謝娟娟， 李 晉， 田 震， 甄龍信， 谷 雨， 勞曉東， 張成光

(1. 周口師范學(xué)院 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，河南 周口 466000; 2.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院，河北 秦皇島 066000)

隨著城市的發(fā)展以及人們對(duì)出行效率的追求，各大城市早已開始規(guī)劃起高架橋交通路線，不僅能提高利用空間，還能夠?qū)崿F(xiàn)市內(nèi)快速交通，提高城市效率。由于公路路面施工、損壞及溫度變形等原因，會(huì)對(duì)路面平順性造成不同程度的影響，因此需要對(duì)路面的平順性進(jìn)行分級(jí)。在城市快速公路上，由于車速較快，對(duì)路面的平順性要求較高，當(dāng)車輛通過橋梁時(shí)，會(huì)對(duì)橋梁產(chǎn)生沖擊荷載[1]，橋梁的動(dòng)力響應(yīng)與路面的平順性會(huì)影響車輛的運(yùn)行舒適性[2-3]，此時(shí)路面的不平順相當(dāng)于1個(gè)外部激勵(lì)施加于車輛與橋梁系統(tǒng)上，而路面不平順是1個(gè)隨機(jī)過程，因此整個(gè)車輛-橋梁系統(tǒng)是1個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)，需要建立隨機(jī)車橋耦合數(shù)學(xué)模型從概率的角度對(duì)車輛的響應(yīng)進(jìn)行分析。

車橋耦合振動(dòng)研究已經(jīng)開展了數(shù)十年，F(xiàn)ryba等[4]、Yang等[5]、雷曉燕等[6-7]以及夏禾等[8]從移動(dòng)荷載解析解到車橋耦合數(shù)值解均作了詳細(xì)的研究，取得了大量研究成果，在這些研究中，主要針對(duì)列車軌道橋梁系統(tǒng)。王貴春等[9]通過ANSYS有限元軟件建立了車橋耦合振動(dòng)模型，并基于福建長門大橋進(jìn)行了不同車速及載質(zhì)量的行車舒適性分析。韓萬水等[10]將風(fēng)、汽車、橋梁三者作為1個(gè)相互作用的系統(tǒng)，提出1個(gè)的風(fēng)-汽車-橋梁系統(tǒng)空間耦合振動(dòng)分析模型。胡昌斌等[11]路面板固化翹曲對(duì)車輛行駛舒適性的影響。

以上研究中，針對(duì)的是確定性車橋模型，為探討車輛、結(jié)構(gòu)參數(shù)及路面不平順隨機(jī)下的車橋系統(tǒng)振動(dòng)，桂水榮等[12]將車輛簡(jiǎn)化為兩自由度系統(tǒng)，并基于虛擬激勵(lì)法分析了隨機(jī)車橋振動(dòng)，討論了不同車速下隨機(jī)響應(yīng)的變化情況。Wu等[13-14]通過混沌多項(xiàng)式及KL展開法將橋梁處理為隨機(jī)有限元，并將路面不平順通過KL展開形式表達(dá)，進(jìn)行了包括車輛荷載識(shí)別、路面不平順程度對(duì)隨機(jī)車橋系統(tǒng)的影響，橋梁變異性的影響等較為系統(tǒng)的研究。余志武等[15-16]采用概率密度演化方法對(duì)隨機(jī)列車-橋梁系統(tǒng)進(jìn)行了研究。概率密度演化方法最早由李杰等[17]提出，該方法是1個(gè)高效、精確的隨機(jī)系統(tǒng)、可靠度分析方法，目前該方法已廣泛應(yīng)用于考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)或車輛參數(shù)隨機(jī)的隨機(jī)振動(dòng)分析以及考慮地震激勵(lì)、軌道不平順激勵(lì)等隨機(jī)振動(dòng)中。本文將基于概率密度演化方法，探討其在考慮道路不平順隨機(jī)性的汽車-橋梁耦合振動(dòng)分析中的可行性，并從概率的角度分析路(橋)面不平順性對(duì)車輛動(dòng)力響應(yīng)的影響，從而為汽車過橋時(shí)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)、平穩(wěn)性分析或橋梁隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力、疲勞響應(yīng)分析提供理論依據(jù)。

