基于移動荷載譜的橋梁豎向自由振動最大響應研究

李錦華， 張 耀， 張煥濤， 藍聲寧

(1. 華東交通大學 土木建筑學院,南昌 330013； 2. 華東交通大學 土木工程國家實驗教學示范中心，南昌 330013；3. 北部灣大學 建筑工程學院,廣西 欽州 535011)

國內外研究人員已對列車作用下的橋梁振動問題進行了廣泛的研究，甚至考慮了風荷載和列車制動力影響下的橋梁縱、橫向振動問題[1-2]。隨著我國高速鐵路的大量建設以及鐵路系統的升級，高速列車引起的橋梁振動響應問題也日益突出，尤其是關于列車荷載引起橋梁共振響應的問題[3]。

對于列車荷載引起的橋梁共振響應問題，研究人員采取了各種方法進行分析。對于實際列車作用下橋梁的振動響應，需考慮列車-橋梁的耦合作用[4-5]，然而采用該方法的研究只能通過數值模擬來分析橋梁跨度，荷載軸距及移動速度等因素的影響[6]。這種分析方法雖然貼合于工程實踐，但求解過程較為復雜，通用性不高，因此為了工程實際的通用性，很多學者采用解析的方法求解各類橋型結構的共振機理。Yau[7]根據移動荷載引起簡支梁的共振公式，采用類比法確定高速列車作用下連續橋梁的多個共振峰值；再基于有限元方法研究了跨數對連續梁橋沖擊作用的影響。Wang等[8]通過振型分析法分析了列車作用下兩跨連續梁的振動響應，并得到了不同于簡支梁的兩個共振速度，且考慮了阻尼比、橋梁跨度對振動響應的影響。呂龍等[9]采用等效縱向荷載研究了移動荷載作用下斜拉橋的縱向振動機理，推導出縱向共振速度的估算公式。

其中對于列車荷載作用下簡支梁橋的共振問題一直是研究熱點。Yang等[10]將列車荷載簡化為等軸距的兩個子系統，通過解析方法確定了控制橋梁動力響應的關鍵參數，并根據移動荷載產生的橋梁響應曲線給出了有效抑制橋梁共振的優化設計準則。李慧樂等[11-12]從理論推導和分析實例，研究了車橋系統的共振機理和發生共振的條件，并推導出移動荷載(單個集中力、等軸距移動荷載列及非等軸距移動荷載列)作用下的橋梁振動響應解析解，獲得了移動荷載作用下簡支梁發生共振及兩類消振響應下車速計算公式。張鐸等[13]研究一系列移動簡諧荷載作用下簡支梁豎向動力響應，首先理論推導出了橋梁響應的解析表達式；然后通過數值模擬分析了荷載移動速度、諧振頻率以及橋梁阻尼比等參數對橋梁共振的影響。然而當移動荷載以共振速度勻速通過簡支梁后，并不能引起橋梁的最大響應[14-16]。

目前，對于橋梁振動理論的研究主要是從時域角度進行分析，然而頻域相對時域而言，直觀且無需求解微分方程。為了直觀有效地分析橋梁自由振動最大響應的影響參數，建立起各參數與橋梁自由振動最大響應的關系，本文將考慮列車荷載為兩軸車輛荷載，從頻域角度出發，采用傅里葉變換推導出兩軸車輛荷載通過橋梁時的移動荷載譜及橋梁振動響應譜，再通過對移動荷載譜的分析，獲得引起橋梁自由振動最大響應時的移動荷載速度，并通過算例驗證相關理論研究的有效性。

1 移動荷載激勵下的橋梁運動方程

為了分析列車速度、荷載軸距對橋梁振動響應的影響，將列車荷載考慮為兩軸集中力荷載模型，如圖1所示。集中力荷載大小為P，軸距為d，該荷載以速度v勻速行駛在跨度為L的橋梁上，該橋梁的運動方程可表示為

圖1 橋梁及移動荷載模型

(1)

式中：qj為橋梁第j階振型的廣義坐標；m為橋梁單位長度質量；ωj,ξj分別為橋梁的第j階自振頻率和阻尼比;fj(t)為兩軸移動集中力荷載產生的第j階振型荷載，其表達式為

(2)

