變拓撲空間可展桁架多體系統動力學建模與分析

黃澤兵， 劉錦陽， 袁婷婷， 侯 鵬

(1.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240；2.上海衛星裝備研究所，上海 200240)

高分辨遙感觀測在氣候監測、地形測繪、陸地資源研究、環境與災害監測以及軍事偵查等諸多領域都起著非常重要的作用[1]，太空望遠鏡是實現實時高分辨率遙感觀測的重要途徑，由于受到航天運載工具空間和載重的限制，太空望遠鏡在發射前處于折疊狀態，當發射到太空在特定軌道位置釋放，隨后在自身動力源的驅動作用下完全展開至傘形。其展開的關鍵一步是三根桁架并行展開把主鏡推送至特定位置，然而，由于桁架構件繁多，展開長度達數十米，該展開過程呈現出復雜的動力學特性，尤其是在桁架單元展開鎖定的瞬間對星體與主鏡產生巨大沖擊，甚至使系統結構造成破壞，因此有必要開展太空望遠鏡桁架展開動力學的研究。

截至目前，已有不少學者對空間可展機構進行了展開動力學相關的研究。例如：Guo等[2]采用Jourdain速度變化原理建立了地面太陽能帆板系統的動力學方程，研究了大型柔性太陽能帆板系統的地面展開動力學特性，通過與ADAMS仿真結果對比驗證了動態模型的有效性；Chunmei等[3]建立了含間隙柔性四連桿機構的動力學模型，研究了關節處間隙與摩擦對機構展開動力學的影響；Wallrapp等[4]建立了可展太陽帆板的柔性多體動力學模型，通過采用SIMPACK程序對柔性太陽帆板展開動力學特性進行了分析，研究了太陽帆板的柔性效應地驅動機構的影響；邱雪松等[5]建立了月球車兩級往復可展太陽帆板的柔性多體動力學模型，并分析了間隙和柔性對帆板展開動力學的影響；楊淑利等[6-7]基于Kane法多體動力學基本理論及Hertz接觸理論建立了考慮根鉸間隙的框架展開機構多體系統動力學模型，分析了框架展開機構鉸鏈間隙與驅動力相互作用的動力學規律；游斌弟等[8]利用Lagrange和Newton方法建立了衛星太陽陣系統的多剛體動力學模型，研究了鉸鏈副接觸碰撞對太陽陣展開及衛星姿態的影響；趙孟良等[9]采用兩個節點笛卡爾坐標描述剛體的方法建立了周邊桁架式可展天線的多剛體動力學模型，并考慮摩擦對周邊桁架式可展天線進行了展開動力學分析。以上展開動力學的研究對象大多為結構相對簡單且物體數量較少的機構。此外，多體系統動力學的建模方法一般采用笛卡爾方法[10-13]，取浮動坐標系的基點位置坐標、姿態角坐標和模態坐標為廣義坐標，并引入相鄰柔性體之間的約束方程，建立多體系統的微分-代數混合方程。由于這種方法的廣義坐標數和約束方程個數較多，不適合于計算規模較大的柔性多體系統的數值仿真。而隨著高分辨遙感觀測技術的高速發展，太空望遠鏡一方面結構趨于復雜，部件數量增多，尺度增大引起柔性效應愈加顯著；另一方面對在軌展開與控制的精度要求愈加嚴苛，這就需要對太空望遠鏡桁架的展開過程建立更加準確和高效的柔性多體動力學模型，為太空望遠鏡結構設計與動力學控制提供更嚴謹與可靠的技術參考信息。

桁架各構件在展開到位時，它們之間的活動關節處鉸鏈會發生碰撞與鎖定。在以往的動力學仿真中，為了模擬鉸鏈鎖定機構的作用，通常的做法是當折疊式機構展開到位時在關節處引入一組外力或力矩來限制住原本部件間的相對運動[14-16]。這種方式適用于構件數量較少的展開機構。在選取合理的剛度阻尼系數的情況下，如果積分步長足夠小，可以獲得較精確的動力學響應和接觸瞬間的接觸力等未知量。然而對于一些物體數量龐大、鉸鏈多、長時間大范圍運動的多體系統而言，比如本文的研究對象太空望遠鏡系統，三根桁架共包含上千個構件與活動關節；如果通過施加力矩模擬鉸鏈鎖定機構，隨著桁架的展開，施加的力矩會一直存在且數量變得越來越龐大，這會使得后續的動力學數值仿真計算量不斷增大甚至導致計算失敗。因此，有必要提出一種有效的變拓撲問題的計算方法。

