考慮含石量和坡度不同組分下顆粒流沖擊剛性結構的力學模型研究

成 浩， 韓培鋒, 2， 蘇有文

(1. 西南科技大學 土木工程與建筑學院，四川 綿陽 621010； 2. 水利部山洪地質災害防治工程技術研究中心，武漢 430010)

土石混合體(soil-rock mixture)是第四紀以來形成的，由一定工程尺度、強度較高的塊石、細粒土體及孔隙構成的極端不均勻松散巖土介質系統；是一種介于均質土體和破碎巖體之間的復雜混合地質材料，在人類工程活動、地震和降雨等作用下，極易誘發滑坡或崩塌災害[1-3]。據國家統計局最新統計[4]，2005年—2017年間全國共發生地質災害297 412起，其中滑坡和崩塌占比較高，而該類災害物源體的內在因素(含石量)和外在條件(山體坡度)不同，則會造成不同程度的損失。圖1(a)為2009-07-25T16：10國道213線汶川段徹底關大橋因山體滑坡，橋上7輛汽車連同橋面一起墜下河岸，導致都汶高速公路中斷，造成6人遇難和12人受傷；此次災害物源體的含石量及其所處的位置坡度均較大。圖1(b)為2013-07-08T10:30都江堰市三溪村因山體滑坡，導致都汶高速公路中斷，造成45人遇難和116人失蹤；此次災害物源體的含石量較小，但所處的位置坡度較大。

圖1 山體滑坡后的現場照片

目前國內外學者對干顆粒介質沖擊運動和沖擊力學的研究主要集中在：①按沖擊材料有滾石沖擊力學模型和碎屑流(顆粒流)沖擊力學模型。黃潤秋等[5-6]研究認為影響落石運動特征最主要的因素是坡面形態和坡度，并對樹木攔擋落石運動的能量消耗進行了探討。何思明[7]在以典型滾石防護結構為原型的基礎上研究了墊層材料的沖擊特性，并推導了滾石沖擊壓力計算公式，為滾石防護結構設計提供了理論參考。Wang等[8]在對比分析多種形式的擋板及其擋流能力和擋流效果的基礎上，提出了一種更加有效的新型弧形擋板陣列，從而為山區巖崩障板設計提供了實際的參考依據。Jiang等[9-10]通過實驗研究了顆粒性質對沖擊力的影響，揭示了碎屑流沖擊剛性擋墻的物理機制，在定量分析了各個分力在總沖擊力中的分布比例后，最后提出了碎屑流沖擊力學模型。Adel等[11]通過數值模擬推導并驗證了顆粒流對擋墻施加的平均沖擊力學模型。②按被沖擊對象有擋墻、棚洞等。Albaba等[12]利用數值模擬研究分析了碎屑流沖擊擋墻過程中的微觀力學機制。王東坡等[13]采用數值壓痕試驗，研究了棚洞頂板在滾石沖擊下的動力響應，并提出了新型EPS墊層緩沖材料。

綜上，學者們大多關注與坡面垂直的剛性結構沖擊運動及其力學模型，而關于干顆粒流沖擊與坡面非垂直剛性結構的力學模型研究較少。此外，在現場和文獻調研中發現，在滑坡堆積體量級一致的情況下，含石量和坡度不同組分下對被沖擊對象破壞影響有所差異。因此，在此研究背景基礎上，采用離散元素法(discrete element method，DEM)構建三維DEM模型，研究含石量和坡度不同組分條件下的顆粒流對與坡面非垂直剛性結構的沖擊力差異和沖擊力學模型。

1 沖擊剛性結構的DEM模型

1.1 Hertz-Mindlin無滑動接觸模型

Hertz-Mindlin (no slip)接觸模型是Cundall教授在學者Mindlin的基礎上首次提出，目前廣泛應用于解決準靜力或動力條件下巖石力學運動問題，其計算性能準確、高效[14-16],如圖2所示。圖中:R1,R2分別為兩顆粒的接觸半徑；P為接觸圓半徑；δ為接觸變形量。

圖2 理想狀態的Hertz-Mindlin接觸模型示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

Ft=-Stδt

(5)

(6)

(7)