式中，S(t)=S0(t)-S0(t-L/v)可判斷移動集中力是否作用在橋梁上，S0(t)為Heaviside函數。

本文對兩軸移動荷載作用下橋梁的運動方程編寫了相關求解程序，算例采用了文獻[17]中的橋梁及兩軸移動荷載數據，如表1所示。當移動荷載以速度100 km/h勻速通過橋梁時，橋梁跨中位移振動響應如圖2所示。由圖2可知，本文運用振型疊加法計算的橋梁跨中豎向位移振動響應，與文獻[17]中的數據相互吻合，驗證了上述運動方程及計算程序的正確性。

表1 橋梁參數及荷載參數

圖2 橋梁跨中豎向位移響應

2 頻域分析法

目前，對于移動荷載作用下橋梁自由振動響應幅值的分析，主要采用時域數值計算方法，而該方法對運動方程需要進行反復計算求解。為了快速有效地分析移動荷載作用下橋梁自由振動響應，本章將建立有效的頻域分析法對此進行分析。

對式(1)兩邊進行傅里葉變換可得橋梁豎向位移的第j階模態響應分量

Qj(ω)=Hj(ω)Fj(ω)

(3)

于是，移動荷載引起的橋梁振動位移響應譜Y(ω)為

式中：φj(x)為橋梁的第j階振型函數；Hj(ω)為傳遞函數

(5)

Fj(ω)為第j階振型移動荷載譜，可由式(2)進行傅里葉變換得到

當振型為奇數時，即j=1,3,5,…，第j階振型移動荷載譜為

(7)

當振型為偶數時，即j=2,4,6,…，第j階振型移動荷載譜為

(8)

考慮橋梁的第一階振型，并忽略橋梁結構阻尼的影響，根據式(4)可得移動荷載激勵的橋梁振動位移響應譜為

Y1(ω)=H1(ω)·F1(ω)·φ1(x)=

(9)

對其取模，即橋梁位移響應幅值譜|Y1(ω)|

(10)

由式(10)中振型函數sin(πx/L)的表達式可知，當x=0.5L時，即在橋梁的跨中位置會產生最大值；而根據傳遞函數|H1(ω)|可知，當移動荷載激勵頻率等于橋梁自振頻率時即ω=ω1，傳遞函數達到最大值。此時，跨中橋梁位移響應幅值譜的最大值，僅與移動荷載幅值譜的最大值有關。其移動荷載幅值譜大小為

(11)

令κ=v/ω1L為移動荷載無量綱速度，γ=d/L為移動荷載軸距與橋梁跨度的比值，簡稱軸跨比。因此，式(11)可寫為

(12)

根據式(12)可知，當ω=ω1時，移動荷載幅值譜僅含有兩個未知變量κ,γ。實際中軸跨比γ通常小于2，因此本章考慮γ在0～2內。

圖3 不同軸跨比對應的移動荷載幅值譜最大值

圖4 移動荷載幅值譜最大值時的曲線

圖5 移動荷載幅值譜最大值時的擬合曲線

(13)

(14)

移動荷載作用在橋梁結構上存在自由振動與受迫振動兩部分的響應，如不考慮阻尼的影響，受迫振動的時間要遠小于自由振動的時間。而頻域分析是對運動方程在整個時域內進行積分，因此對于傅里葉變換得到的移動荷載譜、橋梁位移響應譜，能夠有效地反映橋梁結構的自由振動。因此，基于頻域分析法得到的式(14)移動荷載速度，將會使得橋梁自由振動產生最大位移響應，該速度僅與橋梁自振頻率、跨徑，移動荷載軸距有關。下面將采用數值算例，對上述結果進行驗證。

3 數值驗證分析

首先根據表1中的橋梁與荷載參數，得到不同移動荷載速度下對應的橋梁自由振動幅值與移動荷載幅值譜|F1(ω1)|如圖6、圖7所示。圖6是基于時域方法得到的不同速度下移動荷載引起的橋梁自由振動幅值，該方法需要對運動方程進行反復求解；圖7是基于頻域分析法得到的不同速度下移動荷載幅值譜|F1(ω1)|。

圖6 不同時速下橋梁自由振動位移響應幅值

圖7 不同時速下移動荷載幅值譜

根據圖6可知，移動荷載分別從低速到高速勻速通過橋梁，對于不同的移動荷載速度，橋梁自由振動幅值出現了一系列極值點，其中極大值與極小值交替出現，圖7的不同速度下移動荷載幅值譜|F1(ω1)|也具有類似的規律。對比圖6、圖7可以觀察出，橋梁自由振動幅值與移動荷載幅值譜|F1|中各個極值點，所對應的荷載移動速度是相互吻合的，說明了文中頻域推導的移動荷載幅值譜|F1(ω1)|能夠有效反映出各移動荷載速度下橋梁自由振動位移響應幅值的大小關系。

