追本溯源 返璞歸真

馬杏開

[摘? 要] 文章圍繞著新課程理念，從剖析近年中考數學題著手，鉆研、探究和論述中考壓軸題型的特點和規律，梳理解題思路，歸結解題規律，演繹解題思想，培育學生的創新能力和創新思想，落實數學核心素養的教學.

[關鍵詞] 關注;中考;新課程;創新

新課標指出“如何從關注知識傳授轉向兼顧知識建構與問題解決相結合，并最終體現為人的全面發展”，確立以“學生發展為本”的課改理念根本. 隨著素質教育改革的日益深化，在新理念的指引下，以學科素養和核心價值為核心，突出基礎性、綜合性、應用性、創新性的創新綜合題型不斷涌現，命題也呈現了新的走勢和趨向，充分展現了中考的指導功能和作用，也切實體現了“以知識建構為特征，滲透核心素養”的課標理念. 因而，探索中考命題的熱點與趨向，對今后的中考備考工作具有積極的指導作用和深遠的意義.

試題呈現——似曾相識燕歸來

1. 中考試題呈現

（廣東中考）如圖1，AB是⊙O的直徑，AB=4 ，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連結CB.

（1）求證：CB是∠ECP的平分線;

（2）求證：CF=CE;

（3）當 = 時，求劣弧 的長度. （結果保留π）

此題是中考壓軸題以圓為背景，涉及切線的性質、等角的余角相等、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、弧長的計算等考點，題目結構合理，特色鮮明，內容扼要簡明，考查層次明晰，強調雙基的考查，又關注數學思想方法. 在考查方向上，體現注重基礎、突出能力的特點;在考查內容上，彰顯基礎性和綜合性;在知識立意上，考查學生的數學素養和處理問題的能力;在考查層次上，可充分展現差異水平的學生本身的不同探究水平，可信度、區分度清晰，較好地體現了中考數學的選拔功能.

2. 課本習題再現

在數學課本102頁（人教版九年級上冊“圓”），AB是⊙O的直徑，AE交⊙O于點E，且與⊙O的切線CD互相垂直，垂足為D. 求證：AC平分∠DAB.

試題初看與課本習題很相似，給人的感覺是彰明較著、一目了然，試題內容以圓為背景，切入問題容易，以幾何知識點為介質，承載基本知識、基本技能、基本思想方法為一體，指引學生從問題的基本條件入手，讀圖分析、合情推理，考查學生的基本推理證明與計算，問題能較好地激發學生做題的興趣和參與性.

試題分析——平淡無奇道本質

問題難度適中，自身起點低、梯度分明，有利于幫助學生抓住知識的核心思想，體會成功的喜悅. 通過三個不同的設問，無論是在問題內容的展現方式上，還是在解題思路的探究過程中，試題始終貫穿結構性、過程式教學. 一方面要重視學生的數學基本思維過程，降低學生的思維層次;另一方面既要重視呈現數學知識的生成過程，遵循數學思維發展基本規律，又要充分反映數學基本思維的結構特征，提倡新課程所倡導的學習方式，落實數學核心素養的基本教學.

1. 小試牛刀，初嘗勝果

在第（1）問中，利用已知條件切線PF和CE⊥AB，易得∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，再通過半徑相等OC=OB，得∠OCB=∠OBC，所以∠BCE=∠BCP，所以BC平分∠PCE. 也可通過逆向思維來找出所需的條件，這里條件包含了題目給出的“顯性”條件切線PF、 CE⊥AB和“隱性”條件半徑相等OC=OB，需要學生聯系圖形的特征并結合以上條件綜合“顯性”和“隱性”兩條主線來分析.

這里著重考查了學生的“雙基”（基本知識和基本技能），思路簡明扼要，背景熟諳，易找準解題的“突破口”，引導學生由淺入深、由表及里，透過現象看本質，極大地激發學生解決問題的積極性和主觀能動性.

2. 歸納思路，全等來造

在第（2）問中，欲證明CF=CE，思路主要有以下兩種：

方法1：只需要添加輔助線AC，構造全等.

方法2：利用角平分線的性質定理可證. 由方法1中∠ACF =∠ACE得∠CAF =∠CAE，因為∠AFC =∠AEC=90°，所以CF=CE.

