基于有限時(shí)間函數(shù)投影的電力系統(tǒng)混沌控制

王 聰， 張宏立， 馬 萍

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，烏魯木齊 830047)

近年來(lái)，大規(guī)模的電網(wǎng)互聯(lián)為電力生產(chǎn)和消費(fèi)帶來(lái)了極大的便利，但電力系統(tǒng)通常是由大規(guī)模的、地理位置分散的成百上千臺(tái)發(fā)電機(jī)并行和同步運(yùn)行組成，這些電機(jī)在大小和結(jié)構(gòu)上各不相同，且涉及繼電保護(hù)、自動(dòng)裝置、設(shè)施管理控制和時(shí)間調(diào)度裝置等多種控制功能。因此，電力系統(tǒng)是一個(gè)典型的強(qiáng)耦合、高度非線性、多變量的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，具有豐富的非線性動(dòng)態(tài)特性，更易發(fā)生各類(lèi)不穩(wěn)定振蕩行為。混沌行為作為其中一種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，會(huì)導(dǎo)致電力系統(tǒng)發(fā)生突發(fā)性的或情節(jié)嚴(yán)重的機(jī)電振蕩，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)大區(qū)域和大面積的停電事故，對(duì)電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行造成了嚴(yán)重的危害。這些混沌振蕩行為很難用傳統(tǒng)的線性控制器來(lái)控制或抑制。因此，分析電力系統(tǒng)的混沌振蕩機(jī)理，研究混沌振蕩的有效控制方法是十分必要的。

電力系統(tǒng)的混沌振蕩被認(rèn)為是電壓失穩(wěn)的原因之一，為了有效地抑制電力系統(tǒng)的混沌行為，國(guó)內(nèi)學(xué)者提出了大量的混沌抑制機(jī)制和方法。倪駿康等[1]研究了二階電力系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為，并提出一種等效快速終端模糊滑模控制方法來(lái)實(shí)現(xiàn)混沌電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，該方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，減小了控制能量，降低了抖振；江世明等[2]針對(duì)互聯(lián)二階電力系統(tǒng)的混沌行為，基于非線性光滑函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種新型滑模控制方法，該方法不需要被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，且控制方法魯棒性強(qiáng)；閔富紅等[3]研究了施加功率擾動(dòng)項(xiàng)的四階電力系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為，并基于具有繼電特性的切換函數(shù)設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)面滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了混沌電力系統(tǒng)的快速控制；Luo[4]針對(duì)二階電力系統(tǒng)發(fā)生混沌振蕩的行為，基于無(wú)源控制理論設(shè)計(jì)了無(wú)源控制方法，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律使系統(tǒng)等效為無(wú)源系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)混沌控制，該方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和外界擾動(dòng)具有較好的魯棒性；Ni等[5]研究了四階電力系統(tǒng)的分岔及混沌行為，基于Lyapunuv穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)化控制器，該方法不僅簡(jiǎn)化了電力系統(tǒng)控制器的的設(shè)計(jì)，而且對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性；閔富紅等[6]在2017年研究了含勵(lì)磁環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階四階電力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的最低階次，以及其他參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，并基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和非線性反饋理論設(shè)計(jì)了同步控制器，有效的抑制了系統(tǒng)的混沌行為；Rajagopal等[7]推導(dǎo)了四階分?jǐn)?shù)階電力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了其分岔及混沌行為，并提出一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模控制混沌方法，有效地實(shí)現(xiàn)了混沌電力系統(tǒng)的控制；Karthikeyan等[8]研究了一類(lèi)特定的智能電網(wǎng)的非線性行為，證明在一定條件下智能電網(wǎng)存在分岔及混沌行為，并基于滑模控制和PID(proportion integration differentiation)控制提出了混沌抑制方法；Min等[9]研究了受勵(lì)磁限制影響的電力系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為，并設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)反推滑模控制器設(shè)計(jì)，用于消除差異的角度，使電力系統(tǒng)在穩(wěn)定軌道上運(yùn)行。

