數形結合思想在小學高年級數學教學中的應用

樊蕊

【摘要】數形結合是抽象的數量關系和直觀圖形結構相結合，將數量和空間形式相互補充，可以用來解決小學高年級數學難題，同時豐富學生對數學知識的了解，發展其思維模式。文章探索了小學高年級數學教學中數形結合思想的運用，對小學高年級數學教學具有理論意義。

【關鍵詞】“數形結合”思想;小學高年級數學教學;應用

一、引言

學習數學的作用在于探索空間形式，了解數量之間的關系。而空間形式屬于形，數量關系屬于數，形屬于直觀表達，數屬于符號表達，兩者的優勢和特點各不相同。但數和形之間是有內在關聯的，充分利用兩者之間的內在關聯，以數研究形，以形表示數，從而形成了數形結合。

二、積極倡導以形助數，使抽象的概念和關系形象化

以形態的方式來幫助了解數量之間的關系。也就是說，對看起來屬于代數方面的問題，利用形態的方式將代數中具有數量關系的幾何特征描述出來，并經過處理后來實現關系、抽象概念與結構、直觀表象的轉化和聯系，以解決相應的數學問題。對以形助數的方法進行運用，可以讓抽象的數學概念變得直觀簡潔，而且可以引導學生從不同的角度來看待數學問題，進而形成不同的解題思路，不斷促進學生思維的發展。此外，在特殊的情況下，以形助數還可以啟發學生直接了解數學問題的核心與本質，形成整體性的綜合判斷能力，從而激發學生的直覺思維能力。

（一）引入圖形，全方位感受數的內涵

在數學知識中，不管是整數、分數還是小數，其中都蘊含著豐富的數學知識內涵，教學內容和教學方式也多種多樣。因此，數學教師應該依據不同的教學內容來采用合理的教學方式，讓學生可以從多樣化的教學方法中感受學習數學的樂趣。

比如小數教學遵循十進制的計數原則，將整數的書寫形式改變成十進制的分數形式。雖然小數也遵循十進制的計數原則，但對于表達的數量類型來說，整數只可以表達出離散的數量，而小數可以表達出連續的數量。教師可以利用圖形幫助學生了解小數的特點，引導學生進行比較、觀察。

（二）借助圖形，深層次理解計算方法

正確計算的前提是了解并探索計算方法，讓學生根據已學的知識與經驗，將數的運算含義、概念和計算步驟聯系在一起，不僅知道數學題是如何做的，而且知道為什么要這么做。同時，還可以發揮數學的多元化價值，讓學生了解到數學是嚴謹的，加深學生對數、運算的理解，進而形成良好的數學思維能力和豐富的學習經驗。在數形結合中，最為典型的是分數乘除法的計算方法。在分數相乘的計算過程中，應把分子相乘的積作為積的分子，分母相乘的分母作為積的分母。為了讓學生更好地理解這個說法，可以利用數形結合，將分數相乘的計算進行簡單化，且直觀生動。

（三）構造圖形，多角度探索解題思路

在小學數學教學中，最為常見的教學策略是把數學題目中的問題、已知條件和數之間的聯系用恰當的形態表示出來，然后對形進行直觀的分析、研究，從而產生解決問題的思路與方法。一般而言，利用數形結合思想來解釋數量關系更適合邏輯思維相對較弱的學生，用圖形的方式更能激發小學生對數學問題的探索欲，進而提升小學生的想象力和創意靈感。為了更好地幫助小學高年級學生利用圖形分析探索數學，數學教師應注重以下教學環節。

其一，一維圖形的運用到二維圖形的運用。小學生在低年級掌握了利用線段圖形來表示數量關系，進入小學高年級以后，應學會利用二維圖形來表示數量關系，以此提升分析能力與解答問題的能力。如在計算“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32”時，教師應先鼓勵學生根據學過的知識和經驗自主計算，可以提示學生按照順序依次進行計算或將分母統一換算成32進行計算，再引導學生通過圖形來進行分析，探索出新的計算方式。如圖1，從圖形中可以得出原題的五個分數的和等于1與1/32的差。由此，將一道較為復雜的數學題簡化為可以口算的減法數學題。