1.2 DEM模型建立

該模型主要由滑槽、料箱、剛性結構組成。其中：料箱和剛性結構沿滑槽中軸線設置，滑槽和剛性結構為全約束，保持靜止狀態；在整個顆粒流沖擊過程中，忽略滑槽和剛性結構的彈性變形，只考慮顆粒與滑槽和剛性結構間的摩擦和碰撞作用。此外，顆粒流為固相，其整個運動過程都是在重力作用下進行，忽略外界阻力(如風力等)的影響。假定數值模型的幾何尺寸為滑槽：長1 800 mm，寬350 mm，高300 mm；料箱：長400 mm，寬350 mm，高200 mm；剛性結構：長3 000 mm，寬2 000 mm，厚10 mm。顆粒密度2 100 kg/m3，滑體體積0. 028 m3，滑體總質量30 kg。

本文模擬試驗的主要目的是針對干顆粒流沖擊與坡面非垂直剛性結構這類災害的動力學機制研究，同時考慮到顆粒單元在相互作用過程中的顆粒形狀、時間步長等屬性對模擬結果影響較大，故做如下假設：

(1)假定顆粒為有棱角形狀的剛性顆粒，且顆粒的相互作用不會改變其幾何形狀，土顆粒的長寬高分別為7. 002 7 mm，5. 997 39 mm，4. 000 54 mm，單個塊石顆粒如圖3所示。

圖3 模擬材料單個塊石顆粒大樣圖(mm)

(2)有研究表明，時間步長設定在Rayleigh時間步長的5%～40%可以確保仿真過程的穩定[17]；這里假定時間步長為6. 2661 6×10-5s。

綜上，建立顆粒流沖擊剛性結構的數值試驗模型示意圖，如圖4所示。

圖4 沖擊模型示意圖(mm)

1.3 DEM模型計算參數標定

本文數值模擬材料參數是通過野外典型災害點采集土石樣品，開展了多組室內土工試驗，對多組材料試驗結果取平均值，并參考巖土材料等相關規范，最后獲取了模擬材料的基本參數，如表1所示。數值模擬的接觸參數則參照了前人的對于標定該參數的物理模型試驗方法[18-22]，通過對野外采集的土石樣品，進行靜摩擦因數與滾動摩擦因數的相關試驗和數值模擬計算，并將結果進行對比，最后獲得了顆粒接觸的模擬參數，如表2所示。

表1 材料屬性

表2 接觸屬性

1.4 DEM模型試驗設計

為探究顆粒流在含石量和坡度變化下沖擊與坡面非垂直剛性結構的沖擊動力學行為及沖擊力力學模型。在進行數值模擬試驗設計時，除了依據已有的野外調研資料外，對于坡度的選取還參照了樊曉一[23]對西南地區滑坡坡度分布特征的研究結論，對于含石量的選取則參照了舒志樂等[24]對土石混合體分形特性與含石量關系的研究結論，具體試驗組分設計如表3所示。

表3 沖擊剛性結構試驗組分設計

整個沖擊過程的數值模擬分為三步:①設置參數和導入模型，生成初始堆積體；②打開料箱前緣擋板，堆積體在重力作用下對剛性結構施加沖擊力的過程；③對模擬結果數據在線分析、導出數據計算分析及三維可視化整個沖擊運動過程。

2 數值模擬結果與分析

2.1 顆粒流沖擊過程分析

在數值模擬中發現，試驗號12(坡度65°，70%含石量)組合下的顆粒流在沖擊剛性結構時，沖擊形式較為復雜，且速度變化較大，如圖5所示。

圖5 顆粒流沖擊剛性結構過程

當t=0.86 s時，前緣顆粒以撞擊形式沖擊剛性結構，由于沖擊較集中，可視為一個脈沖沖擊；顆粒流以速度區分，前緣最大速度為5.11 m/s，中部次之，后緣較小，平均速度為3.74 m/s。其原因主要有：①前緣顆粒受約束較小，有很好的臨空性和運動性；②后面顆粒在前面顆粒的阻擋下將一部分能量向前傳遞，從而持續性沖擊。與垂直式剛性結構不同，在第一次沖擊后，顆粒流不是爬升或回彈，而是彈跳后繼續向前方運動。當t=1 s時，坡腳處底層顆粒速度急劇減小，這是由于底板阻礙形成的死區；后緣顆粒流在經過死區表層后沖擊剛性結構，其作用面較大，可視為整體性沖擊。當t=1.24 s時，只有部分顆粒對剛性結構翻滾撞擊，速度由前緣向后緣遞減。當t=2 s時，顆粒流的平均速度小于0.01 m/s，基本處于準靜態堆積狀態。