以上控制方法均在電力系統(tǒng)的分岔及混沌控制中取得了較好的效果，但以上控制方法均未考慮到實(shí)際工程需求，控制器設(shè)計(jì)較復(fù)雜或未考慮控制響應(yīng)時(shí)間。研究電力系統(tǒng)的混沌行為，并且有針對(duì)性地提出相應(yīng)的混沌控制策略，并考慮實(shí)際工程意義問(wèn)題變得尤為重要。目前，利用有限時(shí)間穩(wěn)定原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制的研究較多，但在電力系統(tǒng)的混沌控制中應(yīng)用較少。Ni等[10]基于快速有限穩(wěn)定性理論，提出了一種快速定時(shí)非奇異終端滑模控制方法，該方法能使混沌電力系統(tǒng)在有限的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定；同年，Ni等[11]針對(duì)三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)的混沌行為，設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間的動(dòng)態(tài)面高階滑模控制方法，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)高階滑模面并結(jié)合有限時(shí)間理論，實(shí)現(xiàn)了混沌控制；趙輝等[12-13]針對(duì)四階電力系統(tǒng)的混沌振蕩行為，基于有限時(shí)間穩(wěn)定原理，分別設(shè)計(jì)了兩種混沌控制器，有效的控制了電力系統(tǒng)的混沌振蕩行為，并驗(yàn)證了所提方法的有效性和魯棒性；劉利花等[14]證明了Watts-Strogatz 型小世界發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)參數(shù)處于某些范圍時(shí)，會(huì)出現(xiàn)混沌振蕩，并基于反饋控制和有限時(shí)間穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制器，實(shí)現(xiàn)了發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振蕩控制。

為了提高電力系統(tǒng)的混沌控制效果，簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，縮短控制響應(yīng)時(shí)間，本文提出了一種基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和函數(shù)投影同步思想的混沌控制方法。借鑒混沌同步思想，并結(jié)合有限時(shí)間理論，將混沌電力系統(tǒng)與理想狀態(tài)電力系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)完全同步，間接實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)的混沌控制。數(shù)學(xué)理論及仿真結(jié)果表明，該控制器能在有限時(shí)間內(nèi)有效地實(shí)現(xiàn)了混沌電力系統(tǒng)的控制，且對(duì)外部干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 理論基礎(chǔ)

函數(shù)投影同步是將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)按照給定的尺度函數(shù)α(t)實(shí)現(xiàn)同步[15]，給出如下的混沌系統(tǒng)

(1)

e=x-α(t)y

(2)

式中，α(t)為尺度函數(shù)。

假設(shè)1α(t)不等于0，且在[0，+∞]內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)且有界。

(3)

有限時(shí)間穩(wěn)定理論指的是不穩(wěn)定系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)被控制到穩(wěn)定態(tài)[17]。有限時(shí)間穩(wěn)定控制是一種能對(duì)非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有效控制的方法，能使受控系統(tǒng)變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，而且控制器中含有分?jǐn)?shù)冪項(xiàng)，這也大大增加了控制器的魯棒性能和抗干擾性能。有限時(shí)間控制可以使函數(shù)投影誤差系統(tǒng)在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)，不僅減少了控制響應(yīng)時(shí)間，也更具有實(shí)際工程意義。

函數(shù)投影同步誤差為

(4)

式中：ei(t)∈Rn投影同步誤差的狀態(tài)量；f：D→Rn是D～n維空間D?Rn中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且初始f(0)=0。

定義2如果存在一個(gè)時(shí)間t*，使混沌電力系統(tǒng)和穩(wěn)定運(yùn)行電力系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)滿足

lim‖ei(t)‖=lim‖xi(t)-α(t)yi(t)‖=0

(5)

‖ei(t)‖=0,t>t*,i=1,2,…,N

(6)

式中： ‖·‖為范數(shù)，則混沌電力系統(tǒng)與穩(wěn)定電力系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了同步。

定理2若存在一個(gè)正定連續(xù)函數(shù)V(x)滿足

(7)

式中：m>0；0<ξ<1是常數(shù)，則對(duì)于任意的初始時(shí)間，關(guān)于V(t)的如下不等式均成立

V1-ξ(t)≤V1-ξ(t0)-m(1-ξ)(t-t0),t0

(8)

V(t)≡0, ?t>t1

(9)

2 混沌電力系統(tǒng)

電力系統(tǒng)通常用包含系統(tǒng)參數(shù)的高維非線性動(dòng)力方程組表示，本文以文獻(xiàn)[18-19]提出的三節(jié)點(diǎn)四階電力系統(tǒng)作為研究對(duì)象，系統(tǒng)模型如下

(10)

