離散型隨機變量概率分布運算大揭秘

王 心

例1 （2019年全國卷I 第6 題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6 個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3 個陽爻的概率是（ ）

你讀懂題意了嗎？ 題中“重卦”的定義“是由6 個爻組成”，提供了什么信息呢？對，就是有6 個位置擺放爻．

當你遇到困難時，再重新讀題，弄懂定義的含義，再重新組合信息，就能找到解題的突破口．本題實質就是在特定的平面圖形中選取線段的概率問題．

變題

已知△ABC的面積為4，點D,E,F分別為三邊AB,BC,CA的中點，從三個頂點和三個中點中任取三個點構成的圖形的面積為隨機變量ξ，規定線段的面積為0．（1）求ξ=2 的概率；（2）求ξ的概率分布列及數學期望．

(2)ξ的可能值為0,1,2,4 共4 種情況．當三點共線時，ξ=0，有3 種取法，當ξ=1 時，取兩個中點和一個頂點或者三個中點，則有所以當取三個頂點時，ξ=4，所以ξ的概率分布列為右表：

ξ 0 1 2 4 P 3?3 1 20 1 2 10 20

在計算隨機變量對應的概率時，一定要弄清基本事件總數，做到不重復不遺漏．

例2正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，從8 個頂點中任取4 個點構成的圖形的體積為隨機變量X（規定當四點共面時，體積為0），則X的概率分布列為_________；數學期望E(X)=____________．

你有沒有漏掉對角面的情況？正四面體有幾個？體積怎么求？

4=70種取法，其中四點共面的有6 個表面正方形，6 個對角面，計12 個．三棱錐(四面體)有70?12=58個，正四面體D1?AB1C類型有2 個，其體積為非正四面體有56 個，其體積均為所以X的可能值為0(12 個)，(56 個)，(2個)，其概率分布列如右表．所以

X 0 1 6__1 3__P 6 4 1_________35__5____35_

你有沒有算得很慢？找到原因了嗎？

可以是因為沒有找出四點共面的四邊形個數，也可能是因為計算正四面體的體積時，沒有利用分割法求解，而是利用三棱錐的體積公式．

所以要學會先觀察幾何圖形的結構特征，再選擇策略．

變題

已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各條棱長都等于2．（1）從三個側面的六條對角線中任選2 條，求這兩條對角線組成異面直線的概率；（2）從6 個頂點中任取4 個點，這4 個點組成空間圖形體積為ξ（規定四點共面時，ξ=0）．求ξ的概率分布列及數學期望E(ξ)．

2 3 3 P ξ 0 4 1 5 5

E(ξ)=0×所以數學期望E(ξ)為

你有沒有忽略兩底面各取兩個點，組成正四面體的情況？要正確利用分類討論思想哦．

例3已知邊長為1 的正六邊形ABCDEF的中心O，現從六個頂點及中心O這七個點中任取三個點，這三個點組成的平面圖形的面積為ξ（規定當三點共線時，ξ=0）．

（1）求三個點構成直角三角形的概率；（2）求ξ的分布列及數學期望．

(2)①三點共線，有3 條，ξ=0，P(ξ=0)=②直角三角形有12 個，面積為③由中心O和頂點組成的正三角形，如△AOB，有6 個，面積由三個頂點構成的等腰三角形ABC類型，有6 個，面積ξ=由一個中心和兩個頂點構成的等腰三角形AOC類型，有6 個，面積ξ=故④還有2 個正三角形△ACE，△BDF，邊長為面積

所以ξ的分布列見表，E(ξ)=

ξ 0 3 3 4 P 3 3 4 2 3 2 35 18 35 12 35 35

你的分類全不全？概率和是不是等于1？有沒有考慮三個頂點組成正三角形的情況？

敲黑板

概率統計問題經常提供一個數學問題背景，具體的計算證明往往要用到如不等式、拆項、數學歸納法、求導等，同學們要加強與之有關的綜合性的知識復習哦！