小學數學教師提升數學史素養的意義與路徑

【摘? ?要】小學數學教師提升數學史素養是理解數學學科育人豐富內涵之本，也是提高課堂教學質量、發展學生數學素養的實踐能力之源。教師的數學史素養在知識、史觀、能力三個方面的內涵界定是教學實踐的指南與教學評價的依據。以“豎式乘法”教學為例，闡述在數學史料學習、數學史融入教學的實踐、數學史育人價值觀念的形成等方面提升教師數學史素養的具體實施路徑。為如何以數學史素養的提升作為教師專業發展的抓手提供參考與啟發。

【關鍵詞】數學史;數學史素養;育人價值;豎式乘法

近年來，HPM的理論與實踐探索在我國開創了繁榮發展的局面，這源于教育界對于數學學科教育的評價觀與育人觀念的更新與共識，認可數學史在數學學科育人方面發揮的重要且多維度的價值;在改觀數學課堂教學的同時，數學史對于教師數學素養的提升具有明顯的促進作用，成為教師專業發展穩定有向的路徑之一。教師數學史素養的提升逐漸進入教育者的研究視野以及一線教師或顯或隱的需求中。教學實踐中，教師需要的數學史“是什么，從哪里來，怎樣用”，已成為令人關注的“靈魂三問”。筆者以數學史視野下的“豎式乘法”教學為例，通過實踐來嘗試回答上述問題，為教師發展自身數學史素養提供啟發。

一、教師的數學史素養內涵

教師的數學史素養包含知識、史觀、能力三個方面，具體指：數學史知識的儲備與增長;辯證、聯系、發展的數學史觀;數學史的解讀、提煉能力;數學史料的運用、加工、評價能力。教師的數學史素養基本維度與內涵如表1所示。

以上從三個維度界定了教師的數學史素養的內涵，這是對教學實踐的指南與進行教學評價的依據。

二、提升教師數學史素養的實踐

教師數學史素養內涵對教師的數學史知識儲備與實踐提出要求，相應地，提升教師數學史素養的實踐路徑包含三個基本環節：數學史（擴展到科學史）的學習、數學史融入教學的實踐、數學史育人的價值思考與探索。學習實踐的高效方式是通過研修共同體[1]，在交流分享中互鑒互學互促。

（一）數學史料的選擇與解讀

以“豎式乘法”為例，來談談選擇什么樣的數學史，怎樣解讀。現今，“豎式乘法”采用筆算形式，用紙筆為工具、依據位值原則、數的組成與分解、運算規律和性質，通過阿拉伯數字和符號書寫進行演算[2]。教師在了解“豎式乘法”的歷史前，需要確定文獻的尋找范疇：五大文明古國（古巴比倫、埃及、希臘、中國、印度）與阿拉伯的數學經典著作（后面隨文介紹）中與主題相關的數學史與數學教學的研究文獻，從中考察乘法歷史、乘法筆算歷史、豎式乘法的發展。因為筆算與位值、數的組成分解、運算性質密切相關，所以我們需要關注的問題有：不同的文化中采用的數系系統是什么？依據各自的數系系統發展起來的乘法運算如何進行？采用什么工具、什么方式進行乘法運算？豎式乘法規則在目前各個國家是否統一？

對于古巴比倫、古埃及的乘法發展情況只能從數學通史類著作中尋找[3-5]，古埃及紙草書中記載了乘法的方法——倍乘法。兩個數相乘，先將其中較大的數加倍，然后根據較小數組合不同的倍數和，得到結果。比如[32×13=416]的計算過程如圖1所示。這種算法在幾千年筆算乘法的歷史中體現出旺盛生命力。但如果乘數很大時，分解乘數為倍數和的技巧就要高，且計算步驟煩瑣。

中國自漢代起已經熟練使用算籌計算，一直沿用至宋元時期算盤出現。在擺放算籌時有橫縱兩種形式，個位從縱式開始，隨位數增加縱橫交錯擺放，以區分數位。算籌乘法從高位算起，兩個乘數分別放在上位和下位，乘積放中位，0用空位表示。比如[32×13=416]的籌算過程如圖2所示。高位算起，遇有進位，增添算籌便捷。

印度的乘法是在一塊覆蓋沙子或面粉的板子或者小黑板上進行演算，被冠以不同名稱：格柵（gelosia）算法、格子乘法、四邊形乘法等。格柵算法究竟起源何時何地還未知，學者推測印度是可能的起源地，并傳到中國和阿拉伯。傳至中國時被稱為“鋪地錦”。兩個乘數分別置于格子上方和右側（也可以是上方和左側，但內部斜格方向與乘數書寫順序不同），各部分乘積各占一個方格單元，斜排的數字相加，結果從格子的底部和左側讀出。仍以[32×13=416]為例，格柵算法如圖3所示。

