落實“四個理解”，擺脫教學“偏”“急”“短”

江蘇省儀征市新集初級中學 (211403) 李愛民

一、問題提出

提高課堂教學質量和效益是老師們一直的追求，但在實際教學中，經常出現跑“偏”的現象——注重結果，忽視過程；只考慮做得到，不考慮想得到；將信息技術淪為播放器等.第二個表現是過分心“急”，急于講解，急于應用知識，急于告知學生答案等.殊不知，這樣跑偏和急功近利，只能收獲“短”期利益.因為一節課教師將教學重心放在“用”，短時間集中練習同一個結論，因為不受其它知識的干擾，無需經過大腦的檢索，看似會應用，實際上很大程度是機械模仿，加之沒有經歷知識形成的過程，不能做到真正理解，更不能感悟其中隱含的數學思想，時間一長，暫時提升的學業水平會迅速回落.

二、案例呈現

下面是筆者觀摩的一節“探索三角形相似的條件(1)”教研課的部分實錄，與各位同仁共同研討.

環節1：操作、計算、猜想

(1)如圖1，已知三條互相平行的直線l1、l2、l3，直線a、b分別與l1、l2、l3相交于點A、B、C和點D、E、F.測量圖中線段AB、BC、DE、EF的長度，并計算AB與BC的比值和DE與EF的比值，你有什么發現？

圖1

(2)平移直線l3，再測量AB、BC、DE、EF的長度，這些比值還相等嗎？

學生在導學案中測量4條線段的長度，并計算AB與BC的比值和DE與EF的比值，因為計算的比值接近，教師引導學生猜想線段AB、BC、DE、EF對應成比例.

環節2：證明

教師直接告知學生猜想是正確的，并給出如下證明.

圖2

教師提問：圖1中還有線段成比例嗎？

教師提問：還有嗎？

環節3：歸納、強化

基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

教師提問：這個“基本事實”中最重要的兩個字是什么？

學生齊答：對應.

教師講解：對，如果將上面的線段稱為“上”，下面的線段稱為“下”，最長的線段稱為“全”，“對應”就是“上”比“下”等于“上”比“下”，“上”比“全”等于“上”比“全”……

環節4：應用

教師出示6道題目，引導學生應用“基本事實”解決問題，并反復強調應用結論要注意“對應”，以及如何找對應線段.

環節5：例題

……

三、教師交流研討

觀摩課結束，組織了交流研討活動，主要研討本節課的教學設計，談一談觀課的感受和個人的想法.下面節選部分教師的發言.

教師1：本節課思路清晰，先通過操作得到猜想，再進行邏輯證明，證明方法非常巧妙，對優等生的培養有很大的好處.

教師2：以前這個部分的教材內容是“平行線等分線段定理”，現在的教材改成了“基本事實”，既然是“基本事實”，就是大家公認為正確的，無須證明，只要會用就行.

教師3：本節課的難點是成比例線段中對應線段的確定，教者通過改變平行線的位置，抓住“對應”二字，有利于學生正確應用結論.

教師4：面積法證明“平行線分線段成比例”，雖然巧妙，估計學生想不到，也只能告知學生.

四、幾點想法

本節課主要是探索基本事實：“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”和應用基本事實發現結論：“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”，為推證相似三角形的判定定理奠定基礎.教者引導學生經歷了“探索——猜想——證明”的活動過程，歸納出基本事實，接著是結論的應用，再到例題講解.整個教學流程科學合理，符合學生認知規律，能發展合情推理和演繹推理能力.

細品每個環節，還是落入了“偏”“急”“短”的陷阱.首先，操作探究不充分，教者在導學案中給了一個固定圖形，學生測量同一個圖形，不利于發現規律，猜想結論；改變直線l3位置，讓學生再測量，也只提問兩個學生，整個操作探究過程大概5分鐘，操作探究流于形式.其次，證明該“基本事實”采用直接告知，沒有任何問題鋪墊，這個環節是教者在教材基礎上的“拓展”，但教者沒有考慮“拓展”的目的和怎樣讓“拓展”發揮最大效益.第三，應用結論環節，教者設計了6道題目(囿于篇幅，沒有列出)，將大量時間花在如何應用結論，如何找平行線與被截線，如何找對應線段，可見教學重心在“用”而不在“探”.第四，例題教學慌慌張張.因為將過多的時間花在前面的6道題目上，所以例題教學時間不夠，最后只能拖堂，導致第二個結論探索也不充分.第五，過分依賴PPT，流水式的播放問題，不給學生足夠的時間來思考、討論，甚至連與學生共同消化應用知識的示范板書也被PPT代替了.

