摩擦對滾動碰撞式調諧質量阻尼器的影響及其試驗研究

李書進， 伍大濤， 陽昌娟， 孔 凡， 張遠進

(1.武漢理工大學 土木工程與建筑學院，武漢 430070; 2.武漢理工大學 安全科學與應急管理學院，武漢 430070)

結合碰撞阻尼思想，本課題組在滾動型調諧質量阻尼器(tuned rotary mass damper, TRMD)[1]的基礎了提出了一種滾動碰撞式調諧質量阻尼器(pounding tuned rotary mass damper, PTRMD)裝置，并對其減振性能進行了探討[2-3]。該裝置由球形振子、弧形軌道及黏彈性限位裝置組成，當振子滾動幅度不大，與限位裝置無接觸時，功能與TRMD無異；當振子滾動幅度大到與限位裝置發生撞擊時，碰撞阻尼發揮作用，實現能量耗散。實際上，PTRMD兼有調諧阻尼器和碰撞耗能(如顆粒阻尼器[4])的特點，可視為非線性動力減振器的一種，已有研究表明，非線性動力減振器能夠在較寬的頻帶范圍內有效吸收主體結構的振動能量[5-6]，是提高傳統TMD控制性能的有效途徑之一。

影響PTRMD減振性能的參數較多，如振子質量、軌道半徑、碰撞材料、限位裝置間距、振子與軌道間的滾動摩擦因數等，對這些參數開展研究對于該裝置減振理論的完善和應用推廣都具有十分重要的意義。李書進等對其中的多數參數進行了探討，分析了它們的影響特性和規律，但對于滾動摩擦的影響，由于其機理復雜，且摩擦力一般為非線性項，受控系統求解困難而未做深入分析，在前期的研究工作中均作了軌道面為光滑的假定。事實上，PTRMD中的滾動摩擦有一定程度的能量耗散，對減振性能的影響很大，實際中也并不存在完全光滑的軌道，國內外的研究也表明摩擦耗能也能起到消能減振的作用，并提出了相關計算模型和帶摩擦的減振裝置[7-9]，因此，對該問題進行深入研究既重要也必要。

對PTRMD中的滾動摩擦效應問題進行了理論和試驗研究。首先，引入摩擦耗能機制，建立考慮滾動摩擦耗能的PTRMD控制方程，通過對方程進行數值求解分析了振子與軌道間的滾動摩擦對阻尼器減振性能的影響和大概規律；然后，選用不同質地的材料粘貼于滑道表面，通過試驗對振子與滑道間的滾動摩擦因數進行測定，并進行振動臺試驗，對其在自由振動、強迫振動及地震激勵等工況下的摩擦效應進行探討。

1 考慮滾動摩擦影響的PTRMD動力方程

1.1 計算模型

裝有PTRMD的單自由度結構簡化模型，如圖1所示，在外力作用下，結構在產生水平方向位移的同時帶動PTRMD中的振子產生滾動，受控結構能量以動能和勢能的形式轉移到小球中，并通過沖擊阻尼和滾動摩擦耗散。通過對PTRMD的軌道半徑、振子材料和半徑等參數的合理設計，可使PTRMD對結構振動進行有效的控制。PTRMD模型見圖2。

圖1 帶PTRMD結構模型

圖2 PTRMD振子的運動模型

1.2 運動方程的建立

采用Lagrange變分原理推導該受控體系的動力方程

(1)

1.2.1 無碰撞階段

當θ≤|θm|時，振子與限位裝置不發生接觸，PTRMD的表現與TRMD相同，此時受控體系動能包括主體結構的動能、PTRMD振子平動及繞自身球心轉動的動能，即

(2)

受控體系勢能V包括受控結構彈性勢能和PTRMD振子重力勢能，即

(3)

非保守力所做虛功包括外力做功、結構阻尼力做功以及滾動摩擦力矩做功

(4)

