王 聰， 張宏立， 馬 萍

(新疆大學 電氣工程學院，烏魯木齊 830047)

近年來，大規模的電網互聯為電力生產和消費帶來了極大的便利，但電力系統通常是由大規模的、地理位置分散的成百上千臺發電機并行和同步運行組成，這些電機在大小和結構上各不相同，且涉及繼電保護、自動裝置、設施管理控制和時間調度裝置等多種控制功能。因此，電力系統是一個典型的強耦合、高度非線性、多變量的動態系統，具有豐富的非線性動態特性，更易發生各類不穩定振蕩行為。混沌行為作為其中一種復雜的動力學行為，會導致電力系統發生突發性的或情節嚴重的機電振蕩，會導致系統大區域和大面積的停電事故，對電網的安全穩定運行造成了嚴重的危害。這些混沌振蕩行為很難用傳統的線性控制器來控制或抑制。因此，分析電力系統的混沌振蕩機理，研究混沌振蕩的有效控制方法是十分必要的。

電力系統的混沌振蕩被認為是電壓失穩的原因之一，為了有效地抑制電力系統的混沌行為，國內學者提出了大量的混沌抑制機制和方法。倪駿康等[1]研究了二階電力系統的混沌動力學行為，并提出一種等效快速終端模糊滑模控制方法來實現混沌電力系統的穩定運行，該方法設計簡單，減小了控制能量，降低了抖振；江世明等[2]針對互聯二階電力系統的混沌行為，基于非線性光滑函數，設計了一種新型滑模控制方法，該方法不需要被控對象的數學模型，且控制方法魯棒性強；閔富紅等[3]研究了施加功率擾動項的四階電力系統的混沌動力學行為，并基于具有繼電特性的切換函數設計了一種動態面滑模控制器，實現了混沌電力系統的快速控制；Luo[4]針對二階電力系統發生混沌振蕩的行為，基于無源控制理論設計了無源控制方法，設計自適應律使系統等效為無源系統，實現混沌控制，該方法對系統參數和外界擾動具有較好的魯棒性；Ni等[5]研究了四階電力系統的分岔及混沌行為，基于Lyapunuv穩定理論設計了一種簡化控制器，該方法不僅簡化了電力系統控制器的的設計，而且對系統參數的不確定性具有較強的魯棒性；閔富紅等[6]在2017年研究了含勵磁環節的分數階四階電力系統的動力學行為，確定了系統產生混沌振蕩的最低階次，以及其他參數對系統動力學行為的影響，并基于分數階系統穩定性理論和非線性反饋理論設計了同步控制器，有效的抑制了系統的混沌行為；Rajagopal等[7]推導了四階分數階電力系統的動力學模型，研究了其分岔及混沌行為，并提出一種自適應分數階滑模控制混沌方法，有效地實現了混沌電力系統的控制；Karthikeyan等[8]研究了一類特定的智能電網的非線性行為，證明在一定條件下智能電網存在分岔及混沌行為，并基于滑模控制和PID(proportion integration differentiation)控制提出了混沌抑制方法；Min等[9]研究了受勵磁限制影響的電力系統的混沌動力學行為，并設計一種新的自適應反推滑模控制器設計，用于消除差異的角度，使電力系統在穩定軌道上運行。

以上控制方法均在電力系統的分岔及混沌控制中取得了較好的效果，但以上控制方法均未考慮到實際工程需求，控制器設計較復雜或未考慮控制響應時間。研究電力系統的混沌行為，并且有針對性地提出相應的混沌控制策略，并考慮實際工程意義問題變得尤為重要。目前，利用有限時間穩定原理對系統進行控制的研究較多，但在電力系統的混沌控制中應用較少。Ni等[10]基于快速有限穩定性理論，提出了一種快速定時非奇異終端滑模控制方法，該方法能使混沌電力系統在有限的時間內實現穩定；同年，Ni等[11]針對三節點四階電力系統的混沌行為，設計了一種固定時間的動態面高階滑模控制方法，通過構造兩個高階滑模面并結合有限時間理論，實現了混沌控制；趙輝等[12-13]針對四階電力系統的混沌振蕩行為，基于有限時間穩定原理，分別設計了兩種混沌控制器，有效的控制了電力系統的混沌振蕩行為，并驗證了所提方法的有效性和魯棒性；劉利花等[14]證明了Watts-Strogatz 型小世界發電機網絡的系統參數處于某些范圍時，會出現混沌振蕩，并基于反饋控制和有限時間穩定理論設計了有限時間控制器，實現了發電機網絡的振蕩控制。

