電動汽車-路面系統機電耦合建模及非線性振動分析

馮桂珍， 李韶華， 趙文忠

(1. 石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學 交通運輸學院，石家莊 050043； 3. 石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043； 4. 河北交通投資集團公司，石家莊 050091)

輪轂電機獨立驅動電動汽車由于傳動效率高、機動性和靈活性高、易于實現各種智能控制等優點，得到了極大關注[1-2]。但是，獨立驅動電動汽車的動力學與控制面臨諸多新的問題和挑戰。簧下質量大，導致輪胎動載荷增加，與路面的動力學相互作用更為突出。同時，電機電磁力與轉矩波動會對車輪造成電機激勵，進一步加劇車輪振動，進而影響輪胎接地安全性、車輛平順性和穩定性。

目前，關于獨立驅動電動汽車的機電耦合振動方面，Wang等[3]研究表明，開關磁阻電機垂向電磁力作用在車輪上，導致輪胎負載顯著變化，且頻率覆蓋寬，涉及車體和車輪部分的共振頻率。Tan等[4]指出，路面激勵通過輪輞傳遞到驅動電機，導致電機定轉子氣隙變化，產生電磁力不平衡，影響車輛動力學特性。Wang等[5]建立了通用的直流電機模型，通過硬件在環實驗驗證了控制方法，并應用于智能車輛的主動轉向控制中。李哲等[6]建立了考慮電機激勵不平衡徑向力的懸架系統機電耦合模型，提出了電磁主動懸架多目標粒子群優化設計方法，抑制輪轂電機驅動電動汽車的振動負效應問題。林程等[7]選用黏性聯軸器作為機電耦合裝置提高了獨立驅動汽車的動力性和操縱穩定性，并起到輔助防滑的作用。張利鵬等[8]通過輪轂電機的力矩主動分配實現了電動汽車的側傾穩定性控制，提出的橫擺和側傾運動聯合解耦控制方法，可有效控制側傾運動，大幅度提高整車穩定性。史曉燕等[9]針對輪轂電機垂向振動問題，提出了一種新型動力吸振構型和半主動懸架混合控制策略。曹占勇等[10]針對電動汽車由于傳動系低阻尼特性產生的轉矩波動問題，提出了模糊自整定PID(proportional integral differential)控制器和神經網絡PID控制器，提高電機控制器的響應速度和抗干擾能力。左曙光等[11]采用有限元方法構建了一套虛擬電動振動系統，該系統空間上非均勻分布，相對于線性電磁模型，提供了更真實的振動環境。上述文獻主要分析了電機激勵對車輛的影響，但未考慮車路相互作用，沒有對道路進行建模，也沒有考慮路面二次激勵的影響。

關于車路相互作用方面，Zhang等[12]提出非線性多彈簧線接觸輪胎力模型，考慮路面不平順和車輪跳離路面，便于車橋耦合動力學分析。李金輝等[13]建立了三軸重型汽車，分析非平穩行駛條件下重型汽車輪胎附加動載特性，并與勻速平穩行駛工況進行對比。Yang等[14-15]建立了車路耦合動力學模型，認為路面振動會給汽車帶來二次激勵，并影響輪胎動載和附著特性，提出了改進的輪胎滾子接觸力學模型。上述文獻主要針對傳統汽車與路面的相互作用，沒有研究電動汽車，未涉及電機激勵對車輛響應的影響。

獨立驅動電動汽車因簧下質量增加導致車輪振動劇烈，與路面的動力學相互作用更加突出。但現有研究主要針對傳統汽車，關于電動車輪與路面動力學相互作用的研究尚不多見，且以2自由度1/4懸架模型居多。而考慮懸架剛度、阻尼和輪胎剛度非線性，研究獨立驅動電動汽車在路面不平順、電機激勵及車路耦合激勵的綜合作用下的機電耦合動力學，尚未見文獻報道。鑒于此，論文建立了輪轂電機電動汽車-路面系統機電耦合動力學模型，研究了電動汽車的振動響應受路面不平順、電機激勵和路面二次激勵綜合作用的影響規律，以車速及非線性參數對汽車響應的影響。