式中：δx，δθ分別為x，θ位移方向的虛位移；Mf為振子與軌道間滾動摩擦產生的滾動摩擦力矩，與振子運動方向相反，其表達式為

(5)

(6)

考慮振子轉角位移θ為小量，將式(2)、式(3)及式(6)代入Lagrange運動方程，得到該階段受控體系的控制方程

(7)

(8)

整理為矩陣形式

(9)

1.2.2 碰撞階段

當θ≥|θm|時，振子將與軌道上的黏彈性限位裝置發生碰撞。此時，受控體系動能的計算公式不變，仍為式(2)，而勢能及非保守力做功發生改變。由于球形振子與黏彈性材料在碰撞過程中會發生一定的變形，受控體系勢能應考慮由于黏彈性材料變形產生的彈性勢能，而非保守力做功應考慮碰撞接觸面上的阻尼力所做的虛功。采用非線性黏彈性碰撞模型模擬PTRMD中的非線性碰撞，該模型認為碰撞時能量損失只發生在材料壓縮階段，恢復階段不存在能量耗散[10]。則受控體系的勢能及非保守力所做虛功為

(10)

(11)

(12)

代入式(1)得到碰撞階段的控制方程為

(13)

(14)

整理為矩陣形式，有

(15)

1.3 滾動摩擦影響分析

利用四階Runge-Kutta法對式(9)和式(15)進行數值求解，以單自由度受控結構的自由振動為例對PTRMD中滾動摩擦的影響進行分析，式中各參數的取值見表1。由于控制方程式(9)和式(15)是以PTRMD中振子與限位裝置發生碰撞時的角度θm來區分的，該參數的取值對阻尼器的影響很大，計算中將改變其值，以探討與滾動摩擦因數間的相互影響。

表1 受控結構參數

將θm在0～0.5 rad、滾動摩擦因數在0～0.01 m變動，方程初始條件取初位移x0=0.02 m，PTRMD振子初位移θ0=0，即振子最初靜止在弧形軌道底部。引入受控結構位移時程的均方根Prms作為PTRMD的減振控制指標，計算得到的結構Prms與碰撞角度及滾動摩擦因數關系，如圖3所示。從圖可知，滾動摩擦因數對各碰撞角度下受控結構Prms的影響呈現相同規律：在小摩擦因數范圍內，Prms隨摩擦因數的增大而減小，滾動摩擦耗能顯著；但當摩擦因數大到一定程度后，均方根Prms反而增大，PTRMD的減振效果變差，表明PTRMD存在最優的滾動摩擦因數區間，對本例約在0.003 5附近。

圖3 受控結構Prms與θm及滾動摩擦因數關系圖

圍繞最優摩擦因數區間選擇一組摩擦因數：0，0.002，0.003 5，0.006，0.008，取碰撞角度θm為0.4 rad，計算得到各摩擦因數下的位移衰減情況，如圖4所示。可以看出，摩擦因數為0.003 5時PTRMD的控制效果最好，摩擦因數過大或過小均會使其減振效果變差。

圖4 不同摩擦因數下結構位移衰減圖

通過對振子的運動軌跡進行分析，發現摩擦因數為0，0.003 5及0.008時振子與壁發生碰撞的次數分別為8次、3次和0次，碰撞次數隨滾動摩擦因數的增大而減少。光滑情況下振子滾動激烈，由于能量僅靠碰撞耗散，非常緩慢，導致后期即使結構振動幅度變小，在振子帶動下仍有周期性晃動(見圖4)，因此適當加大振子的摩擦耗能能有效改善PTRMD的減振性能；但如果滾動摩擦過大，振子的滾動受到限制，PTRMD又無法充分發揮其作用，因此，選擇合適的摩擦因數，使碰撞沖擊和滾動摩擦耗能均能得到充分發揮，對于PTRMD尤為重要。

