初中數(shù)學(xué)四邊形教學(xué)的解題策略分析

■福建省永春第五中學(xué) 姚瑞安

在初中幾何中，四邊形教學(xué)是非常基礎(chǔ)且關(guān)鍵的內(nèi)容，掌握好四邊形的解題技巧，能夠?yàn)楦唠A段的幾何學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候更加輕松。筆者將結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題，探究數(shù)學(xué)解題策略在四邊形教學(xué)中的應(yīng)用方法。

一、數(shù)形結(jié)合策略

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的一種解題策略，經(jīng)過小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了一些數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用技巧，但是沒有形成系統(tǒng)的理論概念。所謂數(shù)形結(jié)合，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面，圖形的具體、形象的優(yōu)勢(shì)集合精準(zhǔn)的數(shù)字，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，使問題更加簡(jiǎn)單明了。四邊形教學(xué)中，主要應(yīng)用到的是“以數(shù)助形”的策略，常用的方法有：第一，通過數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。第二，利用面積、距離和角度等幾何量來解決問題。

例如，在圖1中，梯形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，AB=2，BC=3，AD=4，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）設(shè)BP=x，四邊形PEFC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。

圖1

解題思路：因?yàn)辄c(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，所以四邊形PEFC沒有固定的形狀，面積也會(huì)隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，不能套用面積公式，所以要引導(dǎo)學(xué)生通過其他圖形的面積來計(jì)算，通過已知條件，可以求出梯形ABCD的面積，進(jìn)而利用梯形面積減去△DEF和梯形ABPE的面積就能得出四邊形PEFC的面積，其中梯形ABPE的面積是隨著P點(diǎn)而變化，所以看似復(fù)雜的幾何問題實(shí)際變成了代數(shù)問題，最后要根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特殊性——不與B、C重合，求出面積的取值范圍。從題干中可以發(fā)現(xiàn)，這道題蘊(yùn)藏明確的數(shù)形結(jié)合的思想，題目看似復(fù)雜，其實(shí)就是簡(jiǎn)單的面積計(jì)算問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，使學(xué)生之后面對(duì)類似的問題時(shí)，能夠快速厘清思路，提高解題效率。

二、分類討論策略

有些學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題往往只有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案，在解題時(shí)容易限制自己的思維，利用熟悉的方法去處理和分析問題，往往容易忽略很多關(guān)鍵因素，被一些表面現(xiàn)象所蒙蔽。其實(shí)，許多數(shù)學(xué)問題因?yàn)槎x、位置和范圍的限制，往往不能用統(tǒng)一的方法或標(biāo)準(zhǔn)來解答，而要分情況進(jìn)行討論。分類討論時(shí)，學(xué)生要具備更寬闊的知識(shí)視野，學(xué)會(huì)處理整體和局部、普遍和特殊的關(guān)系，根據(jù)題干中給出的信息進(jìn)行分類，全面而深入地思考數(shù)學(xué)問題。

例如：已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，畫出圖形并求四邊形的面積。

解題思路：根據(jù)已知條件，引導(dǎo)學(xué)生思考四邊形ABCD可能是什么圖形，題干并沒有指明四邊形ABCD的固定形狀，因此可以猜想四邊形ABCD可能是平行四邊形，也可能是梯形，所以需要分情況討論。第一，當(dāng)AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是一個(gè)平行四邊形，如圖2；第二，當(dāng)AD≠BC時(shí)，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，如圖3。兩種情況計(jì)算面積，都要充分應(yīng)用到勾股定理。在解題過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握平行四邊形、梯形等幾何圖形的定義，根據(jù)題干中給出的條件判斷圖形的具體形狀，學(xué)會(huì)分類分析數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在有限的條件下充分考慮各種可能，不遺漏任何條件。

圖2

圖3

三、問題轉(zhuǎn)化策略

轉(zhuǎn)化法也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的一種方法，可以把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成更直觀形象的問題。轉(zhuǎn)化方法也可以分為兩大類，代數(shù)中的轉(zhuǎn)化和幾何中的轉(zhuǎn)化，幾何中的轉(zhuǎn)化思想常用的有利用合同變換轉(zhuǎn)化、相似變換轉(zhuǎn)換、化歸方法轉(zhuǎn)換和形數(shù)間的轉(zhuǎn)換。幾何教學(xué)中，學(xué)生在處理不規(guī)則圖形時(shí)往往不知該從何下手，沒有固定的公式和規(guī)律可以幫助解答。因此，教師要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想去處理問題，并給學(xué)生布置相關(guān)的習(xí)題訓(xùn)練，讓他們學(xué)會(huì)把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單熟悉的問題，然后利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去尋找正確答案。通過長(zhǎng)期訓(xùn)練，能夠增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性，促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，厘清各種問題之間的邏輯關(guān)系。

例如，如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線相交于P點(diǎn)，求證：AB×AD∶CB×CD=AP∶PC。

解題思路：這道題單從四邊形角度分析很難得出解題思路，因此最好采用轉(zhuǎn)化的方法，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想在之前的學(xué)習(xí)中有沒有解答過類似的問題。比如說圓內(nèi)接三角形的問題，引導(dǎo)學(xué)生把不熟悉的題目轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的問題。從求證的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，等式兩邊的次方不同，很可能是等式的右邊約去了因式，但很難找出具體約去了哪個(gè)因式。對(duì)等式進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)AB×AD與CB×CD都是相鄰兩條邊的乘積，于是我們可以聯(lián)想到另外一個(gè)題目，如圖5，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，AD是△ABC中BC邊上的高，AE位△ABC外接圓的直徑，求證AB×AC=AD×AE。相對(duì)于圖4的題目來說，這一題是更容易證明的，只需要連接BE，證明△ABE≈△ADC即可，其實(shí)就是證明“三角形兩邊之積等于其外接圓直徑與第三邊上的高之積”。用這一題的結(jié)論再去證明圖4中的例題非常簡(jiǎn)便。可見，轉(zhuǎn)化思想能有效促進(jìn)知識(shí)遷移，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

圖4

圖5

四、結(jié)語

綜上所述，教師在課堂上要教給學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論和問題轉(zhuǎn)化等多種解題策略，并且讓學(xué)生加強(qiáng)有關(guān)的習(xí)題訓(xùn)練，進(jìn)一步鞏固知識(shí)，讓學(xué)生能夠在解決問題時(shí)熟練應(yīng)用這些解題技巧，開放思維，從不同角度分析問題，探究出更多的解題思路。