2.2 顆粒流沖擊能量分析

沖擊過程中能量的耗散反映了沖擊力的內在變化。這里定義：動能耗散率Wk為t時刻顆粒流的總動能Kt與開始沖擊時的總動能Ktol之比,可以寫為

(8)

圖6表明，隨時間的推移，動能變化率曲線為先增長達到峰值后下降，直至動能耗完。在1.98 s,1.06 s,0.89 s后，含石量越大的動能變化率下降速度越快；可見含石量越大的顆粒流在沖擊剛性結構時動能損失值越多。從曲線時程來看，坡度30°最大(0.35～2.69 s)、45°次之(0.35～1.73 s)、65°最小(0.35～1.5 s)。這就說明顆粒流隨坡度的增大，就越早接觸剛性結構，由于速度較快，則單位時間內的接觸越頻繁，能量消耗和動能損失值較大，對其沖擊效果就越好。

圖6 顆粒流沖擊剛性結構動能變化率時程

2.3 顆粒流沖擊力時程與峰值分析

2.3.1 含石量對法向力時程與切向力時程的影響

圖7和圖8表明，隨時間的推移，細顆粒土和土石耦合(指的是同一材料不同粒徑代表土和石，在運動中的相互碰撞和能量傳遞效應，而非土石本構模型中的耦合)下的法向力時程與切向力時程走勢均是先增長達到峰值，而后下降趨于準靜態波動，最后形成殘余力。法向力是顆粒流沖擊剛性結構時豎直向上的力，法向力與切向力受剛性結構摩阻力的影響較大，當摩阻力大于其沖擊力時，顆粒就會靜止堆積；這就說明顆粒流沖擊剛性結構是在某一時間段的連續性沖擊。這里定義：沖擊力時效是以最早出現沖擊力的時刻為初始時間至最早出現穩定殘余力的時刻為結束時間的時間段。由表4分析可知，基本上含石量較大的顆粒流沖擊時效較短，單位時間內對剛性結構的法向力與切向力增大，其沖擊破壞力有所增強。

表4 法向力時效

由圖7(j)～圖7(l)、圖8(j)～圖8(l)可以觀察到，土石耦合曲線出現了兩次沖擊力峰值；統計結果見表5。由于法向力與切向力的各自峰值差異相似，所以這里主要分析法向力。含石量對兩次法向力峰值和峰值出現的時間均產生不同程度的影響，且兩次峰值都隨含石量的增大逐漸增大，第一次峰值較第二次峰值偏大約40%。

表5 坡度65°法向力峰值時刻及峰值

隨著含石量增大，各沖擊力程曲線波動越大；其中圖7(l)土石耦合曲線逐漸波動到細顆粒土曲線的上方。這是因為含石量增大，顆粒間的空隙變大，促使顆粒間的碰撞次數增多，能量傳遞變得更加頻繁。

。

2.3.2 坡度對法向力時程與切向力時程的影響

圖7和圖8表明，各沖擊力時程走勢均為先增長達到峰值，而后下降趨于穩定。隨著坡度的增大，顆粒流沖擊剛性結構的時間和峰值時間越早，法向力與切向力在下降階段越顯著且下降值增大；這就反映了坡度越大的顆粒流在沖擊過程中，有效沖擊較集中，其損失值就越多；坡度65°顆粒流的沖擊力時程變化最強烈。坡度影響沖擊力的原因主要是：①在坡面長度相同時，坡度越小的初始堆積體坡高也就越小，這就導致其重力勢能和動能加速度隨之減小，而在坡面運動過程中的摩擦耗能基本一致；②坡度越小時，顆粒的速度減小，其能量傳遞較弱，后緣顆粒在前緣顆粒的阻擋下還未沖擊剛性結構就已靜止堆積在坡面。

