軸承共腔結構渦軸發動機相似模型設計

劉 準 ，廖明夫 ，鄧旺群 ，劉文魁

（1.西北工業大學動力與能源學院，西安710129；2.中國航發湖南動力機械研究所，湖南株洲412002）

0 引言

國內外新一代的渦軸發動機采用了燃氣發生器轉子和動力渦輪轉子共用的軸承共腔結構取代了原有渦軸發動機獨立的排氣框架和燃氣發生器轉子后支點結構，具有體積小、工作轉速高以及雙轉子系統耦合振動明顯等特點，試驗驅動系統動力學特性相對復雜同時傳感器的布置變得較為困難。因此，采用臨界轉速較低、體積較大的試驗模型轉子進行轉子動力學試驗是一種廉價、高效的選擇。

針對雙轉子系統的動力學特性分析在國內外已經得到了相對完善的研究。鄧旺群等[1]針對渦軸發動機高速轉子進行了動力學特性的計算；Chiang 等[2]分析了單轉子和雙轉子的耦合動力學特性；章健等[3]研究了共用支承結構即共腔結構的傳力特性和耦合特性，為軸承共腔結構雙轉子系統的動力學計算提供了參照。

此外，很多研究已經對單轉子系統的相似設計進行了詳盡地分析。其中，羅忠等[4-5]分析了轉子動力學相似中軸承參數以及薄壁件結構的影響；王永亮等[6]在考慮陀螺效應的情況下討論了單轉子系統的轉子動力學相似準則；Wu[7]詳細對比了通過相似模型與原型轉子的振型對應關系，在實際計算中單轉子相似模型與原型轉子的振型相似度約為70%。

在本研究中作為設計目標的動力學相似試驗器采用空心電機驅動燃氣發生器，因此動力渦輪與燃氣發生器轉子的長度差更大，動力渦輪轉子和燃氣發生器轉子無法保持相同的相似比。因此，結合雙轉子系統的動力學耦合計算方法對現有的轉子動力學相似理論進行了小的改進，使擁有不同相似比的轉子正確耦合，保證相似后的軸承共腔結構模擬雙轉子系統總體上與原發動機轉子在振型和臨界轉速上比例相似。此外，由于試驗模型在相似尺寸縮放過程中的小結構與渦軸發動機上的零件不可能完全成比例，因此試驗模型中存在許多畸變。為了減小這些畸變的不利影響，在給定的臨界轉速相似比和雙轉子長度相似比條件下，本文提出了一種基于有限元方法和多島遺傳算法的方法，并通過計算實例驗證了該方法和理論的有效性。

1 模態分析與相似理論準備

1.1 模態分析

有限元分析方法是一種離散連續系統的方法，通過建立運動微分方程的離散微分模型，并進行數值求解，計算和分析系統的動態特性。在本文工作中，采用1 維有限元分析方法具有計算速度快、結果簡潔易分析的特點，其主要操作步驟如下。

（1）將連續模型離散化為有限數量的簡單單元，將盤參數化為具有質量和轉動慣量的參數節點。定義每個單元節點，用節點位移表示單元中任意一點的位移。當1 個系統有N個節點時，元素為N-1 個。節點的廣義位移為

式中：V和W為節點的位移；B和Γ為軸在節點處的轉角[8-9]。

（2）通過數學推導獲得各單元的動能和勢能表達式，利用拉格朗日方程得到各單元的運動微分方程；裝配單元體矩陣，最終得到系統運動微分方程

（3）通過求解式（2）得到系統各階臨界轉速和相應的模態振型[10]，最終得到節點廣義位移1維數組

1.2 動力學相似理論

轉子動力學相似一般包括固有頻率、模態振型和特定狀態下的不平衡響應（根據情況要求應變能分布相似）。單轉子系統的基本動力學特性可以由復數微分方程[11]

為了保證式（6）始終成立，左、右部分的實部和虛部的系數應相等，即

得到與轉子動力學相似的4個基本公式

為使雙轉子系統中的燃氣發生器轉子和動力渦輪轉子正確耦合，首先應保證模型雙轉子系統各階固有頻率與原型轉子系統的各階固有頻率比相同。

此外，對雙轉子系統必須在2 個轉子耦合的節點擁有相同的撓度。本文的雙轉子系統應在軸承共腔結構外傳力框架處具有相同的撓度。偏心量相似比與其他參數相似比之間的關系為

2 畸變模型的相似優化

在理想條件下，根據動力學相似理論建立的模型轉子在臨界轉速相似比和模態振型方面應與原型轉子完全相似。然而，這種相似模型在實際工程應用中無法實現，因為在實際工作中總是因為標準件或加工原因存在設計畸變。 因此，本文基于實值遺傳算法提出了1種優化模態參數（m,l,d,ρ,E）[12]的優化算法。