2 試驗研究

2.1 結構模型

對一裝有PTRMD的單自由度結構進行摩擦影響試驗研究，主結構為單層門式鋼框架模型，由兩塊不銹鋼板作立柱，頂上固結厚度較大的橫梁以確保其滿足剛度無窮大假定，具體參數見表2。PTRMD居中設置在梁上，質量為700 g，與橫梁一起作為結構質量快。制作好的模型見圖5，經實測，結構模型自振頻率為1.35 Hz。

圖5 結構模型

表2 試驗模型參數

2.2 PTRMD設計

PTRMD主要由球形振子、弧形軌道及黏彈性限位壁構成。試驗中弧形軌道用鋁合金制作，球形振子為鑄鐵材料。限位壁用鋁合金制，表面涂5 mm厚的硅橡膠，固結于軌道上。

類似傳統TMD，將PTRMD自振頻率調諧至受控結構基頻附近，且球形振子與受控結構的質量比取0.02～0.05時減振效果最佳[11-12]。而振子的滾動頻率只與軌道半徑和小球半徑的差ρ有關，其計算公式為[13]

(16)

將主結構自振頻率代入即可得到PTRMD的各參數見表3，阻尼器實體模型見圖6。

表3 PTRMD參數設置

圖6 試驗用PTRMD

2.3 滑道面材料及其滾動摩擦因數測量

選用不同質地的面料粘貼于上述制作好的PTRMD滑道表面，通過試驗對振子與滑道間的滾動摩擦因數進行測定。為探討PTRMD的最優摩擦因數范圍，選取砂紙(600Cw)、海綿(低中高三種密度)、EVA泡棉膠、硅橡膠及橡膠共7種摩擦材料，趨勢由質地較硬、不可變形向質地較軟且易變形，耗能能力和阻尼性能愈好的黏彈性材料變化，具體見表4。

表4 滾動摩擦特性試驗工況

由于球形振子是在弧形軌道上滾動，動力參數難以測量，本文采用高速攝像技術記錄振子運動，再進行數據提取[14]。測量模型與裝置如圖7，原理及過程說明如下。

圖7 PTRMD滾動摩擦測試試驗

在軌道面粘貼不同摩擦材料，將質量為m的振子在半徑為R的弧形軌道頂端靜止釋放，小球在軌道面內做往返運動直至靜止。基于能量守恒定理，小球在弧形軌道運動過程中的動能變化ΔEk、重力勢能變化ΔEv及摩擦力做功Wf三者關系式為

ΔEk+ΔEv=Wf

(17)

令小球在軌道上速度為零的點為極值點，對應的轉動弧度為θi。任取兩個極值點θl，θn，則小球在該弧段范圍內的能量變化為

(18)

ΔEv=mgρ(cosθl-cosθn)

(19)

(20)

采用高速攝像儀器記錄小球在弧形軌道的運動軌跡，然后進行圖像邊緣檢測，捕捉小球質心位置，得到小球在弧形軌道內運動的時程曲線，結合式(17)可求得小球與軌道面間的滾動摩擦因數。每種材料做三組試驗，取其平均值。

2.4 振動臺試驗

利用小型振動臺對受控模型結構進行減振試驗，探討PTRMD在不同摩擦材料下的減振效果和影響規律。加載方式有自由振動、強迫振動和地震激勵三種，其中，地震激勵選用了El Centro波、Kobe波和Northridge波三條地震波，各地震波的特性見表5。

表5 地震波特性

將模型底部通過螺栓固定于振動臺面，在結構頂部及振動臺面分別布置一個加速度傳感器用于采集模型頂部和底部的水平向加速度，同時在同一高度分別布置一個激光位移傳感器來測量結構頂部和振動臺面的水平位移，試驗模型與儀器布置如圖8所示。