1 汽車-橋梁耦合振動(dòng)模型

1.1 車輛運(yùn)動(dòng)方程

一輛汽車以勻速運(yùn)動(dòng)在1個(gè)簡(jiǎn)支梁上行駛，如圖1所示，其中車輛模型為1個(gè)質(zhì)量-彈簧-阻尼體系，包含1個(gè)車體、2個(gè)輪軸和2個(gè)輪對(duì)，車體包含垂向位移和點(diǎn)頭2個(gè)自由度，每個(gè)輪軸各有1個(gè)自由度，假設(shè)輪對(duì)與橋面密貼，因此，輪對(duì)無獨(dú)立自由度，則整個(gè)車輛體系共有4個(gè)自由度。根據(jù)拉格朗日方程可以得到車輛的動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 汽車-橋梁模型

(1)

Mv為車輛的質(zhì)量矩陣，可以表示為

Mv=diag[mv,Iv,mt1,mt2]

(2)

式中：mv和Iv分別為車體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mt1和mt2分別為前、后輪軸的質(zhì)量。

Kv為車輛剛度矩陣，可以表示為

(3)

式中:ks1和ks2分別為車體與前、后輪軸懸掛彈簧的剛度；L1和L2分別為車體重心到前、后輪軸的距離。

Cv為車輛阻尼矩陣，可以表示為

(4)

式中，cs1和cs2分別為車體與前、后輪軸懸掛彈簧的阻尼系數(shù)。

Fv為車輛荷載列陣，主要由車輛自身的重力以及輪軸與車輪間的懸掛彈簧力組成，可以表示為

(5)

(6)

(7)

Δi=zti-zbi-zrou,i

(8)

式中：zti為第i個(gè)輪軸的垂向位移；zbi和zrou,i分別第i個(gè)輪軸位置處的橋梁垂向位移和路面不平順。

1.2 橋梁運(yùn)動(dòng)方程

橋梁采用單跨簡(jiǎn)支歐拉-伯努利梁進(jìn)行模擬。采用有限元方法建立橋梁模型，其中，每個(gè)結(jié)點(diǎn)包含垂向位移和轉(zhuǎn)角2個(gè)自由度，將梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠冗M(jìn)行組裝得到總體剛度矩陣，隨后可以得到橋梁的運(yùn)動(dòng)方程

(9)

(10)

式中，Nb1和Nb2分別為前、后輪軸架構(gòu)彈簧在橋梁上對(duì)應(yīng)的插值形函數(shù)。

1.3 車橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程

將式(1)與式(9)聯(lián)立，得到車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

在得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程后，可以采用時(shí)程逐步積分法進(jìn)行求解，由式(8)可知，式(11)中的荷載列陣為隱式函數(shù)，無法直接采用隱式積分進(jìn)行求解，因此需要進(jìn)行迭代求解。采用Newmark-β積分對(duì)式(11)進(jìn)行迭代求解，迭代的收斂條件采用文獻(xiàn)[19]中介紹的交叉迭代算法。

2 概率密度演化的隨機(jī)振動(dòng)理論

2.1 路面不平度模擬

路面不平順是1個(gè)隨機(jī)過程，根據(jù)Wu等的研究，路面不平順是1個(gè)零均值的高斯隨機(jī)過程，其中路面不平度功率譜可以表示為

Gq(n)=Gq(n0)(n/n0)-w

(12)

式中：Gq(n0)為道路不平度系數(shù)，根據(jù)道路不平度等級(jí)進(jìn)行確定;n0=0.1 m-1，w為頻率指數(shù)，一般取值為2;n為空間頻率。

可以通過快速傅里葉變換將路面譜進(jìn)行模擬，如式(13)所示

式中：Lc為路面不平順長度，在本文中取3倍的橋上跨(進(jìn)橋前，橋上，出橋后各1倍橋跨長度)；θk為一組獨(dú)立的服從[0, 2π]的均勻分布隨機(jī)變量。

2.2 概率密度演化方法

概率密度演化最早由李杰等提出，在余志武等研究中首次將該方法運(yùn)用于考慮軌道不平度的列車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)。在本文中，僅考慮路面不平順隨機(jī)。將式(11)寫成一般動(dòng)力學(xué)方程形式有

(14)

式中，Θ為基本隨機(jī)變量參數(shù)。

則式(14)得到的解是存在、唯一且連續(xù)地依賴于隨機(jī)參數(shù)Θ，為方便描述，將式(14)得到的解寫成以下形式

X=H(Θ,t)