圖7 不同組分條件下的法向力時程

圖8 不同組分條件下的切向力時程

2.3.3 含石量對沖擊力峰值的影響

在沖擊力時程分析中發現，土石耦合作用下的顆粒流比細顆粒土或塊石顆粒單獨作用對法向力峰值影響要大，其峰值范圍依次是76.68～660.41 N/m，76.67～625.50 N/m，0～39.83 N/m。這是因為單獨的細顆粒粒徑較小，整體滑動性較好，以滑動沖擊為主。單獨的塊石粒徑較大，接觸面積較小，以翻滾撞擊為主。土石耦合作用下，細顆粒在塊石位置不斷更替產生足夠的間隙下滲到顆粒流底部，形成一個較好的滑動帶，包裹并攜帶塊石運動；塊石在運動中把自身一部分動能傳遞給周圍的細顆粒，從而產生耦合效應持續性沖擊剛性結構。所以后文重點討論土石耦合作用下的顆粒流沖擊。結合圖9和表6分析可知，法向力與切向力峰值均隨含石量的增大而增大，相應的峰值增幅越大；換句話說，含石量變化越大對沖擊力峰值的影響程度越大。法向力遠大于切向力，最大法向力為660.41 N/m，最大切向力為237.20 N/m。

表6 含石量對沖擊力峰值增幅的影響

圖9 峰值時刻的沖擊力隨含石量變化

2.3.4 坡度對沖擊力峰值的影響

結合圖10和表7分析可知，隨著坡度的增大，顆粒流沖擊力峰值曲線呈近似線性上升趨勢，相應的沖擊力峰值增幅越大。另外，對比表6和表7可知，含石量變化對沖擊力峰值的影響程度遠遠小于坡度對峰值的影響程度。

表7 坡度對沖擊力峰值增幅的影響

圖10 峰值時刻的沖擊力隨坡度變化

2.3.5 峰值時刻的平均速度分布

圖11表明，峰值時刻顆粒流的平均速度在0.18～2.24 m/s內變化，隨著平均速度的增大，法向力與切向力均有不同程度的增大?？梢杂^察到，峰值時刻的平均速度與法向力和切向力基本上沿坡度維度分布，當坡度達到最大時，平均速度、法向力和切向力離散最大。

圖11 峰值時刻的平均速度分布

2.3.6 峰值時刻的應力與壓力分布

圖12為峰值時刻剛性結構的應力與壓力分布。分析可知，峰值時刻的應力與壓力基本沿坡度維度分布，且隨坡度的增大而增大，坡度對應力與壓力的影響要大于含石量。隨著法向力的增大，應力與壓力都有不同程度的增大，當法向力最大時，應力與壓力達到最大，分別為110.07 Pa，1 157.10 Pa。應力和壓力與法向力的相關性系數R2分別為1和0. 977 61，這就反映了其相關性很好，換句話說，剛性結構的應力與壓力主要取決于法向沖擊力的大小。

圖12 峰值時刻的應力與壓力分布

3 沖擊力學模型建立與分析

在對顆粒流沖擊剛性結構的沖擊過程、沖擊能量、沖擊力時程與峰值分析的基礎上，進一步研究其沖擊力學模型。在沖擊力學模型建立與分析時，參照了Jiang等和Adel等的沖擊模型。

Jiang等通過實驗對干顆粒流沖擊擋墻所產生的法向沖擊力Fn進行力組分解

Fn=Fg+Fp+Fd

(9)

式中：Fg為死區重力和摩擦力共同作用的土壓力；Fp為死區上流動層的靜土壓力；Fd為死區上流動層的沖擊土壓力。

其中，Fg是顆粒流在死區處形成的堆積體對擋墻產生的一個法向力，表達式為

(10)

式中：δ1為顆粒與滑槽基底的摩擦角；δ2為顆粒與擋墻的摩擦角；G為擋墻前堆積區顆粒流的重力。

Fp的表達式為

Fp=0.5kρgh2cosαw

(11)

(12)

式中：ρ為顆粒流密度，kg/m3；h為流動層厚度；α為坡度，(°)；w為擋墻寬度m；k為被動土壓力系數，Kwan等[25]建議直接取1；φ為顆粒流的內摩擦角。

根據Kwan等對死區流動層沖擊土壓力的推導Fd可以表示為

Fd=0.5ρv2CDAcosθ

(13)

式中：v為顆粒流流速，m/s；A為沖擊受力面積，m2；CD為動土壓力系數；θ為坡度，(°)。

CD可以表示為

CD=aFr-n

(14)

(15)

式中：Fr為弗勞德數；a和n為修正系數，當0.8

在另一個模型中，Adel等通過數值模擬計算驗證了顆粒流對剛性擋墻造成的的平均沖擊力，該模型總的法向力包含了死區的重力、滑槽基底的摩擦力和后續顆粒流對死區的沖擊力Fs，其法向沖擊力Fn表達式為

