從高一配方法教學中看高中普通生抽象思維的培養

羅柳英

【摘要】配方法是高中數學學習中常見的方法，隨著高中數學知識的深入，初中所學的配方方法不能滿足高中學習的需求.通過對比試驗發現，優秀學生可以自學適應高中學習，但是普通高中校普通學生卻需要數學教師的專項訓練，而且這種專項訓練需要分層進行.第一層，掌握對二次三項式的配方方法;第二層，把換元法與配方法結合;第三層，先恒等變形，然后換元，最后配方求解.因此，對于普通高中校普通班學生來說，配方法的學習不僅僅是運算能力的培養，同時也是幫助學生逐步體驗數學抽象思維形成的過程.普通生數學抽象思維的培養需要數學教師的智慧與策略，對學生抽象思維的形成過程先降低起點，搭建臺階并分解動作，讓學生拾級而上，同時放慢節奏降低難度，一步一個腳印地落實.雖然教學進度慢點，只要教師方法得當，抽象思維能力和運算能力的提升也能達到預期的目標.

【關鍵詞】配方法;抽象思維;運算能力;普通高中;對比試驗

一、背景介紹

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，高中數學六大核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.其中，數學抽象與數學運算是高一數學學習中最重要的兩個方面.也是決定初、高中銜接中數學學習能否順利度過的關鍵.本文對普通高中高一配方法教學進行了對比試驗，目的是研究學生抽象思維與數學運算能力提升的途徑，尋找幫助學生快速提升數學學習能力的方法.

配方法是指將一個式子（包括有理式和超越式）或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和.這種方法常常被用到恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一.高中數學中這種解題方法可廣泛應用于因式分解、解方程、代數求值等，特別是求函數值域，證明不等式等數學問題離不開配方法.也是提升學生運算能力的有力手段之一.

高中數學學習中配方法與其他方法比較，顯然是微不足道的方法，常常被忽視.高中生需要對含指數式、對數式、根式、三角函數等復雜的函數式配方.優秀生在初中已經掌握基本的配方法，并且在高中學習中不斷自我完善與提升.但對于基礎較差的學生卻有著無窮的煩惱.因為高中教師不講，就直接用，自己又不會，特別是把高中數學知識加入后的配方更是無從入手.所以，他們只能死記公式，慢慢地，部分高一的學生就跟不上了.從而導致高一數學成績的劇烈分化，好的越學越好，差的越來越差.

對于普通高中校普通班學生來說，配方法的學習不僅僅是運算能力的培養，同時也是幫助學生逐步體驗數學抽象思維形成的過程.特別是當二次三項式與根式、指數式、對數式、三角函數等結合時，更能體驗數學的抽象思維形成過程，幫助普通學生提升抽象思維能力.

數學核心素養包括數學抽象、數學運算等，可以說數學的抽象性，決定了數學思維的核心形式是抽象思維.數學對象都是抽象思維的產物.數學教學除了知識的傳授，更重要的是幫助學生體驗數學的抽象過程，提升學生的抽象能力，提高數學素養.

二、對比試驗

筆者在普通高中校，所教兩個班級學生數學基礎差距比較大，A班數學基礎較好，B班級數學基礎較弱，便于做對比試驗.為了掃除學生高中學習障礙，初、高中銜接時統一安排了配方法教學.

兩個班級的學生基本狀態是：初中所學的配方法只記得公式法，對二次項系數不是1的二次三項式不會配方，而且對于非整數運算有排斥性.經過初、高中銜接課的學習，學生基本上掌握了對二次三項式的配方方法.

考慮到較弱班級B班學生的抽象思維能力的不足，安排在學習完成指數函數、對數函數后進行第二次配方法的教學，以及學習完三角函數后安排第三次配方法教學.A班按正常高中數學進度進行日常教學，沒有另外再進行配方法的教學.經過一年的試驗，發現B班學生配方法學習效果好，學生的抽象思維能力顯著提升.下面把試驗情況匯報如下：

（一）理解配方的基本方法，養成配方習慣

高一新生初、高中銜接教學，配方法是常規課.課前對所教兩個班級74人進行調查，結果如下：

從調查結果看，有超過60%的學生不會配方.特別是二次項系數不是1，對稱軸不是整數的問題.同時，了解到大部分學生對問題（1）配方只是套用公式ax2+bx+c=ax-b2a2+4ac-b24a，自己不會靈活配方.所以說，初中掌握的配方法不足以適應高中數學的學習需求，需要在高中進一步鞏固與提高.于是在初、高中銜接時安排了兩個課時配方法教學訓練.經過學習，學生基本上掌握了配方法，知道了對于二次式可以通過配方進行恒等變形為完全平方式.對于二次項系數不是1的二次三項式基本上可以進行配方，更主要是養成了對二次三項式配方的習慣，為后續學習打下基礎.

（二）配方法與換元法結合，學生思維的第一次飛躍

對數學的抽象性的領悟是高中學生數學學習能力的分水嶺.數學抽象素養高，則能力強，成績就好，否則數學成績差.因為數學抽象能力不強，造成對數學公式中的字母含義理解不清.例如，y=ax2+bx+c都知道如何配方.但是當公式中的x被其他數學式代替時，大部分學生不能接受，更不會把配方法遷移到其他知識上.

在完成了指數函數與對數函數教學之后，需要求復合函數的值域，如求函數f（x）=22x-2x+3的值域，但是學生不會，所以在B班安排了把換元法與配方法結合的小專題課.A班由于基礎較好，沒有單獨安排，但是教學中已講授了把換元法與配方法結合的方法與例題.兩個班做的對比試驗如下：

從實驗結果可以看出，兩個班的學生對于單純的配方方法已經掌握.A班由于教師沒有系統講解，但有55.3%的學生抽象水平高，能自覺把2x或log2x抽象成t，然后把問題轉化為y=t2-3t+3的值域，然后通過配方求解.其中47.2%學生發現了t=2x中t>0的限定條件，把問題圓滿解決.這部分學生數學學習能力強，抽象思維水平高，所以運算能力強.