1 電動汽車-路面系統機電耦合模型

1.1 系統運動微分方程

假設路面對電動汽車左右輪的激勵相同，汽車結構對稱，建立輪轂電機驅動電動汽車5自由度半車模型，且輪胎剛度、懸架剛度、懸架阻尼都為非線性，用兩端簡支的有限長Bernoulli-Euler梁模擬柔性公路路面，用Kelvin黏彈性地基模擬公路路基，并假定t=0時刻汽車位于梁中點，以速度v沿直線勻速行駛，分析汽車縱向鉛垂平面內的振動問題，如圖1所示。

圖1 電動汽車-路面系統機電耦合模型

假設車體俯仰角θ變化范圍很小，根據達朗貝爾原理及振動理論，建立電動汽車及路面垂向振動微分方程[16]

(1)

(2)

式中：zb為車體質心處垂向位移；θ為車體俯仰角；ztf，ztr為前、后非簧載質量垂向位移；zp為座椅垂向位移；mb，Jb為車體質量及繞質心的轉動慣量；mtf，mtr為前、后非簧載(包含電機)質量；mp為座椅(包括駕駛員)質量；ktf，ktr為前、后輪胎剛度；ksf，ksr為前、后懸架剛度；kp為座椅剛度；csf，csr為前、后懸架阻尼系數；cp為座椅阻尼系數；Fe為電機垂向激勵合力；l1，l2，l3分別為前、后軸、座椅至車體質心距離；E為材料彈性模量；I為截面對中性軸的慣性矩；ρA為單位長度路面的質量(ρ為路面的密度，A為路面的橫截面積)；k為路基反應模量；c為路基阻尼系數；Ftf，Ftr為考慮車路耦合作用的前、后輪胎力； δ為狄拉克函數；x為汽車行駛方向的位移；wr為路面的垂向振動位移；wt為車路耦合振動引起的路面二次位移激勵。

路面不平順采用正弦激勵，表達式為

(3)

式中：Ω為路面激勵頻率；B0，L0分別為路面不平順幅值及波長。

輪胎力為

(4)

式中，Gf，Gr為前、后軸輪胎靜載，其表達式分別為

非線性懸架剛度采用三次多項式，非線性輪胎剛度采用二次多項式，懸架阻尼采用非線性液壓阻尼，表達式分別如下：

非線性前、后懸架剛度

(5)

非線性前、后輪胎剛度為

(6)

懸架阻尼采用非線性液壓阻尼，其表達式為非線性懸架阻尼為

(7)

1.2 電機垂向激勵

據文獻[17]，采用開關磁阻電機，電機垂向激勵合力的解析表達式為

(8)

1.3 路面二次激勵

根據模態疊加原理，式(2)中路面垂向位移可展開為無窮級數

(9)

將式(9)代入式(2)，兩邊同時乘以Yj(x)并沿地基梁長L對x積分，根據模態振型的正交性，可得

(10)

其中，

(11)

(12)

由式(10)求出ηi(t)，代入式(9)，即可求出路面垂向位移響應wr(x,t)的解析表達式

(13)

將x=L/2+vt代入式(13)，即可得到汽車從梁中點開始行駛時，輪胎下方每個時刻的路面振動位移，本文將之稱為路面二次激勵，其表達式為

(14)

將路面二次激勵wt(x,t)代入式(4)，即可求得考慮車路耦合作用的輪胎力Ftf，Ftr。

2 電動汽車-路面系統非線性振動分析

綜合考慮路面不平順、路面二次激勵和電機激勵作用時，機電耦合模型的系統運動微分方程組具有高維、參數時變、車路機電耦合等特性，解析解難以求解，本文通過四階龍格庫塔數值方法，利用MATLAB軟件編程求解三重耦合激勵下的汽車和路面響應。

