雙向地震激勵下基于二維屈服面模型的殘余位移譜研究

劉巴黎， 胡進軍， 謝禮立

(1. 中國地震局 工程力學研究所，哈爾濱 150080；2. 中國地震局 地震工程與工程振動重點實驗室，哈爾濱 150080)

震害表明，強震作用下工程結構因殘余位移過大難以修復[1]。1985年墨西哥米卻肯州地震和1995年日本神戶地震，大量工程結構由于殘余位移過大而不得不拆除[2-3]。殘余位移由此受到國內外學者的關注，并逐漸被運用于結構抗震性能評估和地震損失評估[4-7]。FEMA P-58[8]將殘余位移作為決定結構震后修復或拆除的重要指標。GB/T 38591—2020《建筑抗震韌性評價標準》[9]將結構殘余層間變形作為建筑抗震韌性評價的重要指標，并規定了部分結構形式層殘余位移角的限值。

近年來，國內外學者對殘余位移進行了廣泛的研究。Ruiz-Garcia等[10]對單自由度(single degree of freedom，SDOF)體系殘余位移比譜進行了系統研究，構建了等強度殘余位移比譜的擬合公式。Ji等[11]和Harikrishnan等[12]分別建立了SDOF體系等強度殘余位移比譜。Harikrishnan等[13]對SDOF體系等延性殘余位移比譜進行了進一步研究，研究了場地類別、震級、斷層距和持時對等延性殘余位移比譜的影響，提出了等延性殘余位移比譜的經驗公式。在國內，葉列平等[14]研究認為屈服后剛度對結構殘余位移的較大。郝建兵等[15]和胡曉斌等[16]分別建立了等強度殘余位移比譜的預測方程。張勤等[17]基于實際地震動記錄，研究了SDOF體系模型和地震動不確定性對殘余位移的影響，提出了殘余位移的概率計算模型。黎璟等[18]提出了近斷層脈沖型地震作用下結構殘余位移設計譜。

地震動的多維性和結構非線性反應的空間耦合性使單向地震激勵下的結構動力分析具有明顯局限性[19]。文獻[20]表明，多維地震激勵下結構反應比單向地震激勵下結構反應大得多。雙向地震激勵結構在一個主軸方向的損傷往往會影響其另一主軸方向動力響應特性[21-24]。王東升等[25]基于雙向地震激勵下的等強度折減系數譜分析結果，認為與單向地震激勵下相比，雙向地震激勵下會增大結構周期較長方向的最大位移反應。王豐等[26]針對單向地震激勵下能量反應譜的不足，提出雙向地震激勵下標準化的等延性系數地震輸入能量反應譜，分析了場地類別、延性系數及周期比對標準化能量反應譜的影響，研究表明單自由度體系在單向地震激勵下會高估結構的能量反應。目前所有殘余位移譜的研究幾乎都集中于單自由度體系和單向地震激勵。地震動的多維性及其對結構作用的空間耦合性使得單向地震激勵下結構殘余位移分析具有局限性。為準確評估結構殘余位移需求，需考慮多維地震激勵下結構的彈塑性動力特性。在單向地震激勵下殘余位移譜理論的基礎上建立雙向地震激勵下的殘余位移譜模型，具有重要的理論意義和使用價值。

鑒于此，本文建立了恢復力特性符合二維屈服面模型的單質點雙自由度體系(single-mass dual-degree of freedom，SMDDOF)，以此為基礎推導出單質點雙自由度體系在雙向地震激勵下的運動方程，進而提出單質點雙自由度體系在雙向地震激勵下的殘余位移譜模型，分析場地條件和兩主軸方向剛度比對殘余位移譜的影響，以期為殘余位移的準確評估及抗震韌性評價提供參考。

1 單質點雙自由度體系的運動方程

1.1 譜模型

雙向地震激勵下,單質點體系沿兩個相互垂直的主軸方向(x方向和y方向)平動時的運動方程可以表示為

(1)

式中：m為系統的質量；cx和cy分別為系統沿兩個主軸方向的阻尼系數；x(t)和y(t)分別為系統沿兩個主軸方向的位移反應；f(x,t)和f(y,t)分別為系統沿兩個主軸方向的恢復力；xg(t)和yg(t)分別為系統沿兩個主軸方向的地面運動位移。系統沿兩個主軸方向的強度折減系數為

(2)

式中：fx,y和fy,y為不考慮耦合影響的系統沿兩個主軸方向的屈服力；fx,e和fy,e為系統沿兩個主軸方向的彈性地震力。單質點雙自由度體系在彈性狀態下相當于兩個獨立的彈性單自由度體系，所以fx,e和fy,e可分別表示為

(3)

式中：βx和βy分別為系統沿兩個主軸方向的放大系數譜。引入無量綱量μx，μy以及τx，τy，關系式如式(4)所示。由式(4)可知：μx，μy分別為系統沿兩個主軸方向的延性系數；τx，τy分別為系統沿兩個主軸方向的歸一化加速度時程，反映地震動的頻譜特性。

(4)

將上述定義的關系式(2)～式(4)代入式(1)中，有

(5)