為了提高太空望遠鏡桁架展開過程的仿真精度，本文考慮了桁架各部件的柔性效應，用Jourdain速度變分原理建立了柔性體動力學變分方程。為了兼顧仿真效率，本文基于單向遞推組集方法建立了柔性多體系統的動力學模型。針對柔性部件展開鎖定時容易出現的數值計算問題，提出了在緩沖減速的基礎上施加相對角約束的變拓撲方法。在此基礎上分別對11節和30節桁架單元的太空望遠鏡桁架展開和鎖定過程進行數值仿真，分析柔性變形對動力學特性的影響。

1 可展桁架系統結構

1.1 系統描述

太空望遠鏡可展桁架多體系統如圖1所示。系統主要由星體、三根對稱分布式可展桁架及主鏡等部件組成，其中每根桁架含有30節桁架單元，桁架與主鏡各構件之間通過鉸鏈相互鉸接而成。處于折疊狀態的可展桁架和主鏡等部件組成的多體系統，通過三根桁架同步并行展開，推動主鏡到達預定位置，然后主鏡展開。桁架展開后長度達到將近38 m，其展開過程中與星體、主鏡相互耦合表現出復雜的動力學特性，因此本文主要研究桁架展開動力學，在桁架展開過程中，星體與主鏡始終處于收縮狀態。

圖1 可展桁架多體系統

1.2 絲杠驅動展開機構

如圖2所示，可展桁架主要由三角框、折疊臂、絲杠驅動組件等構成[17]，三角框與折疊臂之間以及折疊臂與折疊臂之間都采用旋轉鉸鉸接并裝有鎖緊機構，三角框節點外側安裝一組滾柱與限位彈簧片。處于折疊狀態的桁架在絲杠驅動作用下逐漸展開，驅動原理是：當三角框節點處滾柱滑入絲杠時，絲杠在電機作用下同步勻速旋轉將旋轉運動轉化為三角框的勻速直線運動；當三角框運動到絲杠末端時桁架單元展開到位，同時各旋轉鉸關節處鎖定裝置作用實現瞬間鎖定，并釋放后一三角框滾柱進入絲杠，由此交替進行實現桁架單元逐節展開；當三角框脫離絲杠時，將由后續三角框推著往前伸展。三角框節點處限位彈簧片的作用是防止桁架單元展開過程中單元前、后端三角框滾柱同時滑入絲杠導致桁架單元展開失敗。

圖2 桁架展開過程

本文通過在即將展開的三角框三個節點處同時施加勻速速度驅動與滑移鉸來模擬絲杠驅動的作用，當桁架單元前端三角框的三個節點的外側滾珠在驅動作用下勻速運動時，通過對后端三角框的三個節點的外側施加點面約束模擬限位彈簧片的作用。前端三角框和后端三角框在三個節點的內側通過旋轉鉸與折疊臂連接。當桁架單元展開到位時立即鎖定，同時立即釋放相應速度驅動與滑移鉸并激活后端三角框相應速度驅動與滑移鉸。由此交替進行模擬桁架單元逐節展開與延伸。

1.3 鎖定機構

各構件之間的活動關節處鉸鏈鎖定機構實際中是一個復雜而精密的機械裝置。為了模擬鉸鏈鎖定機構的作用：一種做法是當折疊式機構展開到位時在關節處引入一組力矩來限制住原本部件間的相對運動，但是力矩的大小與剛度系數和阻尼系數相關，較大的剛度系數會導致積分步長很小，如果鎖定之后仍然施加力矩，會影響積分效率；另一種做法是基于變拓撲多體系統的處理方法[18]，在桁架展開過程中，當各桁架單元展開到位時通過將轉動鉸替換為固定鉸實現桁架單元的瞬間鎖定。這種方法的優勢是實現了桁架展開過程中的變拓撲，不需要施加與剛度系數和阻尼系數相關的力矩，因此積分步長不受影響，可以提升計算效率，主要適用于剛體系的變拓撲問題。對于柔性體系統，瞬間施加約束方程容易引起速度突變，導致彈性變形劇增。

