基于雙參數地基系統的改進傅里葉級數振動方法研究

王 吉， 高芳清,2

(1. 西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031；2. 西南交通大學 應用力學與結構安全四川省重點實驗室，成都 610031)

彈性地基上矩形薄板作為一種常用的結構單元，廣泛應用于工程建設中，如航天發射場坪、碼頭平臺、高速公路剛性路面等。在彈性地基的研究中，雙參數地基模型不僅改進了Winkler地基不連續的缺陷，在數學處理上也比彈性半空間模型簡單，同時也能較好地模擬土體的力學性能[1]。因此，雙參數地基模型受到了許多學者的廣泛關注。

近年來，國內外學者對雙參數地基上矩形板的振動問題進行了大量的研究[2-7]。Yang[8]基于Vlazov假定考慮了板外域地基沉降，利用有限元方法研究了雙參數地基上四邊自由矩形薄板的彎曲問題。竹學葉等[9]通過變分法導出了雙參數地基上自由矩形薄板的邊界條件，并用有限元方法對該問題進行了分析。Lam等[10]將格林函數應用到研究雙參數地基上一組對邊簡支另一組對邊任意的矩形薄板自由振動問題上，但理論建模中對含自由邊界的情況未考慮板外域地基沉降的影響。Trong[11]利用有限差分法研究了不同邊界條件下Winkler地基和雙參數地基上矩形薄板的彎曲問題，并基于Vlazov假定研究了雙參數地基上四邊自由矩形板的彎曲問題。楊端生等[12]針對雙參數地基上正交異性矩形薄板的穩定和振動問題給出了一般解析解，同樣未考慮板外域地基沉降的影響。

目前，關于雙參數地基上板結構的研究僅局限于三種經典邊界條件的組合形式，且對不同的邊界條件，需重新假設位移函數，求解過于復雜且缺乏統一性。同時，因邊界條件的局限性，現有關于雙參數地基上含自由邊界或彈性邊界矩形薄板振動問題的研究，忽略了板外域地基的沉降，而結構在該類邊界上彎曲位移不為零，將導致基底壓力向地基板外域傳遞和擴散，忽略其影響會產生較大的誤差，且誤差值對地基參數極為敏感。

因此，本文針對雙參數地基上任意邊界矩形薄板的彎曲振動問題進行研究，基于Kirchhoff薄板理論，采用改進Fourier級數方法[13-14]來描述彎曲位移函數，以嚴格滿足任意邊界上位移協變條件和力的平衡條件；通過豎向和扭轉方向的彈性組件及其參數設定來模擬邊界約束類別與狀態；根據Vlazov假定[15]，分別將雙參數地基板外域的沉降表示為板邊、板角的位移和一個指數衰減函數的乘積；結合Hamilton原理，建立可統一解決雙參數地基上任意邊界矩形薄板彎曲振動問題的分析模型。通過參數化分析，并與文獻結果和有限元計算結果進行對比，驗證了本文方法具有較快的收斂速度和較高的計算精度；在此基礎上，研究了不同自由邊界數組合和彈性邊界下地基沉降對振動特性的影響。

1 理論模型

1.1 Vlazov地基模型簡介

對于單一薄壓縮層和抗剪強度較低的軟土質地基，單參數的Winkler地基模型較為適用，其采用相互獨立且均勻分布的豎向彈簧單元模擬地基作用，并假設土介質表面任一點處的位移w與作用在該點的應力q成正比，而與作用在其他各點的應力無關，其表達式為

kw(x,y)=q(x,y)

(1)

式中，k為地基反力系數，也可稱為基床系數。

對于密實厚土層或整體巖石土層的分析，Winkler地基模型忽略了土體間存在的相互剪切作用。為更好地模擬土體的連續性，雙參數地基模型采用兩個獨立的彈性參數分別表示土體的抗壓和剪切性能，且經適當的參數選取能夠恰當地描述地基的力學性能。

雙參數地基模型中Vlazov模型的兩個地基參數物理意義明確，且理論體系嚴密，所以本文主要針對Vlazov地基模型進行簡要介紹。

該模型從彈性力學空間問題的基本方程出發，對于平面尺寸為無限大，豎向為有限或無限深度的彈性層，假設其豎向位移沿豎向按某一設定的函數關系變化，其土體特征函數表示為

kw(x,y)-2t?2w(x,y)=q(x,y)

(2)

式中，k和2t分別為地基的壓縮基床系數和剪切基床系數。從式(1)和式(2)可看出，當剪切基床系數2t趨于零時，雙參數地基模型將轉化為Winkler地基模型。其中，k，2t與地基彈性模量Es，泊松比μs，地基深度H及地基豎向位移沿豎向的變化函數h(z)有關，可表示為

(3)

(4)

Vlazov和Leontiev提出了多種豎向變化函數，如按線性函數或指數函數變化

(5)