（1）模態振型置信度MAC。模態振型置信度（Modal Assurance Criterion）是對2 種模態振型一致性的度量[13]，定義為2個模態振型的夾角余弦值的平方

式中：ψpr為原型轉子系統第r階模態的振型；ψmr為模型轉子系統第r階模態的模態向量。

多模態振型置信度MCO（Coordinate Modal Assur?ance Criterion）是模態保證準則的擴展，綜合反映了多階模態的模態振型的總體一致性

（2）遺傳算法優化。為了控制相似模型轉子的相似質量，在相似模型的設計優化中引入了多島遺傳算法（Genetic Algorithm）。在本文中采用實數編碼遺傳算法對轉子參數值進行直接優化，無需將轉子的實值參數轉換為浮點數，更加直觀易于操作[14]。

通過多島遺傳算法進行相似度優化。首先，將帶有畸變的原始相似模型的所有可優化變量參數構造成1 個數組，作為初始個體，見式（12）。其次，通過對初始個體中的參數進行上下浮動構造搜索空間并在搜索空間中隨機生成大量的轉子模型，將隨機生成的轉子模型分組處理形成幾個初始種群。再次，對初始種群中的1 維轉子模型批量進行有限元分析得到每個轉子對應的臨界轉速和模態振型，進一步計算適應度。執行遺傳算法標準的選擇、交叉和變異操作，獲取新一代的種群。重復這些過程以獲得總體相似質量更好的種群。最終選擇最后一代種群中適應度（即相似質量）最好的個體。

式中：n、m、l、x、y、z為各種可變參數數量。

采用實值遺傳算法優化轉子的算法結構流程如圖1所示。

圖1 遺傳算法相似優化流程

在遺傳算法中最關鍵的步驟是對個體的適應度評價，構造合適的適應度函數能夠確保算法能夠篩選掉不合適的轉子模型留下更為相似的轉子模型。

為了保證相似模型與原始模型具有相同的轉子動力學特性，2 種模型的模態形狀應高度相似。與單轉子系統的類似工作不同，為了保證雙轉子系統的適當耦合，功率渦輪轉子和氣體發生器在任何時候都應該處于相同的狀態，意味著雙轉子的臨界速度應該成正比。因此，適應度函數應該至少是MAC（或MCO）和臨界速度的組合。計算結果表明：在考慮多階振型（大于4）的情況下，利用MCO建立適應度函數的效果不理想。原因是MCO包含了太多的階次模態向量信息，缺乏重點，經常存在某1 階模態的MAC較低而MCO較高的情況。因此，推薦MAC的適應度與臨界速度的懲罰函數相結合，由不重要模態向重要模態依次進行單階優化。

為衡量臨界轉速與目標臨界轉速的偏差值，設計臨界轉速罰函數

式中：Ωpr、Ωmr分別為是原型、模型轉子的第r階臨界轉速；Sc為設計目標中的臨界轉速相似比。

結合MAC值和臨界轉速罰函數的的適應度值為

為了提高優化算法的執行效率，本文采用了動態代溝（篩選比例）的篩選策略。在開始以較高的淘汰率來縮小搜索區域，然后以較低的淘汰率進行精細優化。本文設計的代溝函數為

式中：n為單個世代所有種群中個體（模型轉子）的數量；Fitnr為這一代模型群中個體的最高適應度。

在本文中，交叉算子設置為0.7，變異算子設置為0.1，均保持不變。

3 原型轉子和目標模型轉子

原型渦軸發動機是雙轉子系統，2 個轉子旋轉方向相同，結構如圖2 所示。轉子系統有6 個軸承。動力渦輪轉子是支撐在1、2、5、6 號軸承上的懸臂轉子，燃氣發生器是支撐在3、4 號軸承上的簡支轉子。軸承4～6安裝在軸承共腔結構過渡段中。燃氣發生器與動力渦輪通過軸承共腔結構耦合振動。

圖2 原型發動機轉子模型

軸承共腔結構安裝在柔性的渦輪導向器上，動力渦輪轉子和燃氣發生器轉子的振動耦合特性可以通過調整共腔結構參數進行調整。

由于試驗轉子的燃氣發生器采用空心電機驅動，動力渦輪轉子與燃氣發生器無法保證相同的長度相似比如（圖3）所示。為使空心電機有足夠安裝空間，動力渦輪轉子和燃氣發生器上應采用不同的目標相似度。

圖3 相似目標模型

4 有限元建模和相似性設計

4.1 建模與相似性設計

由于后續的遺傳算法優化步驟需要進行大量的轉子動力學分析，因此用1 維有限元方法分析原型轉子的動力學特性。將原型轉子的3 維轉子模型離散為具有79個節點的1維模型。其中，動力渦輪轉子有38個節點，燃氣發生器轉子有36個節點，其余節點為軸承共腔結構模型。動力渦輪通過5、6 號軸承連接到共腔結構過渡段，燃氣發生器通過4 號軸承與共腔結構過渡段連接。共腔結構過渡段可被視作支承在一彈性支承系統上，該支承系統由1 個徑向彈性支承和1個角向彈性支承以及對應的阻尼器組成。