(15)

在X中包含多個(gè)響應(yīng)量，如橋梁的位移、加速度以及車輛的位移、加速度等。將所需要分析的m個(gè)響應(yīng)量記為Z=(Z1,Z2,…，Zm)T，將其表示為基本隨機(jī)變量的函數(shù)有

(16)

式中，hz(Θ,t)=?Hz(Θ,t)/?t。

由于沒有其他隨機(jī)源，且已有的隨機(jī)因素未消失，則車橋耦合系統(tǒng)能夠滿足概率守恒條件，根據(jù)李杰等的研究有

(17)

式中，pzΘ(z,θ,t)為聯(lián)合概率密度函數(shù)。

由Reynold轉(zhuǎn)換定理，結(jié)合式(16)和式(17)經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)變換即可得到廣義概率密度演化方程

(18)

在實(shí)際計(jì)算中，可以依次計(jì)算單個(gè)需要的物理量從而簡(jiǎn)化計(jì)算，則式(18)退化為以下一維方程

(19)

式(19)的初始條件為

pzΘ(z,θ,t0)=δ(z-z0)Pq

(20)

式中：z0為確定性初始值; δ為狄克拉函數(shù);Pq為附得概率。

概率密度函數(shù)隨時(shí)的演化為

(21)

式中，npt為計(jì)算樣本數(shù)量，在得到各個(gè)時(shí)間點(diǎn)響應(yīng)的概率密度函數(shù)后，即可方便得到對(duì)應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量。

考慮路面不平順隨機(jī)性的車輛-橋梁耦合振動(dòng)的概率密度演化計(jì)算流程，如圖2所示。

圖2 計(jì)算流程圖

3 方法驗(yàn)證

3.1 車橋系統(tǒng)驗(yàn)證

為驗(yàn)證車輛-橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)的可靠性，將計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典算例中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。在該算例中，有一輛兩懸架汽車以20 m/s的車速經(jīng)過一跨簡(jiǎn)支梁，橋梁的具體參數(shù)如表1所示，車輛的具體參數(shù)如表2所示。由于路面不平順具有隨機(jī)性，因此得到的響應(yīng)結(jié)果也具有隨機(jī)性，然而，由文獻(xiàn)[20]可以知道，路面不平順是1個(gè)零均值高斯隨機(jī)過程，因此耦合系統(tǒng)響應(yīng)的均值可以認(rèn)為是零路面不平順情況下得到的系統(tǒng)響應(yīng)，因此可以將Wu等研究中均值響應(yīng)結(jié)果與本文中不含路面不平度的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖3為本文計(jì)算得到的橋梁跨中位置豎向位移的時(shí)程曲線與經(jīng)典算例的對(duì)比結(jié)果，可以看到，本文計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)與經(jīng)典算例的結(jié)果基本一致，最大撓度值略大于經(jīng)典算例，但仍在可以接受范圍內(nèi)，因此可以認(rèn)為本文的車輛-橋梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)是可靠的。

表1 橋梁參數(shù)

表2 車輛參數(shù)

圖3 橋梁跨中撓度對(duì)比

3.2 精度及效率驗(yàn)證

為探討概率密度演化方法在車輛-橋梁隨機(jī)振動(dòng)中的適用性，將概率密度演化得到的車橋隨機(jī)響應(yīng)的結(jié)果與蒙特卡洛法(Monte Carlo simulation,MCS)進(jìn)行對(duì)比，蒙特卡洛法是一種簡(jiǎn)單通用的隨機(jī)分析方法，能夠得到較為精確的解，但由于該方法需要大量的樣本才能夠達(dá)到穩(wěn)定、準(zhǔn)確的解，耗費(fèi)過多時(shí)間，因此在工程分析中受到了一些限制。同樣采用3.1節(jié)中的車輛及橋梁計(jì)算參數(shù)。橋上道路不平度為B級(jí)[21]，取路面不平度系數(shù)為0.64 mm2/m。蒙特卡洛法計(jì)算采用5 000條路面不平度樣本，概率密度演化采用130條路面不平順樣本。圖4為概率密度演化方法與蒙特卡洛法得到的橋梁跨中位置豎向位移時(shí)程曲線的均值及標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)比，可以看出在車輛剛進(jìn)入橋梁時(shí)橋梁隨機(jī)響應(yīng)的變異性較小，隨著車輛向前行駛，其變異性逐漸增大。此外，在橋梁響應(yīng)均值方面，概率密度演化方法得到的結(jié)果幾乎與蒙特卡洛法得到的結(jié)果重合，對(duì)于響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，概率密度演化方法得到的結(jié)果與蒙特卡洛法得到的結(jié)果非常接近，因此可以認(rèn)為概率密度演化方法可以得到足夠高的精度；蒙特卡洛法所采用的樣本數(shù)量約為概率密度演化方法的38倍，概率密度演化方法的效率比蒙特卡洛法提高了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖4 隨機(jī)響應(yīng)對(duì)比