式中：δm為最大功率角；ω為轉(zhuǎn)速；δ為功角；V為電壓；Q1為系統(tǒng)的控制參數(shù)。

研究表明，對(duì)于四階電力系統(tǒng)，隨著控制參數(shù)Q1的變化，系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷倍周期分岔、霍夫分岔、鞍形分岔及混沌現(xiàn)象等，若參數(shù)變化到一定程度，則會(huì)出現(xiàn)電壓和轉(zhuǎn)速崩潰現(xiàn)象。當(dāng)Q1=11.379時(shí)電力系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，其相軌跡圖、狀態(tài)變量時(shí)序圖、龐加萊截面和功率譜圖見(jiàn)圖1。當(dāng)Q1=11.4時(shí)系統(tǒng)電壓崩潰，見(jiàn)圖2。

由圖1(a)和圖1(b)可以看出，混沌運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)變量都處于不規(guī)則的周期混沌狀態(tài), 由圖1(c)可以看出，龐加萊截面表面呈現(xiàn)密集的點(diǎn)且具有層次結(jié)構(gòu)，映射的結(jié)果反映了電力系統(tǒng)的非線性混沌特征。混沌運(yùn)動(dòng)是有界非周期運(yùn)動(dòng)，由圖1(d)可以看出，功率譜為連續(xù)譜該信號(hào)包含高直流分量和低頻分量，功率譜出現(xiàn)寬帶噪聲，是典型的混沌行為特征。從圖2可以看出，隨著Q1的變化，電壓幅值和轉(zhuǎn)速變化緩慢，隨著Q1時(shí)間變化，電壓突然下降，發(fā)電機(jī)角速度突然上升，使電力系統(tǒng)處于崩潰狀態(tài)。以上結(jié)果表明，在電力系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)電壓、功角等均處于無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，嚴(yán)重威脅電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行。

圖1 Q1=11.379，電力系統(tǒng)為混沌狀態(tài)

圖2 Q1=11.4，系統(tǒng)崩潰狀態(tài)時(shí)序圖

3 混沌電力系統(tǒng)有限時(shí)間函數(shù)投影同步控制

3.1 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

有限時(shí)間函數(shù)投影控制是基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定理論，借鑒函數(shù)投影同步思想，提出的電力系統(tǒng)混沌控制方法。該方法通過(guò)設(shè)定理想運(yùn)行狀態(tài)的電力系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，混沌狀態(tài)的電力系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)，并給定尺度函數(shù)，將混沌電力系統(tǒng)的控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題。針對(duì)同步誤差設(shè)計(jì)控制器u，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)同步誤差為0，即混沌電力系統(tǒng)在控制器u的作用下運(yùn)行于穩(wěn)定狀態(tài)，同時(shí)結(jié)合有限時(shí)間理論，設(shè)計(jì)控制器u使響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)滿足在有限的時(shí)間內(nèi)同步誤差趨于0。

當(dāng)Q1=11.379時(shí)系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，當(dāng)Q1=0時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)各個(gè)狀態(tài)量隨時(shí)間的變化曲線，如圖3所示。

圖3 穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)各狀態(tài)量隨時(shí)間的變化曲線

選取當(dāng)Q1=0時(shí)的電力系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，如下

(11)

選取當(dāng)Q1=11.379時(shí)，處于混沌運(yùn)行狀態(tài)的電力系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，如下

(12)

式中，u1，u2，u3和u4為待設(shè)計(jì)的控制器，則有限時(shí)間函數(shù)投影同步誤差如下

(13)

式中，α(t)為尺度函數(shù)。對(duì)函數(shù)投影同步誤差進(jìn)行求導(dǎo)得

(14)

定理3對(duì)于混沌電力系統(tǒng)系統(tǒng)式(12)，設(shè)計(jì)如下的控制器可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間函數(shù)投影同步控制。

(15)

式中，0

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(16)

對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得

(17)

將式(11)、式(12)和式(13)代入式(17)得

(18)

又有

(19)

所以

(20)

由以上分析可知，混沌電力系統(tǒng)在控制器式(15)的作用下，可在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)函數(shù)投影混沌控制。

3.2 數(shù)值仿真

仿真參數(shù)設(shè)置：選取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始條件為[δm(0),ω(0),δ(0),V(0)]=[0.3,0,0.2,0.97]； 響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件為[δm1(0),ω1(0),δ1(0),V1(0)]=[0.3,0,0.2,0.97]， 尺度函數(shù)選擇α(t)=sin(t)+2，E為0.5，仿真時(shí)間為150 s。