Fn=Fs+Gcosα(tanα-u)

(16)

(17)

(18)

式中：φ2，φ1分別為峰值時刻顆粒流的體積分數，取0.6，0.4；u為庫侖摩擦因數；h1，h2分別為顆粒流的平均流動厚度和表層稀釋顆粒流的跳躍高度；v為顆粒流的速度。

3.1 峰值時刻沖擊力公式推導與分析

3.1.1 峰值時刻沖擊力公式推導

初始堆積體在重力作用下沿滑槽向下運動，在沖擊剛性結構的過程中，達到最大沖擊力的時刻稱為峰值時刻。根據峰值時刻堆積體重心的位置坐標和幾何形態，再運用靜力平衡力學理論對剛性結構進行受力分析，進而建立沖擊力學模型,如圖13所示。圖13中:P點為重心位置;Px,Py分別為P點的橫縱坐標;G為重力；la1為沖擊作用最大長度；F1,F2分別為剛性結構的反作用力和滑槽基底的反作用力;δ1,δ2分別為它們的摩擦角；F3,F4分別為顆粒流的沖擊土壓力和被動土壓力；ha為峰值時刻堆積體的最大高度；α為山體坡度；Δh為初始堆積體的坡高。

圖13 峰值時刻剛性結構的沖擊受力模型

基于《理論力學》[27]靜力平衡方程理論，根據力系平衡的充要條件，建立直角坐標系可得

∑Fx=0

(19)

∑Fy=0

(20)

∑Mo=0

(21)

將圖13中的沖擊受力模型參數代入式(19)～(21)，可得

F2sin(α-δ2)-F1sinδ1+F3cosα+F4cosα=0

(22)

-G-F4sinα-F3sinα+F1cosδ1+

F2cos(α-δ2)=0

(23)

-F1cosδ1la1+F2cos(α-δ2)la2+GPx-

F2sin(α-δ2)ha1+0.5(F3+F4)la=0

(24)

通過計算可得到滑槽基底的反作用力F1；剛性結構的反作用力F2、最大法向力Fn、最大切向力Ft和最大作用距離la1的表達式為

(25)

(26)

Fn=F1cosδ1=

(27)

Ft=F1sinδ1=

(28)

(29)

3.1.2 峰值時刻沖擊法向力與切向力分析

圖14為數值模擬與理論計算中峰值時刻總的法向力、總的切向力結果比較。表8為總的法向力與切向力相關性檢驗計算結果。分析可知，法向力、切向力的相關性系數R2分別為0.953 0,0.936 9，可見二者的相關性R2越接近1，就代表其擬合越好。從趨勢線斜率來看，法向力斜率較切向力斜率偏小，但二者斜率都無限接近平衡線；這就說明本文所提模型的法向力、切向力理論計算結果與數值模擬的結果基本相符。

圖14 理論計算的沖擊力結果與數值模擬結果比較

表8 法向力、切向力的相關性檢驗

圖15為本文模型與Jiang等模型和Adel等模型在峰值時刻總的法向力計算結果比較。表9為多模型法向力相關性檢驗計算結果。分析可知，三者法向力的相關性系數R2趨于1，其擬合越好。從趨勢線斜率來看，本文模型與Jiang等模型的法向力計算結果差異較小，而Adel等模型計算結果則較數值模擬結果明顯偏小。這是因為在Adel等模型中，計算式(式(17))后續顆粒流對死區沖擊所產生的力(Fs)偏小，最后導致計算式(式(16))總的法向力(Fn)偏小。此外，坡度變化對模型計算結果的影響不可忽視，本文模型和Adel等模型的計算結果與坡度基本呈線性正相關；而Jiang等模型則與坡度呈非線性關系，且隨著坡度的增大，法向力增大的趨勢變緩。

圖15 多模型的法向力比較

表9 多模型的法向力相關性檢驗

3.2 沖擊力學模型參數分析

考慮到滑槽基底摩擦角δ2對最大法向力與最大切向力的影響，δ2分別取15°，20°，24°，30°，35°；剛性結構摩擦角δ1取24°，計算結果如圖16(a)、圖16(b)所示。δ2,δ1變化對法向力與切向力的相關性檢驗見表10和表11。分析可知，隨著δ2的增大，法向力與切向力逐漸減小，趨勢線斜率逐漸減小，相關性系數R2擬合很好；從趨勢線相較于平衡線的離散性來看，隨著δ2的增大，當δ2<24°時，趨勢線逐漸靠近平衡線；當δ2>24°時，趨勢線逐漸偏離平衡線。