為了提高電力系統的混沌控制效果，簡化控制器的設計，縮短控制響應時間，本文提出了一種基于有限時間穩定理論和函數投影同步思想的混沌控制方法。借鑒混沌同步思想，并結合有限時間理論，將混沌電力系統與理想狀態電力系統在有限時間內實現完全同步，間接實現電力系統的混沌控制。數學理論及仿真結果表明，該控制器能在有限時間內有效地實現了混沌電力系統的控制，且對外部干擾具有較強的魯棒性。

1 理論基礎

函數投影同步是將驅動系統和響應系統按照給定的尺度函數α(t)實現同步[15]，給出如下的混沌系統

(1)

e=x-α(t)y

(2)

式中，α(t)為尺度函數。

假設1α(t)不等于0，且在[0，+∞]內連續，可導且有界。

(3)

有限時間穩定理論指的是不穩定系統在短時間內被控制到穩定態[17]。有限時間穩定控制是一種能對非線性系統實現有效控制的方法，能使受控系統變量在有限時間內收斂到平衡點，而且控制器中含有分數冪項，這也大大增加了控制器的魯棒性能和抗干擾性能。有限時間控制可以使函數投影誤差系統在有限的時間內達到平衡點，不僅減少了控制響應時間，也更具有實際工程意義。

函數投影同步誤差為

(4)

式中：ei(t)∈Rn投影同步誤差的狀態量；f：D→Rn是D～n維空間D?Rn中的一個連續函數，且初始f(0)=0。

定義2如果存在一個時間t*，使混沌電力系統和穩定運行電力系統的誤差系統滿足

lim‖ei(t)‖=lim‖xi(t)-α(t)yi(t)‖=0

(5)

‖ei(t)‖=0,t>t*,i=1,2,…,N

(6)

式中： ‖·‖為范數，則混沌電力系統與穩定電力系統在有限時間內實現了同步。

定理2若存在一個正定連續函數V(x)滿足

(7)

式中：m>0；0<ξ<1是常數，則對于任意的初始時間，關于V(t)的如下不等式均成立

V1-ξ(t)≤V1-ξ(t0)-m(1-ξ)(t-t0),t0

(8)

V(t)≡0, ?t>t1

(9)

2 混沌電力系統

電力系統通常用包含系統參數的高維非線性動力方程組表示，本文以文獻[18-19]提出的三節點四階電力系統作為研究對象，系統模型如下

(10)

式中：δm為最大功率角；ω為轉速；δ為功角；V為電壓；Q1為系統的控制參數。

研究表明，對于四階電力系統，隨著控制參數Q1的變化，系統會經歷倍周期分岔、霍夫分岔、鞍形分岔及混沌現象等，若參數變化到一定程度，則會出現電壓和轉速崩潰現象。當Q1=11.379時電力系統為混沌狀態，其相軌跡圖、狀態變量時序圖、龐加萊截面和功率譜圖見圖1。當Q1=11.4時系統電壓崩潰，見圖2。

由圖1(a)和圖1(b)可以看出，混沌運動的狀態變量都處于不規則的周期混沌狀態, 由圖1(c)可以看出，龐加萊截面表面呈現密集的點且具有層次結構，映射的結果反映了電力系統的非線性混沌特征。混沌運動是有界非周期運動，由圖1(d)可以看出，功率譜為連續譜該信號包含高直流分量和低頻分量，功率譜出現寬帶噪聲，是典型的混沌行為特征。從圖2可以看出，隨著Q1的變化，電壓幅值和轉速變化緩慢，隨著Q1時間變化，電壓突然下降，發電機角速度突然上升，使電力系統處于崩潰狀態。以上結果表明，在電力系統處于混沌狀態時，系統電壓、功角等均處于無規則的運動狀態，嚴重威脅電網的穩定運行。

圖1 Q1=11.379，電力系統為混沌狀態

圖2 Q1=11.4，系統崩潰狀態時序圖

3 混沌電力系統有限時間函數投影同步控制

3.1 控制器設計及穩定性分析

有限時間函數投影控制是基于有限時間穩定理論和Lyapunov穩定理論，借鑒函數投影同步思想，提出的電力系統混沌控制方法。該方法通過設定理想運行狀態的電力系統為驅動系統，混沌狀態的電力系統為響應系統，并給定尺度函數，將混沌電力系統的控制問題轉化為混沌系統的同步問題。針對同步誤差設計控制器u，使驅動系統和響應系統的狀態同步誤差為0，即混沌電力系統在控制器u的作用下運行于穩定狀態，同時結合有限時間理論，設計控制器u使響應系統和驅動系統滿足在有限的時間內同步誤差趨于0。

當Q1=11.379時系統為混沌狀態，當Q1=0時系統運行在穩定狀態，穩定運行時各個狀態量隨時間的變化曲線，如圖3所示。

圖3 穩定運行時各狀態量隨時間的變化曲線

選取當Q1=0時的電力系統作為驅動系統，如下

(11)