本文將兩種方法有效地結合起來，在鎖定之前，采用在鉸鏈處施加與緩沖器等價力矩的方法，力矩大小參考動力學仿真軟件ADAMS階躍函數和雙側碰撞函數[19]

M=STEP(θ,θ1,0,θ2,1)×

(1)

當轉動鉸的相對角速度趨于零時，在鉸點處施加相對角約束，使轉動鉸轉變為固定鉸。由于增加了緩沖段，不會發生速度突變引起彈性變形劇增；此外，在鎖定之后，由于轉動鉸變為固定鉸，與剛度系數和阻尼系數相關的力矩可以瞬間釋放，積分步長不需要始終保持很小，從而可以提高計算效率。

2 可展桁架多體系統動力學建模

本文著重研究桁架展開時的柔性效應以及與星體、主鏡的耦合動力學特性，桁架的三角框、折疊臂等所有構件按實際柔性體建模，而星體和主鏡分別作為一整體簡化處理。考慮到采用笛卡爾方法描述系統位形會使系統動力學方程維數遠大于系統自由度數，動力學微分方程的系數矩陣的構造過程十分復雜[20]，給數值計算帶來較大困難。本文采用拉格朗日坐標和模態坐標描述系統位形，基于柔性多體系統動力學的單向遞推組集方法建立太空望遠鏡系統動力學模型。

2.1 鄰接物體運動學遞推關系

圖3 鄰接物體的幾何關系

(2)

(3)

(4)

(5)

相應的絕對坐標關系式為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

對于矢量hα，滿足以下矢量關系式

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

由圖3可知，相鄰兩物體浮動坐標系的角速度滿足以下矢量關系式

(17)

由式(3)和式(10)，上式在絕對坐標系下的關系式為

(18)

相鄰兩物體浮動坐標系的角加速度滿足以下矢量關系式

(19)

由式(3)和式(10)，上式在絕對坐標系下的關系式為

(20)

其中，

(21)

矢徑rα和rβ滿足

(22)

其絕對坐標式為

(23)

對式(22)求導，并聯立式(6)～式(9)、式(15)、式(16)，得相應的速度與加速度絕對坐標關系式分別為

(24)

(25)

其中，

(26)

定義

(27)

將式(18)、式(20)、式(24)和式(25)合并為以下形式

(28)

(29)

其中，

(30)

(31)

由此，得到相鄰兩物體之間速度與加速度的遞推關系式。

(32)

(33)

其中，

S00=I(6+S),Sα0=JαβSβ0(β=L(α);α=1,…,N)

(34)

(35)

(36)

式中：Bi

將系統N個物體的矩陣關系式(32)與式(33)分別合并為以下形式

(37)

(38)

其中，

(39)

(40)

2.2 柔性多體系統動力學方程

對于單個物體Bi，根據速度變分原理，其變分形式的動力學方程為

(41)

(42)

式中，Fe為系統內物體間相互作用的力元。

定義柔性多體系統的質量陣和力陣分別為

(43)

將式(37)、式(38)、式(43)代入式(42)得

(44)

由于本文研究對象太空望遠鏡系統是一個閉環系統，不能直接應用式(44)，處理方法是選擇性地切斷一些鉸鏈把系統轉化為派生樹系統，同時針對切斷鉸引入相應的獨立約束方程，下面推導切斷鉸的約束方程。

如圖4所示，考慮系統中某切斷鉸hΛ，當受到鉸鏈的約束時，兩物體相對運動受一定限制，應滿足如下一般形式的約束方程組

圖4 含切斷鉸鄰接物體幾何關系

TΛ(rα,Aα,aα,rβ,Aβ,aβ,t)=0

(45)

式中，Aα與Aβ分別為物體Bα和Bβ浮動坐標系相對絕對參考系的方向余弦陣。

對式(45)分別求一階和二階導數得到如下形式的速度與加速度約束方程

(46)

(47)

其中，

(48)

(49)

(50)

對于有l個切斷鉸的閉環系統，其約束方程、速度約束方程及加速度約束方程分別為

(51)

引入拉格朗日乘子μ，第一類拉格朗日方程為

(52)