選取汽車參數如下[18]：mp=100 kg,mb=1 740 kg,Jb=2 424.9 kg·m2,mtf=103.5 kg,mtr=120 kg;kp=1 800 N/m,ksf=114 000 N/m,ksr=160 400 N/m,ktf=310 240 N/m,ktr=324 600 N/m,csf=2 600 N·s/m，csr=6 500 N·s/m，cp=194 N·s/m，β1=0.01,β2=0.1,β3=0.6,β4=1/3,l1=1.666 m,l2=0.934 m，l3=1.816 m;v=60 km/h。

選取路面和路基模型系統參數：E=1.6×109N/m2，k=48×106N/m2,c=0.3×105N·s/m2，路面為寬度b=6 m、厚度h=0.01 m、矩形截面，長度L=140 m；瀝青混合料密度ρ=2.5×103kg/m3；路面不平順參數：L0=10 m，B0=0.010 m。

2.1 路面模態疊加階數的選取

為了保證計算結果的正確性，對路面模態疊加階數的選取進行了數值試驗。取模態疊加階數NM=1～200，計算模態疊加階數對路面響應和車輛響應幅值的影響，如圖2和圖3所示。

圖2 模態疊加階數對路面響應幅值的影響

圖3 模態疊加階數對車輛響應幅值的影響

由圖2和圖3可知，模態疊加階數NM在30階以下，對路面響應及路面二次激勵響應較大，30階以上影響較小。此外，由式(11)可求得兩端簡支的黏彈性地基梁的模態頻率，且前200階頻率都小于80 Hz。文獻[19]規定，人體承受的周期振動和非周期振動的頻率范圍在1～80 Hz。鑒于以上分析，模態截斷階數NM取200。

2.2 路面二次激勵的影響

分別取路面不平順幅值B0=0.010 m和B0=0.001 m，計算得到車路耦合情況下，路面二次激勵對車輛響應的影響。限于篇幅，只列出B0=0.001 m時座椅加速度、車體加速度、俯仰角加速度、前、后懸架動撓度和前、后輪動載荷的影響，如圖4所示。表1為B0=0.010 m和B0=0.001 m時車輛響應最大幅值及相對差別。

圖4 路面二次激勵對車輛響應的影響(B0=0.001 m)

表1 路面二次激勵對車輛響應幅值的影響

由圖4及表1可知：①路面二次激勵對輪胎動載荷的影響最大，車體加速度和懸架動撓度的影響次之，對座椅加速度和俯仰角加速度的影響較小；②路面不平順幅值越小，路面二次激勵對車輛響應的影響越大，其中B0=0.010 m和B0=0.001 m時，前輪動載荷最大增幅分別3.7%和21.7%，后輪動載荷最大增幅分別為14.2%和25.4%。可見，在平坦路面上行駛，路面二次激勵對車輛響應的影響不容忽視。

2.3 電機激勵的影響

激勵形式分別為：①考慮路面不平順和路面二次激勵的二重激勵；②考慮路面不平順、路面二次激勵和電機激勵的三重激勵。將路面不平順qr、路面二次激勵wt、電機垂向激勵合力Fe分別代入式(1)、式(2)和式(4)，通過四階龍格庫塔法可求得非線性電動汽車在綜合激勵作用下的響應。車輛以60 km/h勻速行駛，座椅加速度、車體加速度、俯仰角加速度、前、后懸架動撓度和前、后輪動載荷受激勵形式的影響曲線，如圖5所示。激勵形式對車輛響應最大幅值的影響及相對差別，如表2所示。

圖5 電機激勵對車輛響應的影響

表2 電機激勵對車輛響應最大幅值的影響

由圖5及表2可知：考慮電機激勵后，對輪胎動載荷和車體加速度的影響最大，最大幅值分別增加6.1%和5.8%，懸架動撓度和俯仰角加速度的影響次之，座椅加速度的影響較小。且懸架動撓度和座椅加速度的增大幅值都為負值，說明非線性懸架和阻尼對電機激勵產生的垂向振動具有一定的隔振效果，降低了座椅加速度和懸架動撓度。