中世紀時期（529—1436）的數學出現交流傳播融合的局面，隨著中國 “絲綢之路”與中亞乃至歐洲的學者們進行了活躍的知識交流，中國古代輝煌的數學知識傳至印度獲得發展后，在中世紀傳至歐洲。在12世紀，最重要也最有原創性的歐洲數學家集中于意大利，意大利地區是通向歐洲的絲綢之路的終點，是東西文化的熔爐，代表人物是斐波那契（約1180—1250），他于1202年完成了一部數學史上的經典著作《算盤書》（Liber abaci，也稱《計算之書》《算經》），印度-阿拉伯數字在此書中被大力提倡。他的這部著作可以說是中國、印度、希臘、阿拉伯數學的合金[6]。緊隨中世紀之后的文藝復興初期，意大利的帕喬利（1445—1514）在1487年出版的《算術、幾何、比及比例概要》成為最有名的數學材料編撰著作，內容涉及算術、代數、歐氏幾何、復式簿記。這兩部經典著作中的乘法計算方法，都可以看到數學文化交流融合發展的痕跡。如果要了解初等數學在中世紀及文藝復興時期的發展情況，這兩部文獻是重要的學習資料。《計算之書》中的乘法計算既有紙筆算，也有手指算，同時有2～9的乘法表，仍以[32×13=416]為例，“對角線法”計算過程見圖4，進位用手指輔助記憶;同時，也有格柵算法（同圖3，此處略）;帕喬利的著作《算術、幾何、比及比例概要》中提出了八種筆算乘法的方法，其中六種方法沿襲發展了斐波那契的方法，另外兩種方法有了豎式形式，但是從乘數的高位算起，“分解乘數法”如圖5所示。

乘法結果的檢驗方法“棄九法”（也稱“舍九法”），在印度、意大利的著作中均有出現。

從歷史中看出不同文明中的乘法算法與算理的異同之處，以[32×13=416]為例說明其中的原理，如表2所示。

表2顯示，所有算法體現了兩個共同特點：第一，依據乘法分配律;第二，乘數的加法分解（除埃及的乘數按2倍分解為加數外，其余均依十進制分解）。從乘法計算的發展過程中可以看出，計算的困難在于隨著乘數位數增多，進位變多容易出錯，只有格柵算法保留了計算過程幫助檢驗步驟，但格子本身畫起來十分煩瑣，且每一個乘數均要分解，效率不高。在最大程度壓縮步驟和盡可能保留過程的需求中平衡，最終形成現代樣式的豎式乘法，即便是現代豎式也有細節上的差別。中國籌算改變乘數與積的位置，保留過程中隨乘隨減相消的數，籌算形式直接轉化為阿拉伯數字筆算形式，遇有進位可做標注等，這些變化經歷了漫長的時間，而這個過程是人類數學文化的共同創造、交流、借鑒與發展。即便是現代形式的豎式，計算中進位也是易錯之處，但斐波那契明確教導我們：“計算要用心用腦！”

歷史啟發我們，自古以來，計算就是一種人類的活動。中國的位值制的書寫方法是計算的基礎，再輔以印度-阿拉伯書寫數字系統更加方便計算并記錄結果。今天學校里學習用紙筆進行加減乘除計算，是人類計算發展到成熟階段的結果，學生可能出現的各種計算錯誤與數學每一步的發展是密切相關的，比如位值思想不清晰、十進制轉化不靈活、數的分解與組合策略不熟練等，可以說，這些錯誤根源是不同文明中數學弊端的體現，如果我們了解漫長曲折的計算發展歷史，對學生出現的“錯誤”不會過分苛責，輔以“用心用腦”的訓練提高計算力和理解力，以及對于書寫不規范的“錯誤”無錯可言，給予一定的時間經過自己的體會“慢慢”規范;另一方面，歷史上不同乘法計算能在各自民族中通用很久也有其適用的道理，表2呈現的不同算法，可以用作特殊乘法的巧算原理，比如“對角線法”用來解決[37×37]這類兩位乘數相同的乘法，比豎式乘法更為便捷，因此可以通過解讀并比較歷史算法的適用性來幫助學生理解傳統算法蘊含的智慧并啟發靈活應用。現今我們筆算的“豎式乘法”帶有中國古代數學算法程序化特點的傳承，計算工具、計算表、計算法則使得計算變得更加便利。當歸結為豎式計算時，最終運算歸為20以內加減法，所有乘法歸結為表內乘法，重要依據是乘法對加法的分配律——此為“豎式乘法”的數學之“源”;位值制為“豎式乘法”的數學之“本”;而將乘數分解為加數之和的策略多樣，若乘數特征突出，選擇數的分解策略（數的組成與分解）巧算速算，若乘數并不突出，乘數按位值分解（十進制數的構成方式），前者可以是歷史上曾經出現的多樣算法，后者是經過發展沉淀為現今豎式乘法的一般形式，更為通用，豎式的重要意義在于算法的程序化、機械化，數學始終在尋找解決問題的一般化、最優化——此為數學發展之“流”。