將派生樹系統動力學方程式(44)與切斷鉸約束方程式(51)組集即為系統的動力學方程

(53)

對于變拓撲柔性多體系統，設TL=(p,t)=0為附加相對角約束方程，對應的速度和加速度約束方程為

(54)

系統的動力學方程為

(55)

式中，μL和ξL分別為與附加約束方程相對應的拉格朗日乘子列陣和加速度約束方程的右項。

3 數值仿真

在用單向遞推組集方法建立太空望遠鏡系統動力學模型的基礎上，本節對圖5所示太空望遠鏡桁架展開和鎖定過程進行動力學仿真。首先以圖5中的每根桁架含11節桁架單元的模型為對象，進行數值仿真和動力學分析；然后將多體動力學建模拓展到實際含30節桁架單元太空望遠鏡系統進行桁架展開與鎖定動力學數值分析。系統各構件物理參數如表1所示，其中三角框和折疊臂均為鋁合金6061材質，彈性模量為70 GPa，體密度為2 700 kg/m3，絲杠驅動展開速度設為0.124 5 m/s。當桁架展開時，為了模擬星體在控制器作用下處于靜止狀態，本文將星體固定。絕對參考系x，y和z方向和各桁架單元編號如圖5所示。

表1 系統物理參數

圖5 太空衍射望遠鏡系統

圖6所示為第j個桁架單元。轉動鉸J1，J2和J3的鉸坐標分別為柔性梁Bj1，Bj2，Bj3相對于三角框Bj0的姿態角qj1，qj2，qj3；轉動鉸J4，J5和J6的鉸坐標分別為柔性梁Bj4，Bj5，Bj6相對于Bj1，Bj2，Bj3的姿態角qj4，qj5，qj6；轉動鉸J7，J8和J9的鉸坐標分別為為三角框Bj7相對于柔性梁Bj4，Bj5，Bj6的姿態角為qj7，qj8，qj9。

圖6 桁架單元

圖7 主鏡縱向受力

3.1 系統簡化模型桁架展開動力學驗證

本文首先基于上述多體動力學理論對含11節桁架單元的1/3系統簡化模型進行動力學建模與數值仿真，然后，為了驗證簡化模型的準確性，對每根桁架含11節桁架單元的完整系統模型進行動力學仿真，將二者動力學仿真結果進行對比。兩種模型的桁架展開最后鎖定時間均為110 s ，總仿真時間取140 s。

通過數值仿真得到桁架展開過程中對星體與主鏡的z方向沖擊力-時間曲線如圖8所示。其中，為滿足數值上的可比性，已將1/3系統簡化模型計算求得z方向沖擊力擴大3倍。通過對比1/3系統簡化模型與完整系統模型，發現在桁架展開過程中，兩種模型對星體與主鏡產生的沿z方向的沖擊力時間曲線基本重合。

圖8 11節桁架單元對星體與主鏡z方向沖擊力

圖9所示為桁架展開過程中桁架單元編號分別為3，5，8，10相對應的前端三角框質心沿z方向的速度時間曲線。通過對比1/3系統簡化模型與完整系統模型，可以發現在各桁架單元展開過程中，兩種模型相應的三角框質心速度時間曲線基本重合。

圖9 11節桁架單元展開過程各三角框質心z方向速度

通過對比1/3系統簡化模型數值仿真與完整系統模型動力學仿真結果，發現桁架展開過程中對星體和主鏡的z方向沖擊力時間曲線，以及各三角框質心z方向速度時間曲線基本一致，從而驗證了本文單向遞推組集建模方法的正確性和1/3系統簡化模型的有效性，因此，1/3系統簡化模型可用于完整太空望遠鏡系統桁架展開動力學仿真和分析。1/3系統簡化模型的特點是計算規模小，計算效率較高，對11節桁架單元系統，其計算時間約為完整系統的1/6；對于桁架單元更多的系統，其計算效率高的優勢更加明顯。

3.2 桁架展開動力學仿真結果分析

為了進一步在保證求解精度與提高求解效率的前提下對實際30節桁架單元太空望遠鏡系統的桁架展開動力學特性進行分析，本文將1/3系統簡化模型桁架展開動力學分析拓展到實際30節桁架單元，桁架展開最后鎖定時間為300 s ，總仿真時間取330 s。同時，為突出柔性桁架展開過程中產生的柔性效應，本文還對剛性桁架模型進行了展開動力學數值仿真，將柔性桁架模型與剛性桁架模型展開動力學結果進行對比與分析。

