于平凡處見(jiàn)功底
——統(tǒng)計(jì)案例求解策略

王思儉

新一輪高考數(shù)學(xué)命題改革已經(jīng)悄然實(shí)施，數(shù)學(xué)建模在高考試題中得以體現(xiàn)，概率統(tǒng)計(jì)已經(jīng)成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是不少同學(xué)失分重災(zāi)區(qū)．

你有遇到過(guò)嗎？

“相關(guān)系數(shù)的公式太繁瑣，我老是算錯(cuò)．”“統(tǒng)計(jì)案例的2×2 列聯(lián)表中數(shù)據(jù)經(jīng)常統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤，有時(shí)重復(fù)，有時(shí)遺漏，于是計(jì)算錯(cuò)誤．”“線性回歸方程常常求錯(cuò)，不知道什么原因．”“正態(tài)分布與概率的綜合問(wèn)題不會(huì)做．”

為什么中檔題屢屢失分？我們來(lái)給這道統(tǒng)計(jì)題做個(gè)“全盤(pán)掃描”吧．

考題掃描（2020·新高考山東卷19）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：μg/m3），得下表：

SO2?PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475][0,35] 32 18 4(35,75] 6 8 12(75,115] 3 7 10

（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表：

SO2 PM2.5 [0,150] (150,475][0,75](75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．（附表略）

“長(zhǎng)手哥”點(diǎn)評(píng)：統(tǒng)計(jì)案例中由于樣本總和一般是整十或整百等，所以我們看到教材中，所獲得的概率結(jié)果形式都是用小數(shù)表示(更具體直觀)，高考題的標(biāo)準(zhǔn)答案也是小數(shù)形式，因此，我們最好寫(xiě)成小數(shù)形式．

由表格可知，該市100 天中，空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150 的天數(shù)有32+6+18+8=64天，所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150 的概率為

敲黑板

首問(wèn)一般考簡(jiǎn)單概率，審題要迅速，計(jì)算不出錯(cuò)．

“長(zhǎng)手哥”點(diǎn)評(píng)：完全正確．考前內(nèi)心焦急的你，完全可以勻一點(diǎn)時(shí)間給教材，許多標(biāo)準(zhǔn)答案可是以教材為依據(jù)的!

SO2 PM2.5 [0,150] (150,475] 合計(jì)[0,75] 66 15 81(75,115] 8 11 19合計(jì) 74 26 100

然后計(jì)算χ2的值，得χ2=即χ2≈1.240，居然無(wú)法估算!

敲黑板

求解這類(lèi)問(wèn)題的步驟是：

第一步，根據(jù)題目中相關(guān)的數(shù)據(jù)列出2×2 列聯(lián)表；

第二步，將所列的2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入χ2公式，求出χ2的值；

第三步，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論，要嚴(yán)格按照教材要求格式規(guī)范答題．

（同學(xué)們你也來(lái)找找茬吧）

“長(zhǎng)手哥”點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題以代入計(jì)算為主，對(duì)數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力要求較高，推薦大家用心閱讀王老師新書(shū)《怎樣學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算》．

（1）若此次知識(shí)競(jìng)答得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)μ,σ分別從這200 名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整數(shù)），并計(jì)算P(37

（2）在（1）的條件下，為感謝大家積極參與這次活動(dòng)，對(duì)參與此次活動(dòng)競(jìng)答的幸運(yùn)者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分低于μ的獲得1 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于μ的獲得2 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．假定每次抽獎(jiǎng)中，抽到18 元紅包的概率為抽到36元紅包的概率為已知高三某同學(xué)是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者，記Y為該同學(xué)在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算舉辦此次活動(dòng)所需要抽獎(jiǎng)紅包的總金額．（參考數(shù)據(jù)略）

收納袋

一般情況下題目所給的數(shù)據(jù)不會(huì)是三個(gè)區(qū)間端點(diǎn)，都需要進(jìn)行重新組合，利用圖形的對(duì)稱性進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化歸為3σ區(qū)間求解．我們可以反過(guò)來(lái)推測(cè)：都有哪些重新組合的“花樣”呢？

“長(zhǎng)手哥”提醒：請(qǐng)你再讀題，再一次理解“得分低于μ的獲得1 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于μ的獲得2 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)”的含義，從中能否找到有用的信息？

所以Y的分布列為：

Y 18 36 54 72 P 1 3 7 2 1 18 9 18

估計(jì)所需要抽獎(jiǎng)紅包的總金額為：200×36=7 200(元)．

“長(zhǎng)手哥”點(diǎn)評(píng)：很好!弄清楚Y的取值構(gòu)成非常重要．如54 元必須是36+18，抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)1 次或者2 次，這就需要分類(lèi)討論，只有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法才能提高運(yùn)算速度．

敲黑板

求解這類(lèi)問(wèn)題的步驟是：

第一步，計(jì)算數(shù)學(xué)期望μ和σ；

第二步判斷是否符合正態(tài)分布N(μ,)σ；

第三步判斷所給的數(shù)據(jù)是否在(μ?σ,μ+σ)，(μ?2σ,μ+2σ)，(μ?3σ,μ+σ3)三個(gè)范圍內(nèi)；

第四步利用正態(tài)分布圖形的對(duì)稱性進(jìn)行重新組合；

第五步代入公式計(jì)算，求出概率．

實(shí)戰(zhàn)演練

1．某學(xué)校高三2 500 名學(xué)生第二次模擬考試總成績(jī)服從正態(tài)分布N(500,502)，則考生成績(jī)?cè)?50～600 分的人數(shù)為_(kāi)_________．

2．海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如下．

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率；

（2）填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；___________

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0．01）．（附表略）