基于圓周割線改進型粒子群優化算法的葉片臨界顫振辨識方法研究

李迺璐， 尹佳敏， 楊 華， 朱衛軍

(揚州大學 電氣與能源動力工程學院，江蘇 揚州 225127)

風力機葉片在氣動彈性耦合作用下易發生顫振問題[1]，當來流風速達到顫振速度時會產生等幅振蕩的臨界穩定狀態，即臨界顫振[2-3]。

葉片臨界顫振振動可描述一大類臨界穩定的振動現象。對臨界顫振系統辨識的研究，是利用其描述并研究高頻、等幅振動特性，由此監測評估葉片的疲勞損傷，并為振動控制設計與研究提供模型。

葉片顫振系統本質為氣彈系統，已有氣彈系統的辨識研究主要集中在航空飛行器氣彈系統的辨識，包括非線性狀態空間辨識方法[4]、神經網絡辨識方法[5]、ARMA自回歸模型[6]和Hammerstein模型[7]等。這些方法主要針對飛行器氣彈系統進行降階辨識和非線性辨識，但是飛行器主要工作在高風速、超音速等工況下，而風力機葉片長期工作在低風速下，一般最高不超過25 m/s,因此，這些辨識方法并不能直接適用于風力機葉片顫振系統。

目前，葉片振動系統的辨識方法有最小二乘法[8-9]、雙參數法[10]和自回歸法[11]等，并獲取了良好的辨識精度。然而，這些方法主要針對具有收斂穩定性的振動系統，還存在實際應用困難、受傳感器安裝角限制等問題。近年，智能優化算法，如差分進化算法被應用到風力機葉片衰減振動系統的參數辨識[12]，進步提高了傳統最小二乘法的辨識效果，具有辨識精度高、應用性好等優點。但智能算法本身的優化性能和針對問題的適應性，將直接影響辨識結果。在算法策略、優化效率和適用性上還有進一步提高的空間。

粒子群優化(partical swarm optimization, PSO)算法是一種模擬鳥群覓食行為、基于群體協作的搜索方法，具有易于實現、精度高和收斂快等特點[13]，被廣泛應用于系統辨識、函數優化等領域[14-15]。但PSO算法容易陷入局部最優，導致計算結果與全局最優值存在一定誤差。為了提高粒子群優化性能，王峰等[16]將粒子群優化算法與凹函數權值遞減策略相結合，并通過試驗驗證了改進粒子群優化算法的有效性。而基于改進型動態學習因子的粒子群優化算法(如改進型粒子群優化(modified particle swarm optimization，MPSO)算法、基于線性遞減慣性權重的粒子群優化(linearly decreasing inertia weight based particle swarm optimization，LDIW-PSO)算法、基于動態學習因子的免疫粒子群優化(immune particle swarm optimization based on dynamically changing learning factors，IPSODCLF)算法)也被進一步提出并應用于典型函數的極值求解[17-18]，風光水發電系統調度優化[19]和Volterra模型辨識[20]等，相比傳統粒子群優化算法進一步提高了優化精度，并改善了陷入局部最優的問題。目前，針對葉片臨界穩定振動系統的辨識方法研究還較少，值得進一步探索和研究。

本文把粒子群優化算法引入葉片臨界顫振系統的辨識中，且為了提高算法的尋優能力、辨識效率和穩定性，創新設計了一種全新的改進型粒子群優化算法：圓周割線改進型粒子群優化(circular secant modified partical swarm optimization，CSM-PSO)算法。本文在CSM-PSO算法設計中，首次引入了幾何圓周割線的距離來自適應調節學習因子，利用圓周角速度來控制調節速率，采用學習因子的均方和不變策略，有效增強了全局搜索和局部搜索的動態平衡，避免了優化過程中概率性偏重全局搜索或陷入局部最優，還提高了算法的優化效率和穩定性。將CSM-PSO算法應用于一個典型的葉片臨界顫振系統的辨識仿真試驗，對比多種改進型粒子群優化算法的辨識結果，驗證了本文辨識方法在辨識精度、計算時間和魯棒性方面的優越性。

