初中數(shù)學四邊形教學的解題策略分析

■福建省永春第五中學 姚瑞安

在初中幾何中，四邊形教學是非常基礎且關鍵的內(nèi)容，掌握好四邊形的解題技巧，能夠為更高階段的幾何學習奠定扎實的基礎，讓學生在學習立體幾何的時候更加輕松。筆者將結合具體的數(shù)學問題，探究數(shù)學解題策略在四邊形教學中的應用方法。

一、數(shù)形結合策略

數(shù)形結合是數(shù)學中常用的一種解題策略，經(jīng)過小學階段的數(shù)學學習，學生已經(jīng)掌握了一些數(shù)形結合的應用技巧，但是沒有形成系統(tǒng)的理論概念。所謂數(shù)形結合，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面，圖形的具體、形象的優(yōu)勢集合精準的數(shù)字，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，使問題更加簡單明了。四邊形教學中，主要應用到的是“以數(shù)助形”的策略，常用的方法有：第一，通過數(shù)軸、坐標系把幾何問題轉化為代數(shù)問題。第二，利用面積、距離和角度等幾何量來解決問題。

例如，在圖1中，梯形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，AB=2，BC=3，AD=4，E為AD的中點，F(xiàn)為CD的中點，P為BC上的動點（不與B、C重合）設BP=x，四邊形PEFC的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍。

圖1

解題思路：因為點P是動點，所以四邊形PEFC沒有固定的形狀，面積也會隨著P點的運動而變化，不能套用面積公式，所以要引導學生通過其他圖形的面積來計算，通過已知條件，可以求出梯形ABCD的面積，進而利用梯形面積減去△DEF和梯形ABPE的面積就能得出四邊形PEFC的面積，其中梯形ABPE的面積是隨著P點而變化，所以看似復雜的幾何問題實際變成了代數(shù)問題，最后要根據(jù)P點運動的特殊性——不與B、C重合，求出面積的取值范圍。從題干中可以發(fā)現(xiàn)，這道題蘊藏明確的數(shù)形結合的思想，題目看似復雜，其實就是簡單的面積計算問題。教師要引導學生進行歸納總結，使學生之后面對類似的問題時，能夠快速厘清思路，提高解題效率。

二、分類討論策略

有些學生認為，數(shù)學問題往往只有一個標準答案，在解題時容易限制自己的思維，利用熟悉的方法去處理和分析問題，往往容易忽略很多關鍵因素，被一些表面現(xiàn)象所蒙蔽。其實，許多數(shù)學問題因為定義、位置和范圍的限制，往往不能用統(tǒng)一的方法或標準來解答，而要分情況進行討論。分類討論時，學生要具備更寬闊的知識視野，學會處理整體和局部、普遍和特殊的關系，根據(jù)題干中給出的信息進行分類，全面而深入地思考數(shù)學問題。

例如：已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，畫出圖形并求四邊形的面積。

解題思路：根據(jù)已知條件，引導學生思考四邊形ABCD可能是什么圖形，題干并沒有指明四邊形ABCD的固定形狀，因此可以猜想四邊形ABCD可能是平行四邊形，也可能是梯形，所以需要分情況討論。第一，當AD=BC時，四邊形ABCD是一個平行四邊形，如圖2；第二，當AD≠BC時，四邊形ABCD是一個梯形，如圖3。兩種情況計算面積，都要充分應用到勾股定理。在解題過程中，教師要引導學生熟練掌握平行四邊形、梯形等幾何圖形的定義，根據(jù)題干中給出的條件判斷圖形的具體形狀，學會分類分析數(shù)學問題，讓學生在有限的條件下充分考慮各種可能，不遺漏任何條件。

圖2

圖3

三、問題轉化策略

轉化法也是解決數(shù)學問題時常用的一種方法，可以把抽象的數(shù)學問題轉化成更直觀形象的問題。轉化方法也可以分為兩大類，代數(shù)中的轉化和幾何中的轉化，幾何中的轉化思想常用的有利用合同變換轉化、相似變換轉換、化歸方法轉換和形數(shù)間的轉換。幾何教學中，學生在處理不規(guī)則圖形時往往不知該從何下手，沒有固定的公式和規(guī)律可以幫助解答。因此，教師要運用轉化思想去處理問題，并給學生布置相關的習題訓練，讓他們學會把復雜的問題轉化成簡單熟悉的問題，然后利用已有的知識經(jīng)驗去尋找正確答案。通過長期訓練，能夠增強學生思維的靈活性，促使學生掌握數(shù)學知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，厘清各種問題之間的邏輯關系。

例如，如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線相交于P點，求證：AB×AD∶CB×CD=AP∶PC。

解題思路：這道題單從四邊形角度分析很難得出解題思路，因此最好采用轉化的方法，引導學生聯(lián)想在之前的學習中有沒有解答過類似的問題。比如說圓內(nèi)接三角形的問題，引導學生把不熟悉的題目轉化成已知的、熟悉的問題。從求證的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，等式兩邊的次方不同，很可能是等式的右邊約去了因式，但很難找出具體約去了哪個因式。對等式進一步分析，發(fā)現(xiàn)AB×AD與CB×CD都是相鄰兩條邊的乘積，于是我們可以聯(lián)想到另外一個題目，如圖5，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，AD是△ABC中BC邊上的高，AE位△ABC外接圓的直徑，求證AB×AC=AD×AE。相對于圖4的題目來說，這一題是更容易證明的，只需要連接BE，證明△ABE≈△ADC即可，其實就是證明“三角形兩邊之積等于其外接圓直徑與第三邊上的高之積”。用這一題的結論再去證明圖4中的例題非常簡便。可見，轉化思想能有效促進知識遷移，把復雜的問題簡單化，提高學生的數(shù)學水平。

圖4

圖5

四、結語

綜上所述，教師在課堂上要教給學生數(shù)形結合、分類討論和問題轉化等多種解題策略，并且讓學生加強有關的習題訓練，進一步鞏固知識，讓學生能夠在解決問題時熟練應用這些解題技巧，開放思維，從不同角度分析問題，探究出更多的解題思路。