在滑槽基底摩擦角δ2取24°的基礎上分析剛性結構摩擦角δ1對最大法向力與最大切向力的影響，δ1分別取10°，15°，20°，24°，30°的計算結果如圖16(c)、圖16(d)所示。結合圖表分析可知，隨著δ1的增大，法向力與切向力逐漸增大，相關性系數R2呈逐漸減小的趨勢。從趨勢線相較于平衡線的離散性來看，隨著δ1的增大，當δ1<24°時，趨勢線逐漸靠近平衡線，當δ1>24°時，趨勢線逐漸偏離平衡線?？梢杂^察到，法向力趨勢線基本分布在平衡線附近，而切向力趨勢線基本分布在平衡線下方；這就說明剛性結構摩擦角δ1對法向力的影響較小，而對切向力的影響則較大。這是因為在法向力的計算式(見式(26))和切向力的計算式(見式(27))中，當δ2取24°時，隨著δ1的增大，cosδ1較大并隨之減小，而sinδ1較小并隨之增大，cos(δ1+α-δ2)勢必減小。

圖16 δ2，δ1變化對法向力與切向力的影響

進一步對比分析滑槽基底摩擦角δ2和剛性結構摩擦角δ1對最大法向力與最大切向力的波動范圍及影響程度，分別取15°，20°，24°，30°，見表10和表11。數值模擬的法向力與切向力范圍分別為76.68～660.41 N/m，27.18～237.20 N/m。分析可知，δ2和δ1無論誰單獨增大，其理論計算的法向力波動范圍相較于數值模擬范圍均呈現出先減小再增大；而切向力波動范圍相較于數值模擬范圍則有所差異，分別表現為逐漸減小和先減小再增大。當δ1和δ2取值小于24°時，δ2的法向力和切向力波動范圍大于δ1，說明δ2較δ1對法向力和切向力的影響顯著；當δ1和δ2取值大于24°時，δ1的法向力和切向力波動范圍大于δ2，說明δ1較δ2對法向力和切向力的影響顯著。

表10 δ2,δ1變化對最大法向力的影響

表11 δ2,δ1變化對最大切向力的影響

綜上所述，本文所提模型選取的滑槽基底摩擦角δ2為24°和剛性結構摩擦角δ1為24°的法向力與切向力計算結果與數值計算的結果基本吻合，同時與Jiang等模型和Adel等模型的沖擊量級較為一致，說明顆粒流沖擊非垂直剛性結構的模擬結果是有效可行的。

4 結 論

本文考慮含石量和坡度不同組分下開展顆粒流沖擊與坡面非垂直剛性結構的數值模擬試驗，在對沖擊過程、沖擊能量、沖擊力時程與峰值、應力與壓力分析的基礎上，建立了峰值時刻沖擊力力學模型，推導并驗證了峰值時刻沖擊力公式。得出以下主要結論：

含石量越大、坡度越大的顆粒流在沖擊剛性結構時，動能變化率耗時越短，單位時間內動能損失值越多，法向力與切向力曲線波動越大。土石耦合作用下的顆粒流比細顆粒土或塊石顆粒單獨作用對法向力峰值影響要大。含石量對最大法向力與最大切向力的影響程度較坡度小。峰值時刻的平均速度、應力與壓力大致沿坡度維度分布，剛性結構的應力與壓力主要取決于法向沖擊力的大小。所以，在野外監測滑坡或崩塌堆積體時，應該重點關注該類含石量較大、坡度較大的土石混合體斜坡。

本文所提模型選取的滑槽基底摩擦角δ2為24°和剛性結構摩擦角δ1為24°計算的法向力和切向力與數值模擬結果基本相符。在理論計算中，剛性結構的摩擦角δ1對切向力的影響較大，應當予以重視。當δ2和δ1取值在15°～30°內，取值小于24°時，δ2較δ1對法向力和切向力的影響顯著；相反大于24°時，δ1較δ2對法向力和切向力的影響顯著。