4 算例分析

由第3章中的內(nèi)容可知，概率密度演化方法能夠準(zhǔn)確地計(jì)算車輛-橋梁耦合隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)。為分析不同車速、不同道路不平度情況下的車輛隨機(jī)響應(yīng)，分別進(jìn)行車速為5 m/s，15 m/s，25 m/s，35 m/s四種情況下的車輛-橋梁隨機(jī)系統(tǒng)計(jì)算。兩軸汽車是目前最為常用的汽車，在韓萬水等、桂水榮等和Wu等的研究中均將該類型汽車作為研究對(duì)象進(jìn)行討論，因此本算例中車輛模型也選用兩軸汽車，車輛與橋梁均采用第3章中的算例參數(shù)。道路不平度，即為不平順的程度，根據(jù)GB/T 7031—2005《機(jī)械振動(dòng)道路路面譜測(cè)量數(shù)據(jù)報(bào)告》，不同道路等級(jí)的不平度系數(shù)按均值取值，具體見表3。

表3 不平度系數(shù)

4.1 橋梁響應(yīng)

圖5為不平度B級(jí)、不同車速情況下車輛經(jīng)過橋梁過程中橋梁跨中位移隨機(jī)響應(yīng)的時(shí)程曲線，其中橫坐標(biāo)為汽車前車輪駛過橋梁左邊端點(diǎn)的距離。由圖5(a)可以看出車速變化對(duì)橋梁均值響應(yīng)沒有明顯影響；由圖5(b)可以看出，車速在15 m/s和25 m/s情況下的橋梁響應(yīng)接近，總體上橋梁響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨車速增大而增大，且標(biāo)準(zhǔn)差的最大值出現(xiàn)的位置基本與均值最大值一致。高車速(35 m/s)工況下其橋梁響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差最大值較中速度(15 m/s)提高了68%。

圖5 橋梁響應(yīng)與車速關(guān)系

在概率分布中，均值加減三倍的標(biāo)準(zhǔn)差基本涵蓋了99.7%的概率值，為了分析不同道路不平度的路面不平順隨機(jī)激勵(lì)下橋梁動(dòng)力響應(yīng)的概率最大值，采用均值加、減三倍標(biāo)準(zhǔn)差得到的響應(yīng)最大值作為概率最大值。圖6為不同路面等級(jí)情況下，不同車速通過橋梁時(shí)的跨中豎向位移概率最大值，可以發(fā)現(xiàn)，在不同道路等級(jí)工況下，位移概率最大值總體上都隨車速增大而增大，在車速小于25 m/s時(shí)增長不明顯，在車速大于25 m/s后增漲的幅值較大。在不同速度工況下，位移概率最大值隨著道路不平度的加大而增大，道路等級(jí)為E即時(shí)，位移概率最大值相對(duì)于B級(jí)提高了216%～320%。

圖6 橋梁跨中豎向位移概率最大值

4.2 車輛響應(yīng)

圖7為不平度B級(jí)、不同車速情況下車輛經(jīng)過橋梁時(shí)的車體豎向位移響應(yīng)的均值，其中橫坐標(biāo)為汽車前車輪駛過橋梁左邊端點(diǎn)的距離。可以看出，汽車駛進(jìn)橋梁的過程中，其豎向位移趨勢(shì)為先增大后逐漸減小至零，其位移主要由橋梁的豎向變形引起。車輛的位移基本隨著車速的增大而增大。此外，在低速(5 m/s)時(shí)，車輛位移響應(yīng)震蕩較為明顯，在高速行駛(35 m/s)情況下，車體豎向位移響應(yīng)明顯增大，其最大值相較于其他車速增大了約24%。