圖8 試驗模型及儀器布置

3 試驗結果分析

3.1 滾動摩擦特性

限于篇幅，這里僅以硅橡膠軌道面為例闡述數據處理過程。取其中某時刻圖像，對其進行灰度化處理，然后高斯濾波去噪。采用Canny算子[15]對濾波后的圖像進行邊緣檢測和輪廓提取，該算法是一階微分算子的優化算法，需要參數較少且計算效率高，能得到連續完整的振子邊緣[16]，獲取連通區域特征并標記球心及軌道圓心。處理的具體流程見圖9，得到的振子在弧形軌道內的動力響應見圖10，由此即可得到硅橡膠面時振子的滾動摩擦因數。

圖9 圖像處理流程

圖10 振子動力響應圖

試驗中觀察到，同一高度自由滾落，球體在光滑軌道、砂紙這兩種較硬材料上的滾動幅度大、時間較長，噪聲較也大；在泡棉膠、硅橡膠、橡膠和高密度海綿等質地較軟、具有較好回彈性的材料上運動稍緩和，材料發生細微凹陷回彈；在低、中密度海綿上運動受到明顯阻力，僅滾動兩個來回便靜止于軌道最低處，材料發生明顯變形。時間上，球體在光滑軌道上滾動16 s才能靜止，位移衰減最慢，而在中密度海綿軌道面上僅2 s就停止，衰減最快。實測各材料的滾動摩擦系數見下表。

3.2 自由振動

對無控結構和不同軌道面摩擦材料的受控結構進行自由振動試驗，初始位移均為7 cm，測得各材料下框架頂部位移衰減包絡如圖11所示?？梢钥闯?，無控制時，結構位移衰減緩慢，直到20多秒后才衰減至50%，而裝有阻尼器的受控結構在振動初期位移的衰減幅度就較大，均在10 s內衰減至50%。從圖還可以看出，合理增大摩擦因數能有效提高PTRMD的減振性能，其中，中密度海綿軌道面PTRMD的減振控制效果最佳，在第4 s時已將結構振幅衰減至58%，不過后期的控制效果不如低密度海綿軌道面(見圖12)。根據以上分析和試驗過程中的觀察可知，軌道面摩擦因數越大，結構振幅衰減速度就越快，但當摩擦因數過大時，振子在結構振動后期滾動幅度較小甚至無法滾動，此時PTRMD無法發揮其調諧減振作用，減振效果變差。圖13為不同摩擦因數下框架頂部位移頻譜圖，可以看到，摩擦因數越大的材料頻譜幅值越小，表明受控的頻帶要寬，即合理增大軌道面摩擦因數能有效增加PTRMD的控制頻帶寬度。

表6 振子與不同摩擦材料間的滾動摩擦因數

圖11 自由振動位移衰減包絡圖

圖12 中、低密度海綿時自由振動響應對比

圖13 自由振動位移頻譜圖

3.3 強迫振動

利用振動臺給模型施加簡諧激勵，將激勵頻率調為與結構基頻相同，即f=1.35 Hz，探討不同滾動摩擦下PTRMD對結構共振的抑制情況，簡諧激勵的幅值均為0.5 cm。

試驗中可觀察到，在慣性力作用下，PTRMD球形振子由靜止到開始滾動并發生碰撞存在一定的時間差，因此在激勵作用的前幾秒，PTRMD的減振效果并不明顯。隨著激勵的不斷輸入，結構振動幅值不斷增大，振子的滾動幅度變大，并開始不斷與限位壁發生碰撞，逐漸發揮PTRMD的良好減振性能，結構位移響應衰減明顯，有效地抑制了結構的共振響應。但當滾動摩擦因數過大時，同等激勵下振子的滾動路徑變短且碰撞次數明顯減少，減振性能有所下降。圖14為采用低密度海綿和中密度海綿時結構反應的對比圖，可以看到，在整個簡諧激勵作用時程內，滾動摩擦系數稍低的低密度海綿軌道PTRMD對結構位移的控制效果要優于滾動摩擦因數稍高的中密度海綿PTRMD。此外，相較其他幾種滾動摩擦因數更小的材料，低密度海綿軌道面的減振效果又要明顯優于它們。由此表明，與自由振動相似，PTRMD存在最佳的滾動摩擦因數區間，不過該區間表現比較復雜，與結構形式、激勵類型和大小以及阻尼器本身參數有關。

