含級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)的兩級(jí)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性研究

陸崇山， 王曉筍， 冷曉魯， 巫世晶

(武漢大學(xué) 動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，武漢 430072)

行星齒輪傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，其載荷由多個(gè)行星輪共同承擔(dān)，有效減小了齒輪嚙合力，增加了齒輪壽命，廣泛應(yīng)用于電力、航空、船舶等行業(yè)。在實(shí)際應(yīng)用中，由于制造安裝誤差，配合間隙等因素的影響，各行星輪的受力并非完全相同，載荷無(wú)法實(shí)現(xiàn)理想化的均勻分流，容易產(chǎn)生沖擊和噪聲，影響系統(tǒng)的承載能力。多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)相比單級(jí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，影響因素更多，更容易因載荷分配不均而影響正常使用。

目前，國(guó)內(nèi)外不少研究者對(duì)行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模和均載特性進(jìn)行了相關(guān)研究。Kahraman[1-2]采用集總參數(shù)法建立了單級(jí)行星齒輪的動(dòng)力學(xué)模型，考慮了制造和安裝誤差，提出動(dòng)態(tài)均載系數(shù)用以衡量行星輪系的均載特性；Singh[3]采用一種系統(tǒng)級(jí)的建模方法，分析了制造誤差和軸承支撐剛度對(duì)行星輪系載荷分配的影響；周璐等[4-6]建立了考慮多種非線性因素的2K-H行星輪系“平移-扭轉(zhuǎn)”耦合動(dòng)力學(xué)模型，并分析了誤差和中心構(gòu)件浮動(dòng)對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響。以多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，肖正明等[7]建立了三級(jí)減速器行星齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，求解了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；劉輝等[8]建立了兩級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)“平移-扭轉(zhuǎn)”耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了兩級(jí)行星減速系統(tǒng)在不同載荷下的嚙合力頻率耦合現(xiàn)象和均載特性；Sheng等[9-10]分析了兩級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)均載系數(shù)以及中心齒輪的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)律，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

以上關(guān)于多級(jí)行星傳動(dòng)系統(tǒng)的研究中均沒(méi)有考慮級(jí)間連接構(gòu)件的相對(duì)浮動(dòng)。本文考慮了時(shí)變嚙合剛度、嚙合誤差、齒側(cè)間隙等非線性內(nèi)部激勵(lì)，首次在動(dòng)力學(xué)模型中引入級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)，建立了兩級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)“平移-扭轉(zhuǎn)”耦合動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)系統(tǒng)的均載特性進(jìn)行了分析，為進(jìn)一步研究多級(jí)行星輪系動(dòng)力學(xué)特性提供了理論基礎(chǔ)，對(duì)多級(jí)行星輪系的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定參考意義。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 模型分析

本文以風(fēng)電機(jī)等設(shè)備使用較多的兩級(jí)增速行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象[11]，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，由兩級(jí)2K-H行星輪系串聯(lián)組成，輸入端為第一級(jí)行星架c1，輸出端為第二級(jí)太陽(yáng)輪s2，兩級(jí)內(nèi)齒圈r1,r2固定在齒輪箱外殼上，第一級(jí)的太陽(yáng)輪s1與第二級(jí)的行星架c2之間存在相對(duì)浮動(dòng)間隙Δbr，pn，qn(n=1，…，N，N為行星輪個(gè)數(shù))分別表示第一級(jí)和第二級(jí)行星輪。

圖1 兩級(jí)行星傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

采用集總參數(shù)法建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[12-13]，將齒輪的嚙合等效為彈簧阻尼系統(tǒng)。因串聯(lián)的兩級(jí)輪系結(jié)構(gòu)相同，僅以第一級(jí)為例，其“平移-扭轉(zhuǎn)”耦合動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。圖中下標(biāo)s1，c1，r1，pn分別為太陽(yáng)輪、行星架、內(nèi)齒圈和行星輪，定坐標(biāo)系OXY和行星架隨動(dòng)坐標(biāo)系Oxy均以太陽(yáng)輪理論回轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，Oxy以行星架的理論角速度ωc1相對(duì)于OXY旋轉(zhuǎn)。圖中各構(gòu)件擁有3個(gè)自由度，xi，yi(i=s1，c1，r1，pn)為構(gòu)件在x，y方向的平移位移，θi為構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)角度。mi，Ii分別為各構(gòu)件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ri為分度圓半徑，其中rc=rs+rp；ki，kit分別為各構(gòu)件的平移支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度；kj，2bj，cj，ej(j=s1pn，r1pn)分別為各嚙合副的嚙合剛度、齒側(cè)間隙、嚙合阻尼和綜合嚙合誤差。