選取當Q1=11.379時，處于混沌運行狀態的電力系統作為響應系統，如下

(12)

式中，u1，u2，u3和u4為待設計的控制器，則有限時間函數投影同步誤差如下

(13)

式中，α(t)為尺度函數。對函數投影同步誤差進行求導得

(14)

定理3對于混沌電力系統系統式(12)，設計如下的控制器可使系統實現有限時間函數投影同步控制。

(15)

式中，0

證明：構造Lyapunov函數

(16)

對Lyapunov函數進行求導得

(17)

將式(11)、式(12)和式(13)代入式(17)得

(18)

又有

(19)

所以

(20)

由以上分析可知，混沌電力系統在控制器式(15)的作用下，可在有限時間內實現函數投影混沌控制。

3.2 數值仿真

仿真參數設置：選取驅動系統的初始條件為[δm(0),ω(0),δ(0),V(0)]=[0.3,0,0.2,0.97]； 響應系統的初始條件為[δm1(0),ω1(0),δ1(0),V1(0)]=[0.3,0,0.2,0.97]， 尺度函數選擇α(t)=sin(t)+2，E為0.5，仿真時間為150 s。

為了驗證該方法的有效性，在3 s時投入同步控制器，圖4給出了施加控制器后的各個狀態變量隨時間的變化曲線。 由圖4可以看出，投入控制器后混沌電力系統的四個狀態迅速響應，在極短的時間內與穩定電力系統的狀態達到同步，運行于穩定運行狀態。由圖4(a)～圖4(d)的控制曲線及對應的局部放大圖可以看出，在投入同步控制器前，電力系統處于混沌運行狀態，施加控制器后，施加控制器的混沌電力系統的系統狀態迅速與穩定運行狀態達到同步，混沌電力系統進入穩定運行狀態，而未施加控制器的混沌電力系統，仍運行于混沌狀態。

圖4 施加控制器的混沌電力系統的時間序列圖

圖5給出了有限時間函數投影同步誤差隨時間變化曲線，由圖5進一步可以看出，對響應系統施加控制器后，函數投影同步誤差在極短的時間內即可達到0，表明混沌電力系統在投入控制器后能迅速的同步于穩定狀態的電力系統，實現了混沌控制。

圖5 誤差隨時間的變化曲線

為驗證該控制方法的魯棒性，對受控混沌電力系統施加干擾n(t)=0.001cos(0.2πt)，將干擾施加到系統式(12)的第一個狀態方程。選擇在3 s時投入同步控制器，圖6給出了有限時間函數投影同步誤差隨時間變化曲線，圖7給出了施加控制器后的各個狀態變量隨時間的變化曲線。

圖6 含外部擾動時誤差隨時間的變化曲線

由圖6可以看出，對受到外部干擾的混沌電力系統施加控制器后，誤差信號仍可經過短時間的振蕩后衰減到零。由圖7進一步可以看出，在有外部噪聲干擾的情況下，施加控制器后，混沌電力系統的各狀態仍能迅速的與理想狀態達到同步。仿真結果表明,所設計的有限時間函數投影控制器對外界干擾具有較好的魯棒性能。

圖7 含外部擾動時施加控制器的混沌電力系統的時間序列圖

有限時間函數投影同步是利用函數投影同步思想使混沌電力系統穩定運行于理想狀態，又結合有限時間理論保證了控制響應時間。該方法結合了有限時間控制的快速性及函數投影同步控制的設計簡單等優點，不僅具有很好的控制效果，縮短了控制器響應時間，提高了控制器的快速性，而且該方法不需要確定平衡狀態，根據函數投影同步的思想僅需要選擇合適的驅動系統，靈活性更強。

4 結 論

本文以四階電力系統為研究對象，利用含有功率擾動項的四階電力系統模型，通過繪制相圖、狀態序列圖、龐加萊截面以及功率譜圖研究了功率擾動項對系統運動狀態的影響，驗證了電力系統在一定條件下會發生混沌行為，且當擾動幅值達到某一值時會引起系統的電壓崩潰。為了提高電力系統的混沌控制效果，簡化控制器的設計，縮短控制響應時間，本文基于有限時間穩定理論和函數投影同步思想，設計了有限時間函數投影混沌控制器，將混沌電力系統與理想狀態電力系統在有限時間內實現完全同步，間接的實現了電力系統的混沌控制。理論上證明了該控制器的正確性，數值仿真進一步驗證了所設計控制器可快速、有效的實現電力系統的混沌控制，并驗證了該控制器對外部干擾的強魯棒性。