式中：ωx和ωy為系統的圓頻率；ξ為系統的阻尼比，本文取系統沿兩個主軸方向的阻尼比ξx=ξy=0.05。從統計上來看，同一場地兩正交方向的地震動強度和頻譜特性是相似的。系統沿兩個主軸方向的屈服強度比值可表示為fx,y/fy,y=α(ωx)/α(ωy)，其中，α為地震影響系數，由規范設計譜確定。所以，系統沿兩個主軸方向的強度折減系數的關系可表示為

(6)

基于以上推導，可以建立單質點雙自由度體系的彈塑性譜。式(5)建立了單質點雙自由度體系強度折減系數R、延性系數μ以及周期T的關系，即：R-μ-T關系。

1.2 二維屈服面模型

假定單質點雙自由度體系的恢復力特性符合二維屈服面模型[27]，可以表示為

(7)

式中，n為屈服面形狀控制參數，反映了系統沿兩個主軸方向恢復力的耦合效應。當n=2時，屈服面近似為橢圓；當n>10時，近似為矩形，即：系統沿兩個主軸方向的恢復力近似于相互獨立。n對屈服面形狀的影響如圖1所示。本文按照通常情況取n=2。同時為了簡化分析，體系恢復力模型取理想彈塑性模型，則本文建立的單質點雙自由度體系可描述為：沿兩個相互垂直的主軸方向上分別具有水平平動自由度，恢復力特性符合二維屈服面模型的理想彈塑性單質點體系。體系的恢復力矩陣如式(8)所示。

圖1 參數n對屈服面形狀的影響

(8)

2 地震動記錄的選取

本文從美國太平洋地震工程研究中心(PEER NGA-West2)強震數據庫中挑選140組地震動記錄，挑選原則簡述如下：①儀器安放位置位于自由地表；②矩震級大于5.5；③所選地震動兩個分量的峰值加速度(peak ground acceleration，PGA)均大于40 cm/s2；④所選記錄不包含脈沖型地震動記錄。將選取的地震動記錄依照據NEHRP[28]規范的場地劃分標準分為四類： AB類(A類和B類合為一類)、C類、D類及E類，每類場地各35組地震動記錄。選取的地震動記錄震級-斷層距分布圖，如圖2所示。

圖2 震級-斷層距分布圖

3 單向地震激勵下殘余位移譜模型準確性驗證

圖3給出了AB類、C類和D類場地的單自由度體系單向地震激勵下的等強度殘余位移比譜Cres(殘余位移與彈性譜位移的比值)以及Ruiz-Garcia等研究中的等強度殘余位移比譜統計結果。可以看出：單自由度體系單向地震激勵下的等強度殘余位移比譜在整個周期段內可以分成兩部分：在0～1.0 s周期內，殘余位移比譜值隨周期增大而減小；在1.0～3.0 s周期內，殘余位移比譜值對周期的變化不敏感。此外，在整個周期范圍內殘余位移比譜隨強度折減系數的增大而增大。本文的統計結果和Ruiz-Garcia等研究中的統計結果在整個周期段內差距較小，確保了本文建立的單自由度體系在單向地震激勵下的殘余位移譜模型的合理性。為準確評估結構殘余位移需求，需考慮多維地震激勵下結構的彈塑性動力特性。本文在單自由度體系單向地震激勵下殘余位移譜理論的基礎上建立單質點雙自由度體系雙向地震激勵下的殘余位移譜模型。

圖3 單向地震激勵下殘余位移譜

4 單向和雙向地震激勵下殘余位移譜對比分析

為了研究多維地震激勵下結構彈塑性動力特性耦合效應對殘余位移的影響，本節對比分析了不同場地條件下單自由度體系單向和雙向地震激勵下殘余位移譜。定義單質點雙自由度體系在雙向地震激勵下沿x方向殘余位移與單自由度體系單向地震激勵下殘余位移的比值為αres，圖4給出了不同場地條件下的比值譜。由圖4可知，不同場地條件下的αres值通常都大于1，且αres值受場地條件和周期的影響較小。這說明通過單自由度體系單向地震動輸入建立的殘余位移譜可能會低估結構的殘余位移需求。

圖4 雙向和單向地震激勵下殘余位移譜比值(Rx=2)

5 雙向地震激勵下殘余位移譜分析

5.1 分析變量

由建立的單質點雙自由度體系運動方程可知，影響殘余位移的因素有場地類別、兩個主軸方向的自振周期(兩主軸方向剛度比取ζ=ky/kx)及強度折減系數R或延性系數μ。既有結構的目標延性系數很難確定，等強度折減系數彈塑性譜顯然更加合理[29]。本文主要研究雙向地震激勵下的等強度殘余位移譜。

結構動力時程分析時一般將變形參數和其他重要參數進行歸一化處理。常用的歸一化參數有彈塑性譜位移、彈性譜位移及屈服位移。彈塑性譜位移和屈服位移為反映結構彈塑性特征的參數，需要通過彈塑性分析才能得到，而彈性譜位移只需計算位移反應譜便可獲得。本文在研究雙向地震激勵下的殘余位移響應規律時，采用彈性譜位移sde對殘余位移進行歸一化得到殘余位移比Cres。

