價值、內容、方法：讓數學史更好地走進小學數學課堂

蘇龍霞

【摘? ?要】數學史是人類發展的結晶，從“依據數學發生發展的過程學習數學”這一角度來講，它也是數學教學的指南。教師在教學時，應努力從價值取向、內容取向、方法取向上對數學史料進行辯證取舍，以實現真正意義上的深度學習，促進學生數學素養的提升。

【關鍵詞】數學史;價值取向;內容取向;方法取向

數學史可以看作是人類的一部奮斗史，是數學發展的結晶。正因為有前人不斷的探索與研究，才有如今簡約的數學概念、公式、定理。因此，從“依據數學發生發展的過程學習數學”的角度看，數學史也可以看作是數學教學的指南。將數學史融入小學數學教學，不僅能夠還原數學的發生發展歷程，還能還原數學背后的人文價值。“循本以治末，由近以及遠”，更好地定位價值，更好地選取素材，在教學中有機融入數學史，能幫助學生獲得更為豐厚的數學知識，實現真正意義上的深度學習，促使素養的提升。

一、價值取向：教與學的統一

（一）教師的教——觸及本質

每一個數學知識都是一部濃縮的歷史，教師了解數學史，能夠更好地了解知識點的由來，明了知識的本質，體會每一個發現所經歷的曲折歷程。熟悉數學史的教師在教學中不僅會關注到知識本身的邏輯，還能關注到數學歷史發展的邏輯;不僅能看到教材上所呈現的教學體系，還能透過教材看到歷史上的知識原型。比如數的產生，起源于計數把數數出來，發展于記數把數表示出來。最早的計數方式，無論是利用身體部位、自然物件，還是使用人工制品，其背后的原理就是“一一對應”。當各個文明的記數符號出現后，盡管還有一一對應的痕跡，但已開始實現從半抽象到抽象的過渡。當面對較大數量物品的計數問題時，人類又創造了各種進制，再在十進制的基礎上引入了數級。不過此時數的各種進制表示運用的是疊加法，直到十進位值制的出現，數的表示才趨于完善。由此可見，數基、十進制、數級、其他進制是認識自然數的核心內容，從一一對應走向抽象數碼、從抽象數碼走向十進位值制才能體現知識的本質。教師走進數學史，才有真正意義上的厚積，進而實現源源不斷的“薄發”，讓教學觸及知識的本質，走向更深處。

（二）學生的學——明確方向

歷史上，每一個數學知識的發生發展都經歷了較長的時間，是幾代數學家共同努力的結果，而數學家在知識的發生發展過程中遭遇到的困難往往就是學生數學學習的難點。因此，數學史為教學難點的突破提供了方向。例如在歷史上，認識平行有四個視角：一是直觀視角。比如歐幾里得在《幾何原本》中提出，平行直線是“在同一平面內的直線向兩個方向無限延伸，不論哪個方向都不相交”。二是方向視角。比如“在同一平面內，與同一條直線在同側成相同角度的兩條直線互相平行”。三是角度視角。借助同位角、內錯角、同旁內角等判定平行。四是距離視角。比如墨子的“平，同高也”。不同視角整體體現了從直觀幾何走向實驗幾何、從實驗幾何走向演繹幾何的發展過程。因此，在“平行”的教學中，教師可以采用對視錯覺圖形的判斷讓學生感受直觀定義的弊端;進而通過對學生所舉平行例子（長方形物體）的探究，引出距離的定義;再通過畫平行線的探究活動，引出角度的定義等方式[1]。可見，數學的發展不僅為學生提供了突破難點的方向，還為學生的探究提供了參照。

二、內容取向：教育與歷史的融合

（一）走進教材中的數學史

教材是學習的載體和支架，教材中編排的數學史料為教師將數學史融入教學提供了素材與參照。教材中運用數學史的方式有五種：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式，運用水平依次提高。前兩種方式，數學史獨立于教材正文內容以外，后三種方式則是將數學史融入教材正文[2]。

在小學數學教材中有數學史的顯性呈現，也有數學史的隱性滲透。如人教版教材中的“你知道嗎”“數學閱讀”以及一些例題與練習，就是顯性呈現，它們對應于數學史運用方式中的點綴式、附加式、復制式。而像北師大版教材從形的角度研究質數、合數，“如果給定的數只有一種長方形的表征，那這個數就是質數，否則就是合數”使用了古希臘素數定義和研究的方法，這是數學史的隱性滲透。這些滲透與數學史運用方式中的順應式、重構式相對應。類似的隱性滲透還有很多，如各個版本教材從部分與整體、測量、除法三個角度呈現分數，是隱性重構了分數發展的三個里程碑事件。教材是運用數學史最直接的參照，教師要走進教材中的數學史，了解每一處數學史運用的方式，特別是順應式、重構式運用數學史的隱性滲透。

（二）走進數學對象的發展脈絡

盡管各版本的小學數學教材都編入了數學史，但當運用數學史進行某些主題的教學嘗試時，教師仍舊感覺無從下手。其中一個主要原因是教師掌握的與主題相關的數學史料太少。顯然，僅僅了解教材中顯性呈現、隱性滲透的數學史是不夠的，要使學生的深度學習真實發生，還需要將設計的主題置于歷史的發展脈絡之中進行考察。比如將數學史融入角的認識的教學，可以將其置于角的發展脈絡之中，歷史上對角的認識有質（形狀與特征）、量（大小）、關系（兩邊）三個維度，從質的角度認識角，是角的認識的基礎，也是從關系的角度認識角的起點。這時，學生需要了解角“是由一個頂點和兩條直邊組成的”“從一個頂點出發的兩條射線”等概念。進而，當學生從質的角度對平角、周角等特殊角進行判斷時，會引發認知沖突，此時再從關系的角度引入角的定義，對角“是由一條射線繞頂點旋轉而成的圖形”的理解就變得自然而然。從量的角度認識角，一方面要引出角的分類，另一方面要回到度量的原點——單位1的確定來幫助學生理解。對數學對象發展脈絡的梳理是將數學史應用于教學的難點所在，這不僅需要教師廣泛閱讀數學史和HPM文獻，還需要教師進行數學對象發展脈絡的梳理以及數學史與教材內容、學生學習水平的勾連。唯有走進數學對象的發展脈絡之中，教師才能厚積薄發。