該研究所設計的辨識方法，對了解風力機葉片、直升機葉片和機翼等系統的臨界穩定振動特性、極限環振頻和振幅分析，以及振動控制、避免耦合結構共振具有實際意義。

1 圓周割線粒子群優化算法

1.1 標準粒子群優化算法

粒子群優化算法是Kennedy等根據對鳥群捕食行為提出的一種尋優算法。每次迭代過程中，第i個粒子首先找到自己的歷史最優解，即局部極值pi,j，進而所有粒子依次比較當代的最優值，找到當前的全局極值pg,j。局部極值和全局極值都遵從適應度值更小來更新粒子速度和位置，隨著迭代次數全局最優解靠近。

粒子速度和位置更新的公式為

vi,j(k+1)=ω·vi,j(k)+c1r1·[pi,j-xi,j(k)]+c2r2·[pg,j-xi,j(k)]

(1)

xi,j(k+1)=xi,j(k)+vi,j(k+1),j=1,2,3,…,D

(2)

式中：vi,j為粒子速度；xi,j為粒子位置；ω為線性遞減的慣性權重，表征粒子繼承速度的能力；c1為局部學習因子，表征粒子向自身局部極值學習的能力；c2為全局學習因子，表征粒子向全局極值學習的能力；r1，r2分別為兩個[0, 1]內的隨機數。

粒子群優化算法中，種群規模、迭代次數、慣性權重、學習因子等參數都會對尋優結果產生影響。其中，學習因子選取不當將嚴重影響算法的尋優性能。不適合的c1使粒子缺少向自身歷史軌跡學習的能力，只能向種群最優學習，種群會快速集中到一個最優解，但是在后期迭代中很難尋找更優的解，易陷入局部最優；不適合的c2使粒子缺乏向種群其他粒子學習的能力，粒子偏向單獨行動，缺少相互交流，無法發揮種群尋優的優勢，導致尋優速度慢且難以搜索全局最優解。

1.2 已有改進型粒子群優化算法

1.2.1 學習因子隨權重變化的MPSO算法

MPSO算法通過遞減的慣性權重來調節局部學習因子和全局學習因子，以增強粒子群優化算法進化時的統一性。MPSO算法采用異步變化的學習因子，公式為

c1MPSO=c1s-(c1s-c1e)cosω
c2MPSO=c2s+(c2e-c2s)cosω

(3)

式中：ω為非線性遞減的慣性權重；c1s和c2s分別為局部學習因子c1MPSO和全局學習因子c2MPSO的起始值；c1e和c2e分別為局部學習因子和全局學習因子的終止值。在迭代初期，慣性權重和局部學習因子值較大，全局學習因子值較小，種群的全局尋優能力較強；在迭代后期，慣性權重和局部學習因子值較小，全局學習因子值較大，粒子更傾向于向種群中的全局最優學習，使算法更容易得到精確的解。該算法在五種典型測試函數的優化計算中取得更優結果。

1.2.2 學習因子隨迭代次數變化的LDIW-PSO算法

LDIW-PSO算法為了改善傳統粒子群優化算法的早熟收斂問題，利用階段搜索的思想，基于迭代次數自適應調節學習因子。局部學習因子c1LPSO和全局學習因子c2LPSO隨迭代次數的變化公式為

(4)

式中：k為當前迭代次數； iter max為最大迭代次數。當1≤k<0.47iter max時，c1LPSO>c2LPSO，局部學習因子較大，粒子更多的向個體歷史最優學習，算法的全局尋優能力較強；當0.47iter maxc1LPSO，全局學習因子較大，粒子更多的向種群最優學習，有利于提高搜索精度。該算法在多種測試函數的求解中取得更為優良的優化計算結果。

1.2.3 免疫粒子群優化算法

針對目前粒子群優化算法中存在的易早熟、后期收斂速度慢等問題，免疫粒子群優化算法提出了一種動態調整學習因子的策略。

學習因子的更新公式為

c1CPSO=c1max-k(c1max-c1min)/kiter
c2CPSO=c2min+k(c2max-c2min)/kiter

(5)

式中：k為當前迭代次數；kiter為最大迭代次數；c1max，c2max分別為局部學習因子c1CPSO和全局學習因子c2CPSO的最大值；c1min，c2min分別為局部學習因子和全局學習因子的最小值。通過設置不同的c1max，c2max，c1min，c2min，可以實現學習因子的非對稱性變化，使粒子早期盡快搜索到較優值，后期提高搜索精度，避免算法陷入局部最優。該算法利用到風光水聯合系統優化調度模型的仿真計算中得到了改善的調度結果。