式中：γ為地基相關常數；L為結構某一特征尺寸。

目前，對于雙參數地基中兩參數的確定需要通過大量的實驗方法得到，而本文重點針對雙參數地基上任意邊界矩形薄板的振動建模方法進行研究。因此，本文對雙參數地基的壓縮基床系數k和剪切基床系數2t的確定方法不做研究，在參數化分析中直接引用文獻中的數值進行分析。

1.2 雙參數地基上任意邊界矩形薄板振動理論建模

雙參數地基上的矩形薄板沿邊界處采用均勻分布的豎向彈簧和扭轉彈簧來模擬邊界約束作用，如圖1所示。通過改變彈性組件參數實現各類邊界條件的設定，以x=0邊界為例，如表1所示，表中邊界條件通過設置約束彈簧剛度的指數系數ks進行模擬。

圖1 矩形薄板彎曲振動模型

表1 彈性組件參數與邊界條件關系

為得到雙參數地基上矩形薄板的彎曲振動方程，采用Hamilton原理進行建模，其方程可表示為

(6)

式中：T為系統的總動能；V為系統的總勢能。

系統的總勢能V可表示為

V=Vbending+Vspring+Vfoundation,in+Vfoundation,out

(7)

式中：Vbending為其上矩形薄板的彎曲勢能；Vspring為邊界約束彈簧的彈性勢能；Vfoundation,in為板內地基的變形勢能；Vfoundation,out為板外域地基的變形勢能。

基于Kirchhoff薄板理論，圖1中矩形薄板的彎曲勢能和邊界約束彈簧的彈性勢能可具體表示為

(8)

(9)

式中：kx0,kxa,Kx0,Kxa分別為x=0和x=a邊界上的豎向彈簧剛度和扭轉彈簧剛度；ky0,kyb,Ky0,Kyb分別為y=0和y=b邊界上的豎向彈簧剛度和扭轉彈簧剛度；D=Eh3/(12(1-μ2))為板的彎曲剛度。

雙參數地基中，由于土體間存在相互剪切作用，會導致基底壓力向周邊傳遞和擴散。因此，除考慮板內地基的變形勢能外，還需考慮板外域地基的變形勢能。板內地基變形勢能[16]為

(10)

針對板外域地基的變形勢能，可將板外地基分為八個區域，如圖2所示，圖中區域Ω1，Ω2和Ω4的公共交點為坐標原點。

圖2 雙參數地基系統板外域地基沉降

根據Vlazov假定，分別將每個區域的沉降表示為板邊、板角的位移和一個指數衰減函數的乘積，如表2所示。

表2 板外域位移函數表達式

板外域地基應變能為

(11)

系統的總動能具體表達式為

(12)

式中：ω為角頻率；ρ，h，μ分別為板的密度、厚度和泊松比。

1.3 彎曲位移函數的改進Fourier級數表達式

為模擬彈性邊界條件，本文引入改進傅里葉級數方法，使彎曲位移函數能夠嚴格滿足任意邊界條件，其表達式為

(13)

式中：λam=mπ/a；λbn=nπ/b； 與x相關的輔助函數ξia(x)可表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

式(14)～式(17)需滿足ξ′1a(0)=ξ′1a(a)=ξ?1a(0)=ξ?1a(a)=1，且其他一階和三階導數沿x=0和x=a邊界都為零。相應地，輔助函數ξib(y)可將式(14)～式(17)中a和x分別替換為b和y。通過輔助函數的引入，可將彎曲位移函數在邊界處關于x和y的一階和三階偏導潛在的不連續有效地轉移到輔助項，從而改善級數的收斂性。

將彎曲位移函數(13)代入Hamilton方程式(6)中，并對未知的Fourier系數求極值，可以得到一個線性方程組，將其寫成矩陣表達式為

(K-ω2M)A=0

(18)

式中：A為位移函數w(x,y)中二維Fourier級數和輔助級數的未知系數向量，其形式為

(19)

K，M分別為雙參數地基上矩形薄板彎曲振動的剛度矩陣和質量矩陣，其形式分別為

(20)

(21)

為表述簡潔，下列僅給出剛度矩陣K和質量矩陣M第1行第1列的子矩陣表達式，類似地，可表述出其他子矩陣表達式。表達式中，將引入新的符號來描述子矩陣中每一元素的位置，s=m(N+1)+n+1，l=m1(N+1)+n1+1，m=0,1,…,M，n=0,1,…,N，m1=0,1,…,M，n1=0,1,…,N，M，N表示展開級數的截斷數。

(22)

(23)

2 參數化分析

為檢驗本文方法的收斂性，通過求解矩陣表達式(18)，得到了雙參數地基上矩形薄板在FFFF邊界下截斷數M和N取不同值時的無量綱固有頻率，如表3所示。其中，FFFF表示邊界x=0，x=a，y=0，y=b上均為自由。為評價收斂精度，表中同時給出了相對誤差，表示當截斷數取相鄰的兩整數時前六階頻率的最大相對誤差(最大相對誤差=max{[(Ωj)Z-(Ωj)Z+1]/(Ωj)Z+1×100%}，其中，(Ωj)Z表示截斷數M=N=Z時，系統第j階無量綱固有頻率)。從表中可知，當M=N>3時，最大相對誤差趨于零，求解結果趨于穩定。

