈞等，2016）[39]、HPM教學實踐探究的三棱錐模型（王科，2017）[40]等。

六、數學核心素養評價的坐標系模型

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學學業質量水平是六個數學學科核心素養水平的綜合表現，每一個數學學科核心素養劃分為三個水平，每一個水平通過數學學科核心素養在四個方面（情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思）的具體表現進行表述。這就是說，可以通過數學學科核心素養水平來評價學生的數學學業質量水平。據此，可從素養成分、素養體現、素養水平三個維度建構高中數學核心素養評價的坐標系模型，如圖6所示[41]。

在這個模型中，每個點P（x，y，z）代表了某種數學核心素養（x=1，2，3，4，5，6）在某個方面（y=1，2，3，4）的表現為某一水平（z=1，2，3）。

利用坐標系建構的理論模型還有最近發展區理論的數軸模型（維果茨基，1932）、數學解題坐標系（羅增儒，1997）[42]、數學學習理論的研究框架（鮑建生等，2009）[43]、數學學科核心素養的結構（寧銳等，2019）[44]、數學教研論文寫作的基本規律（劉祖希等，2016）[45]、數學文化的三維坐標系統（顧亞龍，2014）[46]等。

七、數學教育雙邏輯體系的對稱圖模型

人們對完善的數學教育學體系孜孜以求。南京師范大學研究團隊建構了數學教育雙邏輯體系的理論模型，如圖7所示，這是一個對稱圖模型[47]。該模型詮釋了數學教育作為學科不但要遵循教與學的對應原則，還應該遵循教與數學對應的原則。也就是說，數學教育學體系需要雙向建構，既要由一般教育理論演繹數學教育規律，也要由數學的學科特征提取數學教育規律。其中，教與學對應的中介因素包括教學論、課程論、學習論、教育技術，這些因素確保數學教學活動遵循教育教學的基本規律、遵循學生的心理特點;教與數學對應的中介因素包括教師的數學知識和經驗、教育取向的數學哲學、教育數學、教育取向的數學史，這些因素直接影響數學教學活動的數學特征，即正確地、適當地體現數學的知識方法和思維價值。

數學教育雙邏輯體系的理論模型可看作是對曹才翰教授在1987年提出的數學教育學體系的改進，其優化了原體系的邏輯和層次。

利用對稱圖建構的理論模型還有數學教育學研究的雙邏輯起點（單墫、喻平，2001）[48]、數學教學中的思維活動（張乃達，1987）[49]、教師核心素養和能力雙螺旋結構模型（王光明等，2019）[50]等。

綜上所述，解讀數學教育理論模型建構的常用方式，有助于教師理解理論與實踐之間的聯系，拓展理論的傳播力和實踐的生命力。期待廣大數學教師選用合適的模型建構方式，詮釋自己的教育教學理論和觀點。

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（責任編輯：陸順演）