當然，落入“陷阱”的老師不是一個，從教師研討發言可見一斑，也有少部分老師表現出擔心.

五、落實“四個理解”，擺脫教學“偏”“急”“短”

為了促進數學教師的專業發展，章建躍博士提出“四個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學，理解技術.

1.什么是“四個理解”

理解數學即理解數學知識的意蘊，包括知識的價值、知識的精神、知識的情感等；理解學生即了解學生的認知基礎、認知規律、思維特征、最近發展區等；理解教學即了解教學特點，掌握教學的基本原則和教學方法等；理解技術即將信息技術與課程內容有機融合，促進數學知識的探索和發現等.其中，理解數學是“四個理解”的基礎.

2.落實“四個理解”是擺脫教學“偏”“急”“短”的必然要求

數學教學出現“偏”“急”“短”的原因有四方面：一是教學立意不高，只關注知識傳授，沒有挖掘知識蘊含的價值觀資源，理解數學不夠；二是不了解學生認知規律和思維特征，理解學生不夠；三是違背教學基本原則，缺乏教學方法，理解教學不夠；四是濫用信息技術，將信息技術淪為播放器，理解技術不夠.針對上述問題和原因，數學教學必須重視并落實“四個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學，理解技術.

3.落實“四個理解”的教學策略

(1)加強《課標》研讀，體會教材編寫意圖

《課標》是國家根據課程計劃以綱要的形式編定的有關學科的內容及其實施、評價的指導性文件.它是教材編寫、教學、評價和考試命題的依據，是國家管理和評價課程的基礎.對教師工作有直接的指導意義.教材是眾多教育專家依據《課標》，歷經反復打磨，精心推敲編寫而成，其中凝聚著教育智慧和心血.所以，設計教學內容之前一定要認真研讀，仔細體會，特別在“創造”時，必須要想清楚理由.本課例教者對教材做了“創造”，增加了“證明”環節，聽課的教師對此意見不一.我們不妨從《課標》和教材兩個角度來探尋.

《課標(2011年版)》列出9個基本事實，作為義務教育階段圖形性質證明的出發點.將這9個命題命名為“基本事實”，而不是“公理”，其主要原因是其中大多數是歐氏公理體系中的定理，另外它們也不具有公理體系的所應有的獨立性、相容性、完備性.[1]所以，該“基本事實”不是不能證明，而是要不要證明？

《課標(2011年版)》對該“基本事實”的要求是“掌握”，“掌握”是描述結果目標的行為動詞，意思是在理解的基礎上，把對象用于新的情境.這其中包括兩個要求，一是能描述對象的特征和由來，能闡述此對象與相關對象的區別和聯系；二是能應用.兩者都要兼顧，不能偏廢.教材處理方式是設計“嘗試和交流”活動，也就是課例中的環節1，目的是讓學生經歷多次測量、計算、探究、猜想，歸納概括出“基本事實”.利用練習本中的平行線探究，體現數學與生活有密切聯系，讓學生在生活中學會觀察、學會發現問題；測量是認識圖形的一種方式，對測量結果進行計算、估測，能培養學生的數感；由圖形到數量關系，能培養學生數形結合的思想.

綜合以上認識，筆者認為教材對該“基本事實”沒有證明，一方面源于對所有“基本事實”一以貫之的考慮，另一方面較難實現教學自然.教者對教材內容的“創新”是可以的，但“創新”之前首先要思考“創新”的目的是什么？如果僅僅是告訴學生該結論是正確的，那毫無價值；如果是借機讓學生經歷完整的推理過程(合情推理和演繹推理)，培養理性精神，積累科學探究的經驗，學會思考，那就是好的“創新”.

(2)加強“先行組織者”的使用，過程和結論并重

“重結果輕過程”是當前教學中經常出現的問題.忽視過程的結果，學生不能真正理解，不能與現有的知識構成聯系，導致知識零散，學生認知結構缺乏整體性.忽略過程的教學，表面上節約了時間，學生有大量的時間進行結論應用.實際上，當面對不同情境，因為學生對結果一知半解，往往不能透過現象看本質，應用性大打折扣.數學結論發現的過程，可以加強“先行組織者”的使用，挖掘其中蘊含的數學思想.因為思想是靈魂，是數學素養的源泉，有了數學思想方法的支撐，才能靈活應用數學知識解決問題.數學教學要成為提升數學素養的舞臺，成為培養理性思維的主陣地，必須要遵循過程和結論并重的原則.

本課例中教者對“基本事實”的證明真可謂是“空降”，筆者思考能不能基于學生已有的認知，設定一定的問題，讓面積法“證明”自然落地.