圖2 “平移-扭轉(zhuǎn)”耦合動(dòng)力學(xué)模型

1.2 非線性參數(shù)描述

1.2.1 時(shí)變嚙合剛度

齒輪副嚙合時(shí)，處于嚙合接觸的輪齒對(duì)數(shù)在1和2之間交替變化。將一對(duì)輪齒的嚙合簡(jiǎn)化為1個(gè)彈簧，兩對(duì)輪齒嚙合則為兩根相同的彈簧并聯(lián)，嚙合剛度用彈簧剛度來(lái)表示，隨著嚙合輪齒對(duì)數(shù)的變化呈周期變化，近似為周期矩形波的形態(tài)。將時(shí)變嚙合剛度簡(jiǎn)化為平均剛度值和波動(dòng)量的疊加，剛度波動(dòng)量用三角函數(shù)表示，以第一級(jí)輪系為例，其時(shí)變嚙合剛度可表示為

(1)

1.2.2 綜合嚙合誤差

在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)安裝時(shí)，實(shí)際安裝中心與理論安裝中心不一致會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件存在安裝誤差；齒輪的實(shí)際回轉(zhuǎn)中心與理論回轉(zhuǎn)中心不一致會(huì)產(chǎn)生偏心誤差。將嚙合副構(gòu)件的各類(lèi)誤差表達(dá)成嚙合線上的等效位移并進(jìn)行疊加，以綜合嚙合誤差表示。以第一級(jí)為例，兩對(duì)嚙合副綜合嚙合誤差的表達(dá)式為

es1pn=As1·sin[-ωc1·t+αs1+βs1-ψpn]-

Apn·sin(αpn+βpn)+

Es1·sin[(ωs1-ωc1)·t+αs1+γs1-ψpn]-

Epn·sin[(ωpn-ωc1)·t+αs1+γpn],

er1pn=Ar1·sin[ωc1·t+αr1-βr1+ψpn]+

Apn·sin(αr1-βpn)+

Epn·sin[-(ωpn-ωc1)·t+αr1-γpn]+

Er1·sin[ωc1·t+αr1-γr1+ψpn]

(2)

式中：Ai，Ei(i=s1，r1，c1，pn)分別為各構(gòu)件的安裝誤差和偏心誤差的幅值；βi，γi分別為安裝誤差和偏心誤差的初始相位；αi為壓力角；ψpn=2π(n-1)/N為第n個(gè)行星輪的位置角；ωi為構(gòu)件角速度。

1.2.3 齒側(cè)間隙

由于制造和安裝過(guò)程中難以避免的偏差以及長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)后的磨損等因素，輪齒嚙合對(duì)之間存在齒側(cè)間隙，導(dǎo)致嚙合副產(chǎn)生沖擊。以第一級(jí)為例，存在齒側(cè)間隙時(shí)嚙合力和嚙合剛度的關(guān)系可以用1個(gè)分段非線性函數(shù)f(δj)(j=s1pn，r1pn)描述

(3)

式中：bj為齒側(cè)間隙的一半；δj為嚙合副的相對(duì)嚙合位移，表示齒輪的振動(dòng)位移在嚙合線上的投影之和。定義振動(dòng)位移使嚙合線壓縮為正方向，各嚙合副相對(duì)嚙合位移表達(dá)式為

δs1pn=(xpn-xs1)·sin(φs1pn)+(ys1-ypn)·

cos(φs1pn)+us1+upn-uc1·cos(αc1)-es1pn,

δr1pn=(xpn-xr1)·sin(φr1pn)+(yr1-ypn)·

cos(φr1pn)+ur1-upn-uc1·cos(αc1)-er1pn,

δpnc1x=xpn-xc1,

δpnc1y=ypn-yc1

(4)

式中：φs1pn和φr1pn為兩種嚙合副的位置方向角；ui=θi·rbi(i=s1，r1，c1，pn)為各構(gòu)件的線位移，rbi為構(gòu)件的基圓半徑。