圖10(a)所示為30節桁架單元展開過程中對星體z方向沖擊力時間曲線。從圖中可以看出，實際柔性桁架在展開過程中主要在各桁架單元鎖定瞬間會對星體產生沖擊振蕩，且每次沖擊振蕩的振幅相近。而剛性桁架對星體產生的沖擊力則呈現出節拍性規律，隨桁架單元奇、偶數相間分布、錯落有致，且奇、偶數桁架單元產生的沖擊力都分別隨著已展開桁架單元數量的增多逐漸增大，較實際柔性桁架大得多。由于柔性桁架的一部分動能轉變為應變能，因此柔性桁架對星體產生的沖擊力較小。由于動能在之前桁架展開過程中已基本消耗，柔性與剛性桁架展開結束之后對星體沖擊力均為0。

圖10(b)所示為30節桁架單元展開過程中對主鏡沖擊力時間曲線，可以看出，實際柔性桁架在展開過程中對主鏡產生了沖擊波；沖擊力幅度波動起伏，變化較大，整體按正弦規律逐漸衰減，沖擊幅度較小。剛性桁架對主鏡產生的沖擊力幅度同樣呈現出節拍性規律，隨桁架單元奇、偶數相間分布、錯落有致；與對星體沖擊不同的是，對主鏡的沖擊整體來說較均勻，偶數桁架單元相對奇數桁架單元產生的沖擊要小，且奇、偶數桁架單元產生的沖擊分別整體大致恒定，但比實際柔性桁架要大得多。桁架展開結束之后對主鏡沖擊力都為0。

圖10 30節桁架單元對星體與主鏡z方向沖擊力

圖11所示為30節桁架單元展開過程中，桁架單元編號分別為5，10，15，20，25，30相對應的前端三角框質心沿z方向的速度時間曲線。可以看出，實際柔性桁架已展開桁架單元各三角框質心沿z方向的速度在桁架繼續展開過程中基本保持恒定，但在各桁架單元鎖定時速度會出現一定往復變化，呈現出的是已展桁架在后續桁架單元鎖定瞬時產生了伸縮變形；每次速度變化幅值都不一樣，反映出已展桁架每次出現的伸縮變形程度不同。而剛性桁架各三角框質心速度時間曲線則幾乎呈理想狀態，各桁架單元只要展開鎖定之后，相應三角框質心沿桁架展開方向的速度則一直保持恒定，直至桁架最后鎖定，這是因為剛性桁架在展開過程中沒有伸縮變形。柔性與剛性桁架展開結束之后三角框質心速度都為0，這也恰好能解釋在桁架展開結束之后，桁架對星體與主鏡的沖擊力基本為0。

圖11 30節桁架單元展開過程各三角框質心z方向速度

4 結 論

本文對太空望遠鏡桁架展開和鎖定的動力學建模方法進行研究。為了縮減系統的廣義坐標數，取鉸的相對坐標為系統的廣義坐標，用單向遞推組集方法建立了太空望遠鏡大型在桁架展開過程的剛-柔耦合動力學模型。針對柔性部件展開鎖定時容易出現的數值計算問題，提出了先緩沖減速再附加相對角約束的變拓撲問題的處理方法。在此基礎上利用系統結構對稱性取1/3簡化模型進一步縮減計算規模，實現了結構復雜、計算規模龐大的太空望遠鏡桁架展開和鎖定過程的數值仿真，這種簡化方法可以有效縮減計算規模，并且具有較高的精度。動力學分析結果表明，太空望遠鏡桁架展開的柔性效應不可忽略，將桁架簡化為剛體模型會與實際動力學特性產生較大偏差；探討了桁架展開過程中與星體、主鏡的耦合動力學特性，分析了桁架展開對星體與主鏡的沖擊力變化規律。本文對太空望遠鏡桁架展開的模型簡化方法與動力學數值分析結果，對太空望遠鏡多體系統的結構設計和動力學控制具有一定的理論參考價值與工程指導意義。