針對單質點雙自由度體系進行非線性時程分析，采用Newmark-β法求解運動方程，建立等強度殘余位移比譜。積分采用文獻[30]建議的步長，即：地震動記錄采樣時間間隔，自振周期的1/25以及0.01 s三者的最小值。分析中考慮的變量如下：①x方向的強度折減系數Rx=2，3，4，5，6；②x方向的周期Tx取為0.1～3 s，周期間隔為0.1 s；③兩主軸方向的剛度比ζ=ky/kx取0.25，1，4；④四類場地總共140組地震動記錄，時程分析時每個地震動分量均需沿體系的x方向輸入一次，相當于280組地震動記錄。

5.2 場地條件的影響

圖5給出了按不同場地條件分類強度折減系數Rx=2，4，6沿x方向的殘余位移比譜。由圖5(a)可知，Rx=2等強度殘余位移比譜受場地條件的影響很小。由圖5(b)和圖5(c)可知，AB類、C類和D類場地的等強度殘余位移比譜值受場地條件的影響較小，E類場地的殘余位移比譜值大于其他三類場地的殘余位移比譜值。值得注意的是，文獻[31]針對單質點單自由度體系研究了場地條件對殘余位移比譜的影響，研究表明：相比其他場地條件，軟土場地下結構殘余位移需求增大。綜上所述，場地條件對雙向地震激勵下殘余位移比譜有一定的影響，軟土場地下結構殘余位移的評估必須考慮場地條件的影響。

圖5 場地條件對雙向地震激勵下殘余位移比譜的影響

5.3 兩主軸方向剛度比的影響

圖6給出了四類場地不同剛度比下強度折減系數Rx=2，4，6沿x方向的殘余位移比譜。由圖6可知，雙向地震激勵下的等強度殘余位移比譜在整個周期段內可以分成兩部分：在0～1 s周期內，不同剛度比的殘余位移比譜值隨周期增大而減小，不同剛度比下的殘余位移比譜值差距很小；在1～3 s周期內，不同剛度比的殘余位移比譜值對周期的變化不敏感，殘余位移比譜值隨剛度比的增大而增大。1～3 s周期內：在Rx=2情況下，剛度比ky/kx=4與ky/kx=0.25殘余位移譜值之比接近1.2；在Rx=4情況下，殘余位移譜值之比接近1.3；在Rx=6情況下，殘余位移譜值之比接近1.4。這說明強度折減系數對雙向地震激勵下的殘余位移比譜有一定的影響。

圖6 剛度比對雙向地震激勵下殘余位移比譜的影響

為了進一步研究剛度比對殘余位移響應的影響，圖7給出了不同剛度比下沿x方向的殘余位移譜ures,X(未歸一化的殘余位移)以及兩主軸方向殘余位移平方和開平方后的譜值ures,SRSS。由圖7(a)可知，周期大于1 s時，ures,X隨剛度比的增大而增大；由圖7(b)可知，ures,SRSS受剛度比影響的規律正好與殘余位移譜值相反，即：ures,SRSS隨剛度比的增大而減小。這說明，在中長周期范圍內隨著x主軸方向剛度的削弱，會增大該主軸方向的殘余位移需求，而另一主軸方向的殘余位移需求會有所減小。

圖7 剛度比對雙向地震激勵下殘余位移譜的影響

x主軸方向剛度較小，結構在該方向很快屈服且損傷較為嚴重。與之垂直方向的剛度相對較大，結構在該方向損傷較x方向輕，結構損傷主要集中于x主軸方向。雙向地震激勵下結構彈塑性動力特性的耦合效應對位移響應的影響，取決于兩主軸方向耗能及損傷的相互制約，這一點與寧超列等的結論一致。綜上所述，恢復力耦合效應對結構殘余位移響應的影響取決于兩主軸方向損傷的相互制約。在中長周期范圍內：某一主軸方向剛度的削弱會增大該主軸方向的殘余位移需求；而另一主軸方向的殘余位移需求會有所減小。

6 結 論

本文基于大量分類地震動記錄建立統計平均譜，對比分析了不同場地條件下單向和雙向地震激勵下殘余位移譜，同時分析了場地條件以及兩主軸方向剛度比對殘余位移譜的影響，得出以下結論：

(1) 通過單自由度體系單向地震動輸入建立的殘余位移譜可能會低估結構殘余位移需求。

(2) 場地條件對雙向地震激勵下結構殘余位移譜有一定的影響，結構殘余位移需求的評估必須考慮軟土的影響。

(3) 在0～1 s周期內，雙向地震激勵下兩主軸剛度比對結構殘余位移比譜的影響較小；在1～3 s周期內，雙向地震激勵下殘余位移比譜值隨兩主軸剛度比的增大而增大。

(4) 恢復力耦合效應對結構殘余位移響應的影響取決于兩主軸方向損傷的相互制約。在中長周期范圍內：某一主軸方向剛度的削弱會增大該主軸方向的殘余位移需求；而另一主軸方向的殘余位移需求會有所減小。

致謝

感謝美國太平洋地震工程研究中心(PEER)NGA計劃項目提供的地震動數據。