1.2.4 級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙

在兩級(jí)行星輪系中，第一級(jí)輸出太陽(yáng)輪可以通過(guò)花鍵軸與第二級(jí)輸入行星架連接。采用間隙配合的花鍵連接在徑向可以給予兩構(gòu)件一定的相對(duì)浮動(dòng)間隙Δbr，在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)兩構(gòu)件產(chǎn)生不同的徑向位移。相對(duì)浮動(dòng)間隙的存在會(huì)影響太陽(yáng)輪的徑向支承剛度，引入剛度變化系數(shù)μ

(5)

(6)

2 動(dòng)力學(xué)微分方程

系統(tǒng)中各構(gòu)件有3個(gè)自由度，第一級(jí)輸出太陽(yáng)輪和第二級(jí)輸入行星架通過(guò)中間軸相連，視為1個(gè)整體用a表示，有1個(gè)扭轉(zhuǎn)位移，因此當(dāng)存在相對(duì)浮動(dòng)間隙時(shí)共有5個(gè)自由度xs1，ys1，xc2，yc2，θa。各級(jí)行星輪個(gè)數(shù)設(shè)為3，則整個(gè)系統(tǒng)有35個(gè)自由度。利用第二類(lèi)拉格朗日方程，并引入上述非線性參數(shù)，得到系統(tǒng)無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)微分方程組為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3 均載特性分析

3.1 均載系數(shù)計(jì)算

用均載系數(shù)衡量一組行星輪在嚙合中載荷不均勻的程度。以第一級(jí)為例，輪系在1個(gè)嚙合周期內(nèi)的均載系數(shù)為

(14)

式中：Fs1pn，F(xiàn)r1pn分別為s1p，r1p嚙合副的嚙合力，可以通過(guò)數(shù)值方法求解微分方程組得到。此處嚙合周期Tm1=2πωd/ωm1，表示在隨動(dòng)坐標(biāo)系Oxy中一對(duì)輪齒的無(wú)量綱嚙合時(shí)間，與無(wú)量綱處理后的嚙合頻率相對(duì)應(yīng)。嚙合副在一段時(shí)間內(nèi)的均載系數(shù)用期間所有嚙合周期均載系數(shù)的最大值表示

Bs1pn=|bs1pn-1|max+1Br1pn=|br1pn-1|max+1

(15)

由式(15)可以看出，均載系數(shù)值越大，各行星輪載荷分配越不均勻，均載性能越差；值越接近1，均載性能越好。由于行星輪在兩對(duì)嚙合副的嚙合力作用下保持平衡，可知嚙合副s1pn和r1pn的嚙合力和均載系數(shù)大小相等，因此本文僅對(duì)太陽(yáng)輪—行星輪嚙合副的均載系數(shù)進(jìn)行分析。系統(tǒng)各構(gòu)件基本參數(shù)如表1所示，第一級(jí)和第二級(jí)相同構(gòu)件相應(yīng)參數(shù)相同。給予系統(tǒng)輸入扭矩5 000 N·m，負(fù)載扭矩500 N·m，輸入轉(zhuǎn)速200 r/min。

表1 傳動(dòng)系統(tǒng)基本參數(shù)

3.2 無(wú)級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)時(shí)誤差耦合對(duì)均載特性的影響

當(dāng)不考慮級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙，即當(dāng)Δbr=0時(shí)，分別分析單一構(gòu)件和多構(gòu)件多種誤差耦合對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響。

3.2.1 單一構(gòu)件誤差耦合對(duì)均載特性的影響

由第二節(jié)分析可知，構(gòu)件主要存在安裝誤差和偏心誤差兩種誤差激勵(lì)。以第一級(jí)太陽(yáng)輪為例，分別計(jì)算太陽(yáng)輪安裝誤差單獨(dú)作用，設(shè)幅值20 μm，即當(dāng)As1=20 μm，Es1=0，以及偏心誤差單獨(dú)作用，即當(dāng)Es1=20 μm，As1=0下的均載系數(shù)，每對(duì)嚙合副取200個(gè)嚙合周期，得到各級(jí)的均載系數(shù)曲線如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)?shù)谝患?jí)太陽(yáng)輪安裝誤差單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)第一級(jí)均載系數(shù)為1.139 8，第二級(jí)均載系數(shù)為1.080 9；當(dāng)偏心誤差單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)第一級(jí)均載系數(shù)為1.138 7，第二級(jí)均載系數(shù)為1.079 4。兩種誤差單獨(dú)作用時(shí)，同一級(jí)的均載系數(shù)相差很小，表明安裝誤差與偏心誤差單獨(dú)作用時(shí)對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響效果較為接近。兩種情況下第一級(jí)輪系的均載系數(shù)均大于第二級(jí)，曲線波動(dòng)幅度更大。