圖7 車體豎向位移均值

圖8為不平度B級(jí)、不同車速情況下列車經(jīng)過橋梁時(shí)車體及懸架豎向位移的標(biāo)準(zhǔn)差最大值，可以看出車體位移的標(biāo)準(zhǔn)差基本隨車速增大而增大，而懸架響應(yīng)的最大值與車速?zèng)]有明顯關(guān)系，總體上看，懸架的豎向位移響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值與車體基本一致。

圖8 車體、懸架豎向位移響應(yīng)與車速關(guān)系

圖9為不平度B級(jí)、不同車速情況下車輛經(jīng)過橋梁時(shí)的車體豎向加速度均值時(shí)程響應(yīng)，可以看出，車體加速度均值以零為中心進(jìn)行震蕩，車速越大，其震旦幅值越大，在車速超過25 m/s后，震旦幅值隨車速增大明顯增長。在高速行駛(35 m/s)情況下，車體振幅較大，且振幅頻率減小。圖10為不平度B級(jí)、車體與懸架標(biāo)準(zhǔn)差最大值隨車速的變化情況，可以看出車體與懸架的標(biāo)準(zhǔn)差最大值均隨著車速增大而增大，且懸架的增幅較車體大得多。總體上看，懸架的加速度標(biāo)準(zhǔn)差大于車體豎向加速度標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)可以看出，車體豎向加速度均值響應(yīng)基本沿著零進(jìn)行小幅震蕩，而其標(biāo)準(zhǔn)差大于其均值，這主要是由于路面不平順為零均值隨機(jī)過程，其均值響應(yīng)接近無不平順激勵(lì)情況下的響應(yīng)，其均值響應(yīng)主要由橋面變形引起。懸架的豎向加速度響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差較車體大，在高車速(35 m/s)情況下，懸架的豎向加速度標(biāo)準(zhǔn)差為車體的3.7倍。

圖9 車體豎向加速度均值

圖10 車體、懸架豎向加速度標(biāo)準(zhǔn)差

圖11為不同道路等級(jí)工況下汽車以不同速度通過橋梁時(shí)的車體垂向加速度概率最大值，可以發(fā)現(xiàn)，除了道路等級(jí)D和E以外，其他不同道路等級(jí)情況下，隨著車速增大，汽車過橋的加速度基本上呈增大趨勢(shì)。車體加速度隨著道路等級(jí)變差而明顯增大。

圖11 車體垂向加速度概率最大值

5 結(jié) 論

通過引入概率密度演化方法建立了考慮橋面不平順隨機(jī)性的汽車-橋梁耦合振動(dòng)模型，對(duì)比驗(yàn)證了模型的適用及效率，并對(duì)不同車速情況下系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行了分析，得到主要結(jié)論如下：

(1)概率密度演化方法能夠適用于考慮路(橋)面不平順隨機(jī)的汽車-橋梁耦合振動(dòng)分析，與蒙特卡洛法的對(duì)比結(jié)果表明，在保證精度情況下，采用概率密度演化方法進(jìn)行計(jì)算的效果能夠提高1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。

(2)車速對(duì)橋梁響應(yīng)均值的影響不明顯，總體上，隨著車速增大，橋梁響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差增大，高車速(35 m/s)下橋梁響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差最大值較中速度(15 m/s)提高了68%。不同道路等級(jí)工況下，橋梁位移概率最大值總體上都隨車速增大而增大。在不同速度工況下，位移概率最大值隨著道路不平度程度的加大而增大。

(3)在25 m/s車速以下，車速變化對(duì)車體位移響應(yīng)均值影響較小，高速行駛(35 m/s)情況下，其位移響應(yīng)均值較大，最大值相較于其他車速增大了約24%。而車體豎向位移標(biāo)準(zhǔn)差基本與車速隨線性增大關(guān)系。車體豎向加速度響應(yīng)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差均基本隨車速線性增大。除了道路等級(jí)D和E以外，其他不同道路等級(jí)情況下，隨著車速增大，汽車過橋的加速度基本上呈增大趨勢(shì)。車體加速度隨著道路等級(jí)變差而明顯增大。

(4)懸架的豎向位移響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值與車體基本一致，而其豎向加速度響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差較車體大得多，在高車速(35 m/s)情況下，懸架的豎向加速度標(biāo)準(zhǔn)差為車體的3.7倍。