1.3 設計圓周割線改進型粒子群優化算法

由于粒子群優化算法在葉片振動系統辨識問題中的應用較少，如何選取合適的學習因子是提高葉片臨界顫振系統辨識性能的關鍵，而已有改進型粒子群優化算法并非針對本文問題而設計。因此，針對葉片臨界顫振辨識問題，本文首次設計了一種基于圓周割線型學習因子的新型粒子群優化(CSM-PSO)算法。

CSM-PSO算法的核心思路是將幾何圓周割線引入粒子群優化算法學習因子的動態調節。主要體現在兩個方面：①圓周上的點逆時針繞圓心移動的角速度，定義為學習因子的調節速率；②圓周上移動的點到水平線上固定點的割線距離，定義為學習因子的調節數值。

在學習因子的動態調節設計中，假設目標函數值會在某處大幅降低，將此處作為優化過程中的一個“分水嶺”，即學習因子c1和c2動態調節的交叉點，算法在交叉點之前側重c1，發揮粒子自身的尋優能力；在交叉點之后偏重c2，突出種群的尋優能力。基于圓周割線的學習因子動態調節原理，如圖1所示。在水平線上取兩個固定點使得OA=OB，將線段MA長度作為局部學習因子c1的取值，線段MB長度作為全局學習因子c2的取值，圓心角θ的對應點M沿圓周逆時針方向運動。隨著θ從0°～180°變化，c1逐漸減小，c2逐漸增大，θ=90°時c1=c2，為動態調節中全局尋優和局部尋優的“分水嶺”。

圖1 基于圓周割線的學習因子動態調節原理圖

圓心角θ的變化決定學習因子的動態調節速率，可表示為

θ=a×t+b×t2

(6)

式中：a，b為系數；t為當前迭代次數k與最大迭代次數G的比值,t=k/G。設當t=t*時為全局尋優和局部尋優的“分水嶺”，則存在：①當t=0時，θ=0°，c1=cmax，c2=cmin；②當t=t*時，θ=90°，c1=c2；③當t=1時，θ=180°，c1=cmin，c2=cmax。

基于上述設計思想，基于圓周割線的學習因子公式為

(7)

式中，cmax，cmin分別為c1和c2取值范圍的最大值和最小值。當k/Gc2，局部學習因子較大，粒子更多的向自身歷史軌跡中的最優值學習，種群可以快速找到一個較小的目標函數值；當目標函數值跌落到一個較小值后，即當k/G>t*時，c1

從理論層面，所設計CSM-PSO算法的優點體現在以下幾個方面：

(1) 采用基于圓周角度的非線性調節速率，進一步增加了學習因子調節的平滑性，利于實現全局搜索和局部搜索的動態平衡；

(2) 基于圓周割線的動態調節策略，從原理上使得局部學習因子和全局因子具有均方總和不變性，不同于已有方法的總和不變性，利于提高算法的魯棒性；

(3) 二維學習因子(c1,c2)的調節范圍為正方形，克服已有方法的調節范圍通常為隨機長方形，避免概率性過度偏重全局尋優或局部尋優。

2 葉片臨界顫振系統辨識

2.1 葉片翼型振動模型

風力機葉片翼型的經典顫振模型可表示為

(8)

(9)

式中：h為揮舞位移；θ為扭轉角；mT為翼型質量；xα為質心和彈性軸之間的無量綱距離；b為半弦長；Iα為彈性軸轉動慣量；ch和cα為阻尼系數；kh和kα為結構剛度；L和M分別為氣動升力和氣動力矩；U為風速；ρ空氣密度；clθ，cmθ分別為攻角的氣動升力系數和氣動力矩系數；clβ，cmβ分別為尾緣襟翼的氣動升力系數和氣動力矩系數；β為尾緣襟翼角。

(10)

式中： 系統輸出y為扭轉角； 系統控制量u為尾緣襟翼角； 系統矩陣A,B,C和D分別為

C=[I2×202×2],D=[02×1]。

其中,

將狀態空間方程式(10)轉化為系統傳遞函數

(11)

式中，a1,a2,a3,b1,b2,b3,b4為葉片顫振系統參數，當式(9)中的風速U達到顫振風速U*時，式(11)達到葉片臨界顫振狀態。

2.2 基于CSM-PSO的臨界顫振辨識算法流程

對于葉片臨界顫振系統辨識而言，目的是尋找一組式(11)的系統參數，使得系統輸出與臨界顫振輸出響應的誤差最小。

(12)