圖3 單誤差作用下系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線

而計(jì)算第二級(jí)太陽(yáng)輪安裝誤差單獨(dú)作用，即當(dāng)As2=20 μm，Es2=0時(shí)兩級(jí)均載系數(shù)分別為1.025 1，1.432 3；偏心誤差單獨(dú)作用，即當(dāng)Es2=20 μm，As2=0時(shí)兩級(jí)均載系數(shù)分別為1.026 8，1.427 6，此時(shí)第二級(jí)均載系數(shù)均大于第一級(jí)，由此可以看出構(gòu)件的誤差主要影響所在一級(jí)的均載特性，對(duì)另一級(jí)影響程度相對(duì)較小。

當(dāng)?shù)谝患?jí)太陽(yáng)輪安裝誤差與偏心誤差同時(shí)作用，即當(dāng)As1=20 μm，Es1=20 μm時(shí)，系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖4所示。由圖4可知，當(dāng)?shù)谝患?jí)太陽(yáng)輪安裝誤差與偏心誤差同時(shí)作用時(shí)，系統(tǒng)第一級(jí)均載系數(shù)為1.268 2，第二級(jí)均載系數(shù)為1.154 8，各級(jí)均載系數(shù)相比單誤差作用時(shí)均變大，系統(tǒng)均載性能變差。此時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)曲線并未表現(xiàn)出周期性變化，對(duì)計(jì)算得到第一級(jí)s1p1嚙合副的動(dòng)態(tài)嚙合力進(jìn)行頻譜分析，濾去低幅高頻成分，結(jié)果如圖5所示，圖中坐標(biāo)值均為無(wú)量綱處理后的結(jié)果。由圖5可知，嚙合力的頻譜中除去直流成分外在0.013 5和0.031 5兩個(gè)頻率點(diǎn)出現(xiàn)峰值。由式(2)可知第一級(jí)太陽(yáng)輪安裝誤差與偏心誤差的激勵(lì)頻率分別為-ωc1和ωs1-ωc1，經(jīng)無(wú)量綱處理后的值分別與頻譜圖中的兩個(gè)峰值頻率點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，說(shuō)明系統(tǒng)此時(shí)均載特性的波動(dòng)正是由兩種誤差激勵(lì)共同引起的。由于兩種誤差激勵(lì)的頻率之比不是有理數(shù)，因此疊加后的均載系數(shù)曲線未表現(xiàn)出周期性變化。

圖4 兩種誤差同時(shí)作用下系統(tǒng)均載系數(shù)曲線

圖5 兩種誤差作用下s1p1動(dòng)態(tài)嚙合力頻譜圖

3.2.2 多構(gòu)件誤差耦合對(duì)均載系數(shù)的影響

以第一級(jí)和第二級(jí)的太陽(yáng)輪為例，當(dāng)兩級(jí)太陽(yáng)輪的安裝誤差和偏心誤差同時(shí)作用，且幅值相同，即As1=20 μm，Es1=20 μm，As2=20 μm，Es2=20 μm時(shí)，計(jì)算得系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖6所示。由圖6可知，當(dāng)兩級(jí)太陽(yáng)輪兩種誤差同時(shí)作用時(shí)，系統(tǒng)第一級(jí)均載系數(shù)為1.301 9，第二級(jí)均載系數(shù)為1.893 3，均載系數(shù)相比單一構(gòu)件誤差作用時(shí)較大，且曲線波動(dòng)更為無(wú)序。在相同誤差幅值作用下，第二級(jí)的均載系數(shù)明顯大于第一級(jí)，這是由于在系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)第二級(jí)行星輪承受的載荷更小，符合行星輪系載荷越小均載性能越差的理論結(jié)果[14]。