2.4 行駛速度的影響

車輛行駛速度從5～100 km/h，增量為5 km/h，對車輛響應最大幅值的影響，如圖6所示。

圖6 速度對車輛響應最大幅值的影響

由圖6可知：

(1) 隨著行駛速度的增加，非線性模型的車輛響應幅值整體呈現增加趨勢。其中，座椅加速度最大幅值在25 km/h和60 km/h處出現兩個峰值，車體加速度最大幅值在60 km/h處出現一個峰值，俯仰角加速度在90 km/h處出現一個峰值，主要原因是由于座椅和車體的垂直振動及車體俯仰振動的固有頻率分別為0.67 Hz，1.66 Hz，2.42 Hz，當車輛25 km/h，60 km/h和90 km/h行駛時，路面激勵頻率(Ω=2πv/L0)分別為0.69 Hz，1.67 Hz，2.5 Hz，發生共振所致。同時，共振導致懸架動撓度和輪胎力也出現了峰值。

(2) 不同行駛速度時，考慮電機激勵的三重激勵相比于不考慮電機激勵，后輪動載荷最大幅值的影響最大，最大幅值增加3.5%；車身加速度的影響次之，最大增幅2.9%；座椅加速度和懸架動撓度最大幅值增加都為負值，其中座椅加速度最大幅值減小1.7%，說明非線性懸架和阻尼對電機激勵產生的垂向振動具有一定的隔振效果。

(3) 非線性模型在考慮與不考慮電機激勵作用下，行駛速度對車輛響應的影響與線性模型在不考慮電機激勵的變化趨勢基本一致，但考慮電機激勵時，線性模型受速度影響波動較大。說明考慮電機激勵時，非線性模型較線性模型更為穩定。

2.5 車輛非線性的影響

為了進一步研究非線性剛度和阻尼系數對車輛響應的影響，在二重激勵和三重激勵下，分別改變參數β1，β2，β3，β4中的一個，固定基本參數不變，得到車輛響應的最大幅值影響曲線，如圖7～圖10所示。非線性參數對車輛響應最大幅值影響的差別，如表3所示。

由圖7～圖10及表3可知：

表3 非線性參數對車輛響應最大幅值影響的差別

圖7 β1對車輛響應最大幅值的影響

圖8 β2對車輛響應最大幅值的影響

圖9 β3對車輛響應最大幅值的影響

圖10 β4對車輛響應最大幅值的影響

(1) 輪胎非線性剛度系數β1增大，車體加速度降低，最大幅值降低9.26%(考慮電機激勵)、9.47%(不考慮電機激勵)；但同時使座椅加速度、前、后懸架動撓度和前、后輪動載荷及俯仰角加速度都增加，其中，輪胎動載荷的增幅最大，考慮電機激勵超過8%，不考慮電機激勵超過5%，懸架動撓度的影響最小，增幅在2%左右。

(2) 懸架剛度平方非線性系數β2增大，座椅加速度、車體加速度和前懸架動撓度都降低，其中，車體加速度的降幅最大，考慮電機激勵降低118.34%，不考慮電機激勵降低124.99%，座椅加速度的降幅次之，降幅超過21%；俯仰角加速度、后懸架動撓度和后輪動載荷都增大，其中，俯仰角加速度的增幅最大，超過60%，后輪動載荷的影響最小，前輪動載荷在β2<10時緩慢增加，在β2>10時降低，但在β2>18時，后懸架動撓度、俯仰角加速度和后輪動載荷都出現突變，其中，后懸架動撓度的突變最為顯著，不容忽視。