本文設計目標轉速相似比設置為0.3，動力渦輪尺寸相似比設置為1.7。為方便比較模型轉子和原型轉子之間的差別，相似模型轉子的1 維參數節點數與原型轉子保持一致。相似工作轉速覆蓋經相似比換算后的原型轉子的工作轉速。

考慮到加工和材料性能，相似模型轉子不能理想地與原型轉子相似。因此，通過相似原理直接得到的轉子模型需要經過可行化調整后才可加工。

本文相似比例模型的畸變主要來自以下幾方面。首先，原型轉子盤是不規則盤，在相似比例模型中被轉換為同重心位置處的規則轉子盤。 其次，由于受加工條件限制，將原型轉子動力渦輪的空心軸改為普通軸。再次，彈性支承為防止失穩的剛度不能無限減小。此外，還有因材料屬性限制和封嚴件等小結構差異造成的非人為畸變，將畸變設計于初始比例模型，構造出原始的畸變模型。

此時，畸變模型的模態振型和原型轉子的模態振型產生了一定偏差，需要優化轉子的振型和應變能參數才能達到相似要求，本文采用遺傳算法進行優化。

首先將待優化參數形成1個數組，并根據參數類型給出上下界。 使用第2 章中提到的遺傳算法方案對畸變模型進行優化，并對畸變模型轉子與原型轉子之間的振型置信度進行優化，如圖4 所示?？紤]前4種自激模態（前2 階動力渦輪轉子模態和前2 階燃氣發生器轉子自激模態），優化前后模型轉子的振型置信度至少增加了14%。其中動力渦輪轉子第2 階振型置信度值較低（93%）是因為該階模態為動力渦輪轉子彎曲模態，在工程設計中動力渦輪剛度畸變較大，給出的設計限制無法滿足更高的振型相似度。

圖4 振型優化效果

4.2 結果與誤差分析

分析原型轉子和模型轉子的振型，各階模態振型如圖5所示。左列為原型轉子振型，右列為模型轉子振型。

圖5 計算振型對比

從圖中可見，相似模型轉子的動力渦輪轉子振型與原型轉子具有較高的一致性，而燃氣發生器轉子振型比原型轉子更加平直，這是在加工時人工調整的。在設計中仍然保證了軸承共腔結構內的3 個軸承偏心率成比例，這意味著動力渦輪轉子和燃氣發生器轉子之間的耦合正確性得到了保證。

原型轉子和模型轉子的臨界轉速見表1。從表中可見，相似模型轉子的臨界轉速相似比得到了良好地控制。

表1 原型轉子和模型轉子臨界轉速對比

在相同不平衡量作用下，相同結構的對轉雙轉子不平衡響應較同轉雙轉子更為顯著[15]，這種響應差異主要來源于陀螺力矩的不同，相似轉子的陀螺力矩也是相似的。因此，本文僅討論動力渦輪轉子和燃氣發生器轉子同轉情形下的不平衡響應情況。模型轉子和原型轉子在動力渦輪2 個典型位置處的不平衡響應如圖6~9所示。上方是原型的不平衡響應，下方是相似模型轉子的不平衡響應。從圖中可見，不平衡響應峰值出現的轉速值成比例。響應峰值高度和寬度不同是因為2 種模型的不平衡量和阻尼并未設置在同一相似比上。

圖6 原型轉子動力渦輪軸中央同位置不平衡響應

圖7 相似模型動力渦輪軸中央同位置不平衡響應

圖8 原型轉子動力渦輪第2級盤處不平衡響應

圖9 相似模型動力渦輪第2級盤處不平衡響應

5 結論

本文以一種軸承共腔結構雙轉子渦軸發動機為研究對象，開發了1 套動力學相似設計和優化方法，并用該方法建立了與該型發動機動力學相似的雙轉子試驗器模型。討論了軸承共腔結構雙轉子系統在2 個轉子具有不同相似比下的設計方法，通過保證撓度的方法讓雙轉子正確耦合。

以有限元算法和多島遺傳算法為基礎建立了軸承共腔結構雙轉子系統的相似設計方法，建立了基于臨界轉速和振型置信度的相似質量衡量指標函數即適應度函數。經軸承共腔結構發動機模型驗證，采用該方法優化后雙轉子系統的振型置信度MAC可以達到0.8 以上，臨界轉速相似比具有較好的一致性。該方法理論上可以推廣至其它轉子系統的動力學相似工作中。