表3 雙參數地基上FFFF矩形薄板在不同截斷數下的無量綱固有頻率

探究彈性約束邊界和地基沉降對結構振動特性的影響(考慮板外域地基沉降時k=k1, 2t=2t1，不考慮板外域地基沉降時k≠k1=0, 2t≠2t1=0)，考慮豎向彈簧剛度系數kx0=kxa=ky0=kyb=D×10ks，扭轉彈簧剛度系數均為零，繪制有無地基沉降下系統基頻隨豎向彈簧剛度系數的變化曲線，如圖3所示，標記為“豎有/無沉降”；扭轉彈簧剛度系數Kx0=Kxa=Ky0=Kyb=D×10ks，豎向彈簧剛度系數均為零，繪制有無地基沉降下系統基頻隨扭轉彈簧剛度系數的變化曲線，如圖3所示，標記為“扭有/無沉降”；豎向和扭轉彈簧剛度系數一致性變化kx0=kxa=ky0=kyb=Kx0=Kxa=Ky0=Kyb=D×10ks，繪制有無地基沉降下系統基頻隨兩類彈簧剛度系數的變化曲線，如圖3所示，標記為“合有/無沉降”。

從圖3中可知，約束彈簧剛度系數大于D×106(數值上≈5×1010)時，結構基頻保持恒定，且板外域地基幾乎不會產生沉降，以下分析中，可取該值模擬剛性約束；約束彈簧剛度系數小于D×104(≈5×108)時，不考慮板外域地基沉降對結果影響較大，且隨約束彈簧剛度系數的減小而增加；相較扭轉彈簧，板外域地基沉降產生的影響對豎向彈簧剛度系數的變化更為敏感。

圖3 邊界約束彈簧剛度系數和地基沉降對系統基頻的影響曲線

表4 Winkler地基上不同邊界矩形薄板的無量綱固有頻率

為進一步檢驗本文方法的準確性，分別給出雙參數地基上SSSS,SCSC, SSSC, SSCF, SSSF, SFSF矩形薄板第一階和第六階無量綱頻率，并將Lam等方法的結果與本文方法進行對比。需要特別說明的是，Lam等的建模方法中并未考慮板外域地基的沉降，即k≠k1=0, 2t≠2t1=0。綜合表5和表6可知，最大相對誤差為0.310%，兩種結果吻合良好，進而驗證了本文方法的準確性。

表5 雙參數地基上矩形薄板在不同邊界條件下的第一階固有頻率

表6 雙參數地基上矩形薄板在不同邊界條件下的第六階固有頻率

基于以上研究，將進一步探究雙參數地基系統在不同自由邊界數組合下板外域地基沉降對固有頻率的影響。通過數值求解，分別給出了考慮地基沉降和不考慮地基沉降情況下SSSF，SFSF，SSFF，SFFF，FFFF邊界條件下系統的基頻，如表7所示。表中，給出兩種結果的相對偏差，以評價地基沉降的影響效果。

從表7中可知，FFFF邊界的基頻相對偏差最大，為28.15%。即，含自由邊界數越多，相對偏差越大，地基沉降影響越大；自由邊界數相同但位置分布不同的SFSF與SSFF結果相比，SSFF邊界條件下偏差更大，這是因為SSFF邊界下，不僅需要考慮自由邊上的地基沉降，還需考慮兩相鄰自由邊角點域的地基沉降。

表7 雙參數地基上不同自由邊界數及位置分布的矩形薄板基頻

3 結 論

(1) 本文針對雙參數地基上矩形薄板的彎曲振動問題，基于改進Fourier級數方法和Vlazov假定，提出了一種使其能在任意邊界條件下考慮板外域地基沉降的振動分析方法。通過數值算例，并與文獻結果和有限元計算結果進行對比，驗證了本方法具有較快的收斂速度(M=N>3時結果趨于穩定)和較高的計算精度(誤差小于0.353%)。

(2) 不考慮板外域地基沉降對結構振動頻率影響較大，且隨約束彈簧剛度系數的減小而增加；當約束彈簧剛度系數大于D×1010(數值上≈5×1010)時，板外域地基幾乎不再產生沉降；相較扭轉彈簧，板外域地基沉降產生的影響對豎向彈簧剛度系數的變化更為敏感。

(3) 通過參數化分析，本模型可適用于Winkler地基上任意邊界矩形薄板振動問題的研究，拓展了本模型的適用范圍。

(4) 探究不同自由邊界數組合下板外域地基沉降對固有頻率的影響發現，僅含一條自由邊界時，不考慮板外域地基沉降產生的誤差為9.83%，且誤差值隨自由邊界數的增加而增加；自由邊界數相同但位置分布不同時，含相鄰自由邊界產生的誤差更大。