(3) 懸架剛度立方非線性系數β3增大，對汽車響應的影響較小，其中，后輪胎輪載荷、前、后懸架動撓度都小于1%。

(4) 懸架阻尼不對稱系數β4增大，車體加速度、后懸架動撓度和后輪動載荷都增加，其中，后輪動載荷的影響最大，最大增幅49.25%(考慮電機激勵)、62.7%(不考慮電機激勵)，車體加速度和后懸架動撓度的最大增幅都小于15%；前懸架動撓度、前輪動載荷和俯仰角加速度都有所降低，其中，俯仰角加速度的降幅最大，超過17%，前懸架動撓度和前輪胎的降幅都超過5%；座椅加速度的影響最小。

綜合上述分析可知，考慮電機激勵、路面二次位移激勵和路面不平順的三重綜合激勵，非線性剛度和阻尼系數的影響曲線出現波動，但總體趨勢與不考慮電機激勵的影響基本一致。其中，從提高汽車平順性角度看，提高懸架剛度平方非線性系數β2最為有利，增大β2可顯著降低車體加速度(降幅超過100%)，同時使座椅加速度、前懸架動撓度和前輪動載荷降低，但在β2>18時，后懸架動撓度出現突變，應引起重視；其次是懸架阻尼不對稱系數β4，增大β4可降低俯仰角加速度(超過17%)，同時降低前懸架動撓度和前輪動載荷，但β4的增大也使后輪動載荷增大(超過49%)，應綜合考慮；增大輪胎非線性剛度系數β1，可降低車體加速度，但車輛的其他指標都增加，其中前、后輪動載荷增加較為顯著，影響車輛行駛安全性，設計中不容忽視；懸架剛度立方非線性系數β3對汽車響應的影響最小。因此，實際車輛設計可以通過調節各參數，達到提高乘坐舒適性和行駛安全性的目的。

3 結 論

建立了非線性電動汽車-路面系統機電耦合動力學模型，推導了簡支邊界條件下路面垂向振動引起的二次激勵，并分析了車輛響應受路面二次激勵、電機激勵、車速和懸架非線性的影響規律。研究表明：

(1) 在路面不平順、電機激勵和路面二次激勵三重綜合激勵作用下，非線性模型對汽車響應的性能指標明顯優于線性模型，尤其是輪胎動載荷，非線性模型的前、后輪動載荷最大幅值比線性模型降低86.4%和181.2%，說明非線性汽車模型在一定程度上降低了電機激勵產生的輪胎動載荷。在汽車系統非線性參數中，懸架剛度平方非線性系數對汽車響應的影響最大，懸架阻尼不對稱系數和輪胎非線性剛度系數的影響次之，懸架剛度立方非線性系數的影響最小。因此，為了更準確、合理地計算電動汽車響應，應采用非線性車輛模型進行研究。

(2) 非線性模型在考慮電機激勵和不考慮電機激勵作用下，行駛速度對車輛響應的影響與線性模型在不考慮電機激勵的變化趨勢基本一致，但考慮電機激勵時，線性模型受速度影響波動較大，說明考慮電機激勵時，非線性模型較線性模型更為穩定。隨著車速的增加，非線性模型的車輛響應幅值整體呈現增加趨勢，且以25 km/h，60 km/h和90 km/h行駛時，激勵頻率分別接近座椅和車體的垂向振動及俯仰振動的固有頻率，發生共振，導致車輛響應增大，因此，車輛行駛過程中應盡量避開共振區。

(3) 路面二次激勵對輪胎動載荷的影響最大，懸架動撓度和車體加速度的影響次之，對座椅加速度和俯仰角加速度的影響較小。路面不平順幅值越小，路面二次激勵對車輛響應的影響越大，可見，在平坦路面上行駛，路面二次激勵對車輛響應的影響不容忽視。

(4) 電機激勵對非線性汽車模型的輪胎動載荷和車體加速度影響最大，俯仰角加速度和懸架動撓度的影響次之，座椅加速度的影響較小。輪胎動載荷增加，會影響汽車的接地安全性和行駛穩定性。因此，電機激勵對電動汽車響應的影響應予以重視。