行星齒輪傳動(dòng)的齒面動(dòng)態(tài)磨損特性

張榮華,曹莉,周建星,海幾哲,孫占飛,賈吉帥

(新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,830047,烏魯木齊)

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因其體積緊湊、效率高、工作平穩(wěn)等特點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電、航空、能源機(jī)械等領(lǐng)域。在負(fù)載下齒面不可避免地產(chǎn)生磨損,不斷的磨損累積將誘發(fā)接觸惡化,不僅影響系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)性,而且嚴(yán)重縮短使用壽命。因此,研究行星齒輪傳動(dòng)的齒面動(dòng)態(tài)磨損特性,對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)減磨延壽設(shè)計(jì)具有重大的工程意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪磨損開展了大量的