為了驗(yàn)證該方法的有效性，在3 s時(shí)投入同步控制器，圖4給出了施加控制器后的各個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化曲線。 由圖4可以看出，投入控制器后混沌電力系統(tǒng)的四個(gè)狀態(tài)迅速響應(yīng)，在極短的時(shí)間內(nèi)與穩(wěn)定電力系統(tǒng)的狀態(tài)達(dá)到同步，運(yùn)行于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。由圖4(a)～圖4(d)的控制曲線及對(duì)應(yīng)的局部放大圖可以看出，在投入同步控制器前，電力系統(tǒng)處于混沌運(yùn)行狀態(tài)，施加控制器后，施加控制器的混沌電力系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)迅速與穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)達(dá)到同步，混沌電力系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)，而未施加控制器的混沌電力系統(tǒng)，仍運(yùn)行于混沌狀態(tài)。

圖4 施加控制器的混沌電力系統(tǒng)的時(shí)間序列圖

圖5給出了有限時(shí)間函數(shù)投影同步誤差隨時(shí)間變化曲線，由圖5進(jìn)一步可以看出，對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)施加控制器后，函數(shù)投影同步誤差在極短的時(shí)間內(nèi)即可達(dá)到0，表明混沌電力系統(tǒng)在投入控制器后能迅速的同步于穩(wěn)定狀態(tài)的電力系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了混沌控制。

圖5 誤差隨時(shí)間的變化曲線

為驗(yàn)證該控制方法的魯棒性，對(duì)受控混沌電力系統(tǒng)施加干擾n(t)=0.001cos(0.2πt)，將干擾施加到系統(tǒng)式(12)的第一個(gè)狀態(tài)方程。選擇在3 s時(shí)投入同步控制器，圖6給出了有限時(shí)間函數(shù)投影同步誤差隨時(shí)間變化曲線，圖7給出了施加控制器后的各個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化曲線。

圖6 含外部擾動(dòng)時(shí)誤差隨時(shí)間的變化曲線

由圖6可以看出，對(duì)受到外部干擾的混沌電力系統(tǒng)施加控制器后，誤差信號(hào)仍可經(jīng)過(guò)短時(shí)間的振蕩后衰減到零。由圖7進(jìn)一步可以看出，在有外部噪聲干擾的情況下，施加控制器后，混沌電力系統(tǒng)的各狀態(tài)仍能迅速的與理想狀態(tài)達(dá)到同步。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間函數(shù)投影控制器對(duì)外界干擾具有較好的魯棒性能。

圖7 含外部擾動(dòng)時(shí)施加控制器的混沌電力系統(tǒng)的時(shí)間序列圖

有限時(shí)間函數(shù)投影同步是利用函數(shù)投影同步思想使混沌電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行于理想狀態(tài)，又結(jié)合有限時(shí)間理論保證了控制響應(yīng)時(shí)間。該方法結(jié)合了有限時(shí)間控制的快速性及函數(shù)投影同步控制的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，不僅具有很好的控制效果，縮短了控制器響應(yīng)時(shí)間，提高了控制器的快速性，而且該方法不需要確定平衡狀態(tài)，根據(jù)函數(shù)投影同步的思想僅需要選擇合適的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，靈活性更強(qiáng)。

4 結(jié) 論

本文以四階電力系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用含有功率擾動(dòng)項(xiàng)的四階電力系統(tǒng)模型，通過(guò)繪制相圖、狀態(tài)序列圖、龐加萊截面以及功率譜圖研究了功率擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，驗(yàn)證了電力系統(tǒng)在一定條件下會(huì)發(fā)生混沌行為，且當(dāng)擾動(dòng)幅值達(dá)到某一值時(shí)會(huì)引起系統(tǒng)的電壓崩潰。為了提高電力系統(tǒng)的混沌控制效果，簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，縮短控制響應(yīng)時(shí)間，本文基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和函數(shù)投影同步思想，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間函數(shù)投影混沌控制器，將混沌電力系統(tǒng)與理想狀態(tài)電力系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)完全同步，間接的實(shí)現(xiàn)了電力系統(tǒng)的混沌控制。理論上證明了該控制器的正確性，數(shù)值仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器可快速、有效的實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)的混沌控制，并驗(yàn)證了該控制器對(duì)外部干擾的強(qiáng)魯棒性。