其二，靜態圖形到動態描述。動態描述指的是學生先根據對數量關系的理解畫出圖形，再根據題目中的關系和數量的變化進行修改調整，使圖形可以更清晰地表達題目中的數量關系，進而打開學生的解題思路。例如：“學校體育組原來的男生占全組的6/13，后來又招了6名男生進體育組，此時男生占全隊人數的8/15，問體育組原來的人數？”按照題目畫出圖2左半部分，會發現全隊人數發生改變，不能直接將題目中的兩個分數進行比較。那就換個角度，將全隊女生作為單位1，并畫出圖2右半部分，則會發現新增的6名男生就占女生的8/7-6/7，由此就可以先算出女生的人數，再算體育組原來的人數。

三、相機嘗試以數解形，使圖形的結構和特征數量化

從數形結合的內涵來說，它有兩個相反的方向轉化，一個是由數到形，在運用過程中，適當以數解形，不僅可以幫助學生更好地理解描述圖形的特征和相互之間的聯系，而且可以拓展學生的解題思路;另一個是由形到數，根據圖形之間的結構關系，找到合適的數學表達方式，讓其特征和結構數量化，進而使幾何問題變成算數問題。

（一）用數和算式表示圖形的結構關系和特征

如圖3所示，如果將邊長為1cm的等邊三角形的組成邊長為10cm的等邊三角形，需要多少個？

教師引導學生觀察圖中三角形的個數，先確定邊長為1cm的等邊三角形包括1×1個小三角形，邊長為2cm的等邊三角形包括2×2個小三角形，以此類推，等邊三角形的邊長為幾，它包含的小三角形的個數就是幾的平方。

（二）列方程表示圖形的結構關系和特征

如圖4所示，大長方形被兩條直線分成了4個小的長方形，其中3個小長方形的面積分別是20cm2、25cm2、30cm2，求陰影小長方形的面積。

在遇到此類問題時，許多學生會先用大長方形減去三個已知的小長方形面積，最后得出陰影部分的面積，但大長方形的面積是不知道的，所以需要換一種解題方式。這時，教師可以引導學生作出假設：假設兩個長方形的寬是相等的，那其面積比和邊長比之間是否有關聯？假設兩個長方形的長也相等呢？由此引導出：假設陰影小長方形面積為Xcm2，可以得出算式25∶X=20∶30，求得陰影部分的面積為X=37.5cm2。

四、初步了解坐標方法，為后續學習提供支持

數軸很好地體現了數形結合思想，將數軸上的點和實數相對應，點可以看作數，數也可以看作點。另外，從點與直線的位置關系來看，可以通過數的運算來解決幾何問題。將平面上的點和有序實數相對應，使點的平面曲線和數的二元方程式解集相對應，進而實現用幾何法研究代數，用代數法研究幾何圖形。用幾何法研究代數不僅將數形結合思想的應用變成具有可操作性的方法，而且將數學研究的對象從常量延伸至變量。

例如，利用坐標法要求學生在方格紙中將三角形標出來，根據物體參照點的距離和方向來確定位置，以此激發學生學習數學知識的興趣。

（1）用數對表示圖中三角形三個頂點A、B、C的位置。

（2）把三角形繞C點順時針每次旋轉 90°，一共旋轉3次，畫出旋轉后的圖形。

（3）用A1、A2、A3分別表示A點旋轉后的位置，并用數對表示。

（4）順次連接A、A1、A2、A3，看看得到的是什么圖形。

學生在解答上述問題時，不僅可以加深對數形結合思想的理解，而且能直觀地感受到有序數可以確定平面上點的位置的方法。

五、結語

綜上所述，數形結合將精確與生動、抽象與直觀充分結合在一起，是激發學生思維能力的基本方式，也是數學研究中將研究對象從常量延伸至變量的重要連接點。數形結合的滲透充分凸顯出數與形之間的本質關系，既要注重以形助數的關系和概念，也要注重以數解形的規律與特征，同時深入理解坐標法對小學高年級數學教學的重要價值和意義，提升小學數學教學質量。

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