圖6 多構(gòu)件誤差耦合時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)曲線

3.3 級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)對(duì)均載特性的影響

3.3.1 存在級(jí)間浮動(dòng)時(shí)誤差耦合對(duì)均載特性的影響

當(dāng)級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙Δbr=10 μm時(shí)，在第一級(jí)太陽(yáng)輪安裝誤差與偏心誤差同時(shí)作用下，即As1=20 μm，Es1=20 μm時(shí)，系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖7所示。對(duì)比圖4與圖7可知，當(dāng)存在級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙時(shí)，在相同誤差幅值作用下系統(tǒng)兩級(jí)均載系數(shù)均更小，第二級(jí)達(dá)到了均載狀態(tài)，說(shuō)明級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙能夠有效改善系統(tǒng)的均載性能。改變第一級(jí)太陽(yáng)輪兩種誤差的幅值，即當(dāng)As1，Es1依次為20 μm，25 μm，30 μm，35 μm，40 μm時(shí)，計(jì)算得第一級(jí)均載系數(shù)依次為1.195 4，1.260 1，1.324 8，1.389 0，1.452 8，第二級(jí)均載系數(shù)為1.004 4，始終處于均載狀態(tài)。同樣，當(dāng)?shù)诙?jí)太陽(yáng)輪兩種誤差以不同幅值作用，即當(dāng)As2，Es2依次為20 μm，25 μm，30 μm，35 μm，40 μm時(shí)，第一級(jí)均載系數(shù)為1.000 3，第二級(jí)均載系數(shù)依次為1.803 2，1.962 8，2.110 1，2.262 8，2.413 8，第一級(jí)同樣始終處于均載狀態(tài)。與無(wú)級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)時(shí)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)會(huì)明顯減弱構(gòu)件誤差對(duì)另一級(jí)均載系特性的影響，改善整個(gè)系統(tǒng)的均載特性。

當(dāng)兩級(jí)太陽(yáng)輪的誤差共同作用，即當(dāng)As1=20 μm，Es1=20 μm，As2=20 μm，Es2=20 μm，相對(duì)浮動(dòng)間隙為10 μm時(shí)，系統(tǒng)的均載系數(shù)曲線如圖8所示。由圖8可知，此時(shí)系統(tǒng)第一級(jí)均載系數(shù)為1.218 5，第二級(jí)均載系數(shù)為1.803 4，對(duì)比圖6可知存在級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)時(shí)系統(tǒng)兩級(jí)均載系數(shù)都變小，系統(tǒng)均載性能得到改善。

圖8 存在級(jí)間浮動(dòng)間隙時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)曲線

3.3.2 級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙大小對(duì)均載特性的影響

當(dāng)兩級(jí)太陽(yáng)輪誤差同時(shí)作用，幅值均為20 μm，改變級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙的大小，得到系統(tǒng)兩級(jí)均載系數(shù)的變化趨勢(shì)如圖9所示。由圖9可知，增大級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙能夠有效降低第一級(jí)的均載系數(shù)，當(dāng)增大到一定值后第一級(jí)可以達(dá)到均載狀態(tài)。但是間隙增大對(duì)第二級(jí)的均載系數(shù)影響很小。

圖9 不同浮動(dòng)間隙時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)

4 結(jié) 論

采用集總參數(shù)法，建立了考慮級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)的兩級(jí)增速行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)“平移-扭轉(zhuǎn)”耦合動(dòng)力學(xué)模型，分別分析了有無(wú)級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)時(shí)構(gòu)件多誤差耦合以及級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙的大小對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律，得到了以下結(jié)論：

(1) 在無(wú)級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)的情況下，單一構(gòu)件的多種誤差共同作用會(huì)使系統(tǒng)均載性能變差，構(gòu)件的誤差對(duì)所在一級(jí)的均載特性的影響程度更大。

(2) 當(dāng)兩級(jí)多構(gòu)件誤差同時(shí)作用時(shí)，載荷相對(duì)較小的第二級(jí)級(jí)均載性能較差，因此在傳動(dòng)系統(tǒng)制造安裝過(guò)程中應(yīng)當(dāng)著力提高第二級(jí)構(gòu)件的精度等級(jí)。

(3) 在相同誤差作用下，級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)能夠有效改善系統(tǒng)的均載性能，且會(huì)明顯減弱構(gòu)件誤差對(duì)另一級(jí)均載特性的影響。

(4) 增大級(jí)間相對(duì)浮動(dòng)間隙能夠有效改善第一級(jí)輪系的均載性能，而對(duì)第二級(jí)均載特性的影響很小。