圖14 中、低密度海綿時簡諧激勵響應對比

3.4 地震波激勵

選用El Centro波、Kobe波和Northridge波等實際強震記錄對模型結構進行加載，試驗時將所選地震波的加速度峰值均設定為310 cm/s2。試驗結果可知，不論何種地震激勵，在一定范圍內滑道的滾動摩擦因數越大PTRMD的控制效果就越好，表明合理地增大軌道面的滾動摩擦能在一定程度上改善PTRMD的工作性能。但試驗也同樣發現滾動摩擦因數也不能太大，過大的摩擦因數會顯著降低其控制能力。圖15～圖17分別為三種地震波下采用低密度海綿和中密度海綿軌道時結構反應的對比圖，可以看出，滾動摩擦因數稍大的中密度海綿軌道在地震作用初期對位移及加速度的抑制效果要優于低密度海綿，但地震作用后期的效果卻不佳。究其原因可知，地震作用前期結構輸入的能量較大，帶動PTRMD劇烈振動，軌道面摩擦阻力實現了良好耗能；而在地震作用后期，結構輸入能量減小且振幅衰減，此時軌道面的摩擦阻力反而限制了振子的滾動，控制效果變差。

圖15 El Centro波作用下中、低密度海綿軌道響應對比

圖16 Kobe波作用下中、低密度海綿軌道響應對比

圖17 Northridge波作用下中、低密度海綿軌道響應對比

此外，圖中還可看出，不同的地震波激勵下PTRMD的減震效果有所不同，其中對Kobe波的減震效果最好，El Centro波次之，Northridge波較差。結合三種地震波的頻譜特性可知，Kobe波的能量主要集中在1.0～1.5 Hz[17]，較為集中且與本試驗模型框架自振頻率(1.35 Hz)十分接近，框架反應較大，阻尼器控制作用明顯，減震效果顯著；El-Centro波的能量分布稍均勻，主要分布在1.0～2.5 Hz內，高于結構的基頻，但阻尼器的控制效果也較好，表明PTRMD對于頻率高于結構自振頻率的激勵也具有較好的控制能力；而Northridge波的能量主要集中在0.5～1.0 Hz[18]，比結構自振頻率小，結構的反應不大，PTRMD的減震效果也不佳，特別是振動后期基本沒什么減震甚至還有放大現象。以往的研究也表明，碰撞類阻尼器在激勵頻率比結構自振頻率小時往往魯棒性不佳，振子與結構發生同向碰撞現象增多，會導致結構響應加大[19-20]。

4 結 論

對滾動碰撞式調諧質量阻尼器中振子與軌道間的滾動摩擦對阻尼器的性能影響進行了理論和試驗研究。引入摩擦耗能機制，利用Lagrange變分原理建立了考慮滾動摩擦耗能的PTRMD控制方程，通過對方程進行數值求解分析了滾動摩擦對阻尼器性能的影響；通過試驗測定了不同質地滑道面材料的滾動摩擦因數，并進行了振動臺試驗，分析在自由振動、強迫振動及地震波激勵等工況下PTRMD中的摩擦效應，得到的主要結論如下：

(1)對PTRMD的數值分析表明振子與軌道間的摩擦耗能能有效改善其減振性能，且PTRMD存有最優的滾動摩擦因數區間，太小或過大均不利于結構的減振。

(2)采用高速攝像和計算機圖像處理技術能對非直線滾動振子的運動軌跡進行精準的采集。

(3)摩擦效應能提高PTRMD的耗能能力，有效改善其工作性能，但滾動摩擦因數存在最優區間，且該區間表現比較復雜，與結構形式、激勵類型和強弱以及阻尼器本身參數有關。