三、方法取向：發生與重構的交融

（一）多元融入，重構歷史

教學中數學史在哪里用、怎樣用，取決于教學的需要。一般來說，根據小學生認知特點和教材安排，重構式多用于數學概念的教學，復制式和順應式多用于運算、命題和問題解決的教學，而附加式則可用于任何一類主題的教學[3]。重構教學要遵循學生的認知特點，與知識發生發展規律相吻合。弗賴登塔爾在《數學教育的主要問題》的報告中指出：“數學史是一個圖式化不斷演進的系統化的學習過程，兒童無須重蹈人類的歷史，但他們也不可能從前人止步的地方開始。從某種意義上說，兒童應該重蹈歷史，盡管不是實際發生的歷史，而是倘若我們的祖先已經知道我們今天有幸知道的東西，將會發生的歷史。”[4]這就是說，數學教學不能為歷史而歷史，而需要找到數學對象發展歷程中最為關鍵和本質的步子，多元融合，引導學生進行再創造。如某教師在教學“位置的表示方法”時，重構了“位置的表示從一維射線到二維平面到三維空間”的發展過程，引導學生思考：當蒼蠅飛到屋頂天花板邊界時，其位置如何表示？——可以用已經學過的數線段的方式表示;當蒼蠅飛到天花板中間位置時，該如何表示？——這是本節課的教學重點，可以用數對表示位置，引導學生重蹈歷史，進行再創造;當蒼蠅飛到房內的其他位置時，該如何表示？——學生知道可以用三個數表示，這是以后要學習的內容，而數對和三個數可以表示空間物體的位置就成為學生再創造的起點。整個教學圍繞位置表示方法的發展歷史關鍵和本質的步子展開，重構了知識的發生發展過程。同時，教學圍繞發明坐標系的數學家笛卡爾的一天展開，附加式地介紹了笛卡爾發現數對的過程和歷史上數對的表示方式，重構式與附加式并重，顯性呈現和隱性融入相結合，動機引領、探究為重，引發了學生的深度學習。

（二）單元構建，突出主線

鐘啟泉教授認為，我們要理解主題設計、單元設計的價值和作用，它是撬動課堂轉型的一個支點。[5]以史為鑒，遵循歷史的發展，可以關聯歷史的發生探究過程，在知識的歷史脈絡中探究數學的前世今生，感悟古人的探究過程。而以單元作為數學史融入的基本單位有諸多益處，不僅有持續時間的保證，連續內容的供給，還有多元評價數據的呈現，這都將促使現時的學習與歷史脈絡相吻合，從深層次感受數學的意義與價值。基于數學史的單元構建，可以以教材中現有的單元為基本單位，比如教材中“圓”這一章，以“以直代曲”的轉化思想為主線，并從數學文化的角度對其進行考察，進而統攝“圓的認識、圓的周長、圓的面積”三部分，在“圓的認識”中，滲透圓與方的關聯，在“圓的周長”中，從實驗幾何走向論證幾何，在“圓的面積”中凸顯論證幾何，最終指向幾何直觀、邏輯推理等核心素養;也可以重組單元，比如將長度測量與因數和倍數或者比結合在一起，將具有深刻歷史根源的單位1作為主線統攝整合后的單元。在長度單位的學習中，學生需要理解單位1的可變性，它可以是我們常見的1厘米、1米、1分米，也可以是任意長度，它可以根據需要進行變動。當長度測量與因數和倍數進行統整時，可以有這樣的任務：（1）給定整數長度的線段，可以被哪些整數長度的線段（單位1）量盡，這一任務指向因數的學習。（2）它（單位1）可以量盡哪些長度的線段，這一任務指向倍數的學習。而當長度單位與比統整時，可以給定兩條線段，請學生思考可以用哪些長度的線段同時量盡這兩條線段，只要能量盡，給定兩條線段長度的比就等于這兩條線段被單位1度量的次數比。

每個數學知識背后都有故事，有軌跡，有文化。“數學史在課堂中扮演的是一名額外的學生。”為了更好地發揮數學史的這一角色，在教學時，教師需要從價值、內容、方法三個維度，進行綜合、深度的思考。唯有如此，才能更好地體現數學的本質，更好地發揮數學教學的育人功能，更好地促進教師的專業成長。

參考文獻：

[1]馬思聰.追溯歷史，重構教學路徑：數學史融入“平行”的教學[J].教學月刊·小學版（數學），2018（5）：20-23.

[2]蒲淑萍，汪曉勤.數學史怎樣融入數學教材：以中、法初中數學教材為例[J].課程·教材·教法，2012（8）：63-68.

[3]汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7/8）：77-83.

[4]FREUDENTHAL H. Major Problems of Mathematics Education[J].Educational Studies in Mathematics，1981，12（2）：133-150.

[5]鐘啟泉.單元設計：撬動課堂轉型的一個支點[J].教育發展研究，2015（24）：1-5.

（福建省廈門市寨上小學? ?361009）