式中：ts為系統輸出的采樣時間；Nt為采樣個數。尋優目的是最小化適應度函數值，從而獲得最優的辨識結果。辨識算法具體流程為：

步驟1設置粒子群參數——粒子位置維度為7，設置種群規模S、迭代次數G等參數；

步驟2設置圓周割線參數——設置t*值并獲取式(6)系數a,b的值，設置學習因子調節范圍cmax，cmin;

步驟3初始化種群——隨機初始化N個粒子的初始位置，令第i個粒子當前位置為個體最優位置pi(0)，調用適應度函數，適應值最小的粒子位置為全局最優位置pg(0)

步驟4根據當前迭代次數k更新計算慣性權重ω

(13)

步驟5基于圓周割線策略計算學習因子——根據式(7)計算全局學習因子c2和局部學習因子c1；

步驟6更新粒子位置和速度——根據式(1)和式(2)，更新粒子的速度及位置，產生新種群；

步驟7更新個體最優——調用適應度函數，比較粒子的當前適應值J(Xi)和自身歷史最優pi，如果J(Xi)

步驟8更新全局最優——比較粒子當前適應值J(Xi)與種群最優值pg，如果J(Xi)

步驟9重復步驟4～步驟8的，直到達到迭代要求，結束并輸出最終結果。

基于CSM-PSO的葉片臨界顫振系統辨識算法流程，如圖2所示。

圖2 基于CSM-PSO的葉片臨界顫振辨識算法流程圖

3 仿真研究

3.1 葉片臨界顫振辨識問題

仿真試驗以基于NACA0012翼型的葉片振動系統為研究對象，模型參數如表1所示。利用表1參數和軟件MATLAB/Simluink進行顫振仿真試驗，當風速增至9.6 m/s時，可觀察到等幅振蕩響應，如圖3所示，即為臨界顫振現象。因此，根據顫振速度U*=9.6 m/s和表1參數，可獲取葉片臨界顫振模型為

圖3 葉片臨界顫振響應

表1 基于NACA0012翼型的模型參數表

G(s)=

(14)

將式(14)作為目標辨識模型，為四階傳遞函數，包含7個待辨識的系統參數。臨界顫振模型辨識的困難存在以下幾個方面：①待辨識參數的量級差別較大，從101～104，不利于所有參數的精確辨識；②葉片臨界顫振狀態對應的系統參數具有唯一性，任意一個參數辨識誤差較大，都無法正確辨識出臨界顫振特性；③由于臨界顫振為等幅振蕩，本質上為臨界穩定系統，該類系統普遍較難精確辨識。

3.2 CSM-PSO算法的辨識應用

利用本文設計的CSM-PSO算法對式(11)所示葉片臨界顫振模型的參數進行辨識，種群規模為100，最大迭代次數為150，系統辨識的測試重復20次，結果取平均值。CSM-PSO算法的應用中，設t*=k/G=0.25，得到式(6)系數為a=7.330 4,b=-4.188 8，學習因子范圍為cmax=2.5，cmin=0.2。

辨識試驗主要從4個方面開展研究：①合適的辨識輸入信號；②本文CSM-PSO算法的辨識精度；③CSM-PSO算法的辨識計算成本；④CSM-PSO辨識算法的魯棒性。上述試驗將與已有改進型粒子群優化算法的辨識結果進行對比研究。

3.3 辨識結果

3.3.1 輸入信號

辨識要求持續激勵的輸入信號，本文分別采用白噪聲、M序列作為辨識的輸入信號進行試驗。白噪聲輸入為[0,1]內的均勻白噪聲信號，M序列輸入為基于8個移位寄存器、幅值為1的M序列信號。

兩種輸入信號下的平均適應度函數進化曲線，如圖4所示，白噪聲輸入信號下的進化曲線收斂慢，并存在較大辨識誤差；而采用M序列輸入信號可以獲取較為精確的辨識結果。因此，傳統白噪聲輸入信號并不適用于本文臨界顫振辨識問題，而采用M序列時辨識誤差更小、收斂速度更快，是本文臨界顫振振動系統辨識比較合適的輸入信號。