這里考查了學生的基本思想方法和基本思維能力，思路清晰簡單，學生較易找對解題的“切入點”，通過第（1）（2）問的前因后果，反映知識間的串聯關系，尋求“通性通法通解”，體現常規的解題思路和分析方法，使問題漸進明晰，熟練掌握知識間的內在關聯，從而提高解題的效率，增強學習的自信心.

3. 構造相似模型，突顯數學思想

在第（3）問中，通過作BM⊥PF于M（如圖2），則CE=CM=CF（兩對全等三角形△ACF≌△ACE，△CBM≌△CBE）. 設CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，構造相似直角三角形△BCM∽△PBM∽△PCB，利用相似三角形的相似比算出BM，由tan∠BCM=BM∶CM= ∶3，所以∠BCM=30°，利用弧長公式可解答.

在最后一問的解答中，需要讓學生了解解題的策略，不要指望一步就能解決問題，應耐心結合題目的條件和結論以及前面已有的結論來尋找思路，通常圓的解答離不開全等、相似、三角函數、勾股定理的知識綜合運用.

課本的習題中，題設與結論之間有著密切的聯系，需要我們對其加以挖掘、鋪墊、拓展延伸，形成問題鏈，一探到底，幫助學生吃透問題的本質，構建認知結構，讓學生在“習題”中思維，在“習題”中發現，在“習題”中總結，在“習題”中反思，加強學生的探索認知和創新意識，培育學生的思維能力，最終促成教師的“教”與學生的“學”雙向良性發展.

相似試題展現——為有源頭活水來

史寧中教授提出：“基于‘四基的數學教學就是基于數學核心素養的數學教學.”問題是數學的“心臟”，也是數學思維的起點.

1. 改變位置方式，命題同質化

例1 （湘西州中考）如圖3所示，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，AD⊥PC，垂足為D，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連結AE.

（1）求證：∠CAB=∠CAD;

（2）求證：PC=PF;

（3）若tan∠ABC= ，AE=5 ，求線段PC的長.

2. 改變基本圖形，命題多維化

例2 （福州模擬）如圖4，在⊙O中，點P為直徑BA延長線上一點，直線PD切⊙O于點D，過點B作BH⊥PD，垂足為H，BH交⊙O于點C，連結BD.

（1）求證：BD平分∠ABH;

（2）如果AB=10，BC=6，求BD的長;

（3）在（2）的條件下，當E是 的中點，DE交AB于點F，求DE·DF的值.

張奠宙先生說過：“沒有問題的數學教學，不會有火熱的思考. ”以課本的例題、習題作為“基準點”和“切入點”，并以此為“生長點”“發展點”，通過變式教學可以將“源問題”轉換成“子問題”，衍生出新方向和新思維. 基于學生的“最近發展區”和認知基礎，以學科知識單元進行科學設計，以高階思維訓練為準則，體現數學本質為根本，進行深度教研，可以激發學生的學習興趣，開闊學生視野，培養學生思維品質和創新能力，使學生的學習技能與思維得以培養和發展，全面提升數學核心素養.

結束語——滿架薔薇一院香

針對同一知識點，創設不同的數學情境載體來類比變式，通過引導學生從問題之間的聯系和區別來認識和思考問題，把握問題的本質，以微知著，融會貫通，從而使教學個性化發展充滿智慧與靈氣，使學生學習充滿激情和能量，真正實現“源頭活水”的最大資源化.

就題講題，教學枯燥，創新處理，師生活躍. 課本上例題、習題的權威性和示范性無疑是創新的源泉. 在課堂教學中，以“一例一變一拓展”的模式，圍繞一定的目標或以核心內容為線索，剖析例題蘊含的多種方法背景下深度學習方式的高階思維訓練，將難度較大的問題依照知識、能力、思維層次拆分成相關的多個問題，在以學生為主體、教師為主導的師生對話下充分展示學生的語言組織表述能力、邏輯思維能力，這是知識生成的再現過程，是思維創新的展現過程，也是大智慧課堂設計的實現過程，更是教師在處理教材時的高效整合和先進理念的融合. 同時將題目之間的共性及本質的東西進行提煉、概括、升華，增強學生學習的興趣和學習積極性，開闊視野、豐富思維，從而培養學生積極探究的精神和創新的能力，達到舉一反三，觸類旁通的目的.