根據圖6、圖7可知，對于橋梁自由振動幅值與移動荷載幅值譜|F1(ω1)|各個極值點，其所對應的荷載移動速度是相互吻合的，這說明式(14)用于確定某移動荷載速度下，橋梁自由振動發生最大位移響可行的。為了進一步表明該速度公式的廣泛適用性和有效性，下面將采用文獻[17]中的另一橋梁及荷載數據(見表2)，并考慮不同的移動荷載軸距d，即不同的軸跨比γ，進行分析驗證。

表2 另一組橋梁及荷載參數

根據式(14)可知，移動荷載速度公式在γ為0.72處進行了分段。因此，為了驗證整個移動荷載速度公式的有效性，對γ分別在0～0.72與0.72～2.00內取值進行分析驗證，其取值為0.4,0.72和1.5，即移動荷載軸距分別為8 m，14.4 m和30 m。根據表2的橋梁與荷載參數，不同移動荷載速度下對應的移動荷載幅值譜|F1(ω1)|與橋梁自由振動位移響應幅值如圖8、圖9所示。

圖8 不同軸跨比γ的移動荷載幅值譜

圖9 不同軸跨比γ的橋梁自由振動位移響應幅值

對比圖8(a)～圖8(c)可以發現，對于不同的軸跨比γ，對應的移動荷載幅值譜最大值的大小為max{|F1(ω1)|}γ=0.72

為了進一步驗證頻域分析的移動荷載速度與時域計算結果相互吻合，分別在圖8和圖9中任意取極值點對應的移動荷載速度見表3所示。表中V1,V3,V4,V5,V6,V7為時域內橋梁自由振動幅值中極大值對應的移動荷載速度，與之相應的頻域內移動荷載幅值譜極大值對應的移動荷載速度分別為V1-1,V3-1,V4-1,V5-1,V6-1,V7-1；而對于時域內橋梁自由振動幅值中極小值對應的移動荷載速度為V2,V8，與之相應的頻域內移動荷載幅值譜極小值對應的移動荷載速度分別為V2-1,V8-1。如表3所示，頻域內的8個極值點對應的移動荷載速度，與時域內相應極值點對應的速度對比，誤差非常小，說明了頻域分析移動荷載速度的有效性。

表3 各個極值點對應的移動荷載速度

當移動荷載分別以時域內8個極值點對應的速度移動，橋梁跨中位移時程曲線如圖10所示。根據圖10(a)可知，移動荷載以速度V1,V2,V3通過橋梁，引起橋梁自由振動幅值的大小關系為：max{|y1|max}V2

圖10 考慮不同軸跨比γ的跨中豎向位移時程曲線

如圖10所示，當移動荷載以V2,V8速度行駛出橋后，橋梁自由振動，幾乎處于靜止狀態，但當移動荷載以V1,V4,V5,V6速度行駛時，橋梁自由振動將發生最大振幅的位移響應。因此，為了避免橋梁自由振動發生最大振幅的位移響應，快速有效確定相應移動荷載速度非常有必要。

4 結 論

對于傅里葉變換得到的移動荷載譜、橋梁位移響應譜，能夠有效反映移動荷載作用下橋梁自由振動響應，其中移動荷載幅值譜與時域角度得到的橋梁自由振動響應幅值規律一致。

當軸跨比γ為0,0.72,1.47時，移動荷載幅值譜最大值曲線存在極值；其中在軸跨比γ為0.72時，對應的移動荷載幅值譜最大值最??；而在軸跨比γ為0與1.47時，對應的移動荷載幅值譜最大值相同，均為最大。

兩軸集中力移動荷載以文中速度式(14)得到的速度通過橋梁后，會引起橋梁自由振動產生最大位移響應，該速度不僅與橋梁自振頻率有關，還與軸跨比γ有關。

移動荷載以共振速度Vres=(ω1d)/(2π)勻速通過梁橋后，引起橋梁的受迫與自由振動響應均不是最大響應，甚至不是極值響應，僅當軸跨比γ在1.5左右時，共振速度Vres才能使得橋梁自由振動位移響應近似達到最大值。這是因為對于其他軸跨比γ，共振速度作用在橋梁上的有限時間內，未能激勵起橋梁最大響應。