圖4 不同輸入信號下的Jave進化曲線

3.3.2 辨識精度

表2為M序列輸入信號下，本文的CSM-PSO算法以及已有改進型粒子群優化算法(如MPSO, LDIW-PSO, IPSODCLF)所得到的臨界顫振系統參數的辨識值、適應度函數平均值Jave和均方根Jsd，表2中真值來自式(14)系統參數。

表2 不同算法下的葉片臨界顫振系統辨識結果

由表2可知，已有改進型粒子群優化算法獲得的辨識誤差較大，同時MPSO和LDIW-PSO算法辨識存在較大的均方根誤差，說明針對臨界顫振系統，已有先進粒子群優化算法難以實現精確、穩定的辨識。而本文所設計的CSM-PSO算法，在有限的種群規模和迭代次數下，辨識值更接近真值，其辨識精度明顯較高、其辨識穩定性也顯著優于其他算法。

圖5給出了四種辨識方法分別得到的平均適應度函數的進化曲線。由圖5中可知，CSM-PSO算法的收斂速度較快，并獲取了較為滿意的辨識精度；在有限迭代次數下，已有改進型粒子群優化算法收斂較慢，且難以搜尋全局最優值并陷入局部值。因此，相較下CSM-PSO算法明顯改善了全局搜索能力、局部搜索能力和搜索過程中的動態平衡，在整個進化辨識中體現了較強的尋優性能、避免了陷入局部最優，實現了葉片臨界顫振系統參數的高精度辨識。圖6給出了辨識模型和真實模型的響應對比。

圖5 不同算法的Jave進化曲線

圖6 系統辨識響應對比

3.3.3 計算時間

表3給出了多種辨識算法的計算時間和適應度函數值。針對MPSO, LDIW-PSO和IPSODCLF辨識算法，設置種群S=100，迭代次數G=200，針對CSM-PSO算法設置S=100,G=100。

由表3可知，CSM-PSO算法在100次迭代下就可獲得精確的辨識結果。在辨識時間方面，CSM-PSO算法明顯降低了平均計算時間，表明了其優越的計算性能。對比表2結果，當迭代次數增加至200，MPSO, LDIW-PSO和IPSODCLF算法的平均適應度函數值有所改善，但是整體辨識誤差依舊大于0.1。綜上，已有改進型粒子群優化算法不僅花費的計算時間長，辨識效果也不佳。而本文所設計的CSM-PSO算法不僅辨識精度較高，還具有較低的計算成本。

表3 不同算法的辨識計算時間

3.3.4 魯棒性

為了驗證本文CSM-PSO算法的魯棒性，對比多種已有算法，表4給出了20次運行，種群規模100和迭代次數150下的適應度函數值統計分析結果，包括最大值Jmax，最小值Jmin，平均值Jave、中間值Jmedi和均方差值Jsd。圖7和圖8分別給出了最大適應值和最小適應值的進化曲線。

由圖7可知，辨識最差情況下，CSM-PSO算法仍可獲取較高的辨識精度、較快的收斂速度，而其他算法均存在較大辨識誤差。由圖8可知，辨識最好情況下，CSM-PSO算法可在80次迭代后獲取高精度的辨識結果，而其他三種算法此時未收斂或陷入局部最優值。

圖7 不同算法的Jmax進化曲線

圖8 不同算法的Jmin進化曲線

由表4可知， CSM-PSO算法的各方面統計結果，都顯著優越于其他三種已有算法，特別是適應度函數的均方差值、最大值和最小值，說明CSM-PSO算法明顯提高改善了算法的魯棒性、穩定性和收斂性。

表4 不同算法的辨識魯棒性分析

4 結 論

本文設計了圓周割線改進型粒子群優化算法，引入葉片臨界顫振系統的參數辨識中，并在仿真試驗中，將該辨識方法與基于MPSO，LDIW-PSO和IPSODCLF算法的辨識方法進行了對比分析。研究結果表明，與其他三種算法相比，提出的方法在辨識精度、計算時間和魯棒性方面都具有顯著的優越性。本文提出的方法，創新性地利用幾何圓周割線來設計粒子群優化算法學習因子的動態調節策略，具有避免概率性偏重全局或局部尋優、利于全局搜索和局部搜索的動態平衡、算法穩定性強和尋優效率高的優點。本文設計的CSM-PSO算法及其在葉片臨界顫振系統辨識中的應用，為臨界穩定振動系統辨識提供了一種全新、高效、穩定的辨識方法，具有重要的理論價值和應用價值。