①我們學過哪些與平行線有關的概念、結論？(師生可以共同回憶，構建知識結構)(先行組織者)借助平行線間距離相等，可以構造面積相等的三角形(如圖3).

圖3

②如圖4，作直線BC、EF，使它們相交于點A，你還能找到哪些面積相等的三角形？

圖4

③通過三角形面積關系，你能發現線段AB、BC、AE、EF之間的關系嗎？

④如圖5，過點A作一條直線與直線BE平行，平移直線EF與所畫直線交于點D，線段AB、BC、DE、EF之間的關系還成立嗎？

圖5

⑤如圖5，你能用面積法直接證明線段AB、BC、DE、EF對應成比例嗎？

⑥圖5中，還有線段對應成比例嗎？

問題①回顧“平行線”相關知識，一方面，構建知識網絡，將新知納入知識體系，培養系統思維；另一方面，“平行線間距離相等”能構建面積相等的三角形，為證明該“基本事實”發揮“先行組織者”的作用.接著將圖形變換，目的是給學生證明“基本事實”搭建“腳手架”，培養學生幾何直觀和空間觀念，感悟特殊到一般、轉化的數學思想.最后再用面積法直接證明，強化面積法的通性，培養嚴密邏輯思維.

(3)加強習題選擇和編制

學習概念、定理、結論之后，一般要設計幾道習題，目的是使學生加深對新概念、新定理的理解，訓練、培養和發展學生的基本技能和能力，及時發現和彌補教學中的遺漏和不足，培養良好的學習習慣和品質[2].習題的選擇要遵循精準、典型、適度、適切等原則，還要按一定層次編排，由淺入深，循序漸進.好的習題具備一定邏輯性，蘊含數學思想，貫穿知識間的聯系，承上啟下.課本中的例題一般都是精選，習題編制，不妨從課本例題著眼，適當拓展延伸.本課例中，教者在歸納出“基本事實”之后，設計了6道問題，前3道題是由平行線找比例線段，后3道是求線段長，6道問題中涉及兩條平行線、三條平行線、平行四邊形、八字形，從整個習題選擇和編排來看，教者考慮了習題的多樣性、層次性，但缺乏整體性、典型性和適度性，另外，因為此處花費時間過多，導致例題教學匆忙，沒有能完整完成教學任務.

筆者思考本節課的習題能不能如此設計：

例1 如圖6，l1∥l2∥l3，直線a、b與直線l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F.設AB=3，BC=5，DE=4，求EF的長.

圖6

變式1若AB=3，BC=5，DF=4，求EF的長.

圖7

例2 如圖8，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC.試說明△ADE與△ABC相似.

圖8

思考題：在例2中，如果我們在△ABC外作一個三角形與△ADE全等，那么所作的三角形與△ABC有何關系？結合三角形全等的條件猜想三角形相似的條件，并嘗試證明.

例1原題是對“基本事實”的直接應用，變式1在原題基礎上融入了方程思想，前兩個問題是求截線上的線段長，變式2是求被截線上的線段長，需要構造平行線，體現轉化思想.例2是課本上的例題，主要是引導學生發現結論：“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”.如果直接講解，較為抽象，學生很難想到構造平行線，設計例1中的變式2，從求具體線段長入手，降低思維難度，同時讓學生感受特殊到一般的研究策略.例2還有一個作用是為推證相似三角形的判定定理奠定基礎，這一點被很多老師忽視，相似三角形判定定理的證明都是添加平行線，構造全等，將問題轉化成例2，所以設計思考題一方面讓學生感受知識之間的聯系，又為學生提供了自主學習的素材，讓學生學會思考、學會學習.

(4)加強信息技術與教學內容的有效融合

在國家中長期教育改革和發展規劃和發展規劃綱要(2010-2020年)中，對“教育信息化”已作了全面部署，要求以教育信息化促進教育內容、教學手段和方法的現代化.課標也明確提出了數學教學應用信息技術的要求.實際教學中，因為教師對信息技術的定位不準確，信息技術往往淪為加大教學容量，快速展現教學內容的工具.數學是抽象的，思維是復雜的，信息技術與教學內容整合，目的是呈現教學中難以呈現的教學內容，化抽象為直觀，引導學生探索發現結論.例如本課例讓學生通過測量、計算發現結論，為了讓學生有更深刻的認識，學生操作結束，教者可以用幾何畫板演示，不斷改變平行線的位置，利用計算工具，計算對應線段的比，觀察比值之間的關系，這樣更有利于發現規律，概括問題的本質.