對教學的數學史進行解讀，既要從顯性的史料中尋找“人類曾經有什么樣的數學”，思考現在所學的數學何以成為這樣，又要挖掘不同文化中數學事件蘊含的隱性脈絡，思考“人類發展的數學本質是什么，數學演進的規律”，關注歷史中的“人”“事件”，遇到的障礙、做出的創新、對數學的情感及觀點等，納入育人的素材庫。

（二） 數學史融入課堂教學的實踐

課堂教學的設計扎根于對歷史的深入解讀，正如上文中梳理出豐富的歷史啟發，教師則需要根據歷史，結合數學學科邏輯序、學生認知序進行取舍[7]，精心設計來凸顯數學本質與人文性。通過關鍵性問題設計教學思路，增加數學閱讀與審辨性思維和人文情感發展。教學中以“豎式乘法的歷史之旅”開展教學，探究代表性文明中的乘法理解與算理探究，通過方法比較，根據筆算“盡可能保留步驟又達到最簡潔”原則來“創造”豎式形式。為將上文中獲得的育人啟發發揮于教學中，教師需要讓學生思考以下問題：

（1） 如何理解代表性的古代文明中乘法計算的算理？

（2） 乘法計算從古至今發展到現在豎式形式的過程中，需要哪些數學準備？現在使用豎式乘法是否還有可能再壓縮、簡練步驟？

（3）課中介紹的古代乘法計算方法現今是否完全棄之不用？除了課中介紹的方法，你還知道乘法計算的其他方法嗎？

（4）中國的籌算乘法與現代豎式乘法相比，有何不同與相同之處？算法有什么特點？

（5）五個文明古國出現數學著作的年代都發生了什么重要事件，對數學發展有何影響？有哪些代表性的數學人物？

當然，教師可根據對每一主題的歷史的深入解讀，設計更能激發學生興趣、強化拓展數學閱讀、問題解決能力及創新應用的問題。

（三）數學史育人的價值思考與探索

教育界學者與教育實踐者始終致力于對新時代背景下數學課程承載育人目標與內涵的探索，汪曉勤教授指出，數學史發揮的教育價值體現在知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效六個維度[8]。上文的歷史解讀可借鑒此六個維度歸類分析，發揮數學史的教育價值。誠然，這些價值并非在一節課中全面覆蓋，要根據教學目標進行合理取舍。此外，數學史發揮的育人價值在新時代“立德樹人”根本要求下，一線教師仍需在數學史的學習及融入教學的實踐中不斷體會、發掘數學史能夠發揮的育人價值維度與內涵。

三、提升教師數學史素養的意義

實踐后再重新審視教師提升數學史素養的意義，更加深刻地體會到數學史的學習與實踐，對于提升教師數學觀、教育觀及學生觀發揮重要的作用和意義。

首先，教師通過數學史學習，提高自身對數學的洞察力和對數學的了解，增長面向教學的數學知識。從數學之源中體會數學學科的特征：數學的抽象形式，追求高度精確可靠知識、對宇宙和人類社會探索中最大限度追求一般性模式或一般性算法的傾向以及數學在創造性活動中對美的追求。

其次，教師通過應用數學史，改善數學教學觀念與行為。從數學歷史發展的關鍵片段中了解數學方法之間的關聯與本質、數學與多學科的聯系，將學生帶到歷史經典事件中，通過自己的思考與實踐，建構數學意義，創生數學知識，實現學生的“再創造”。

再次，教師通過數學史的學習—實踐—反思，更新數學學科的育人觀。學生通過數學學科的學習究竟獲得什么？在邏輯思維和理性精神之外，還有對人類數學文化的包容理解與尊重以及對數學學科的人文情感等。

值得說明的是，一線小學數學教師常常更期待能有直接融入教學的史料，或有將史料融入教學的“屠龍之技”，但是，數學史融入課堂教學發揮育人價值，需要建立在教師自身對數學史知識有豐富的儲備與理解的基礎上。將學術形態的數學史轉變為教育形態的數學史，研究者始終在路上，只有進行時沒有終結時，對數學教育本質的理解將從數學發展的歷史中獲得啟迪。

參考文獻：

[1]岳增成，沈中宇，王鑫，等.影響小學數學教師HPM實踐的敘事研究[J].數學教育學報，2020，29（6）：74-79.

[2]蔡宏圣.數學史走進小學數學課堂：案例與剖析[M].北京：教育科學出版社，2016.

[3]李文林.數學史概論：第3版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] KATZ V J.數學史通論：第2版[M].李文林，鄒建成，胥鳴偉，等譯.北京：高等教育出版社，2004.

[5]博耶.數學史[M].秦傳安，譯.北京：中央編譯出版社，2012.

[6]斐波那契.計算之書[M].紀志剛，等譯.北京：科學出版社，2008.

[7]潘麗云.數學史視野下小學教師數學素養提升的實踐研究[J].課程·教材·教法，2020，40（6）：96-101.

[8]汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7/8）：77-83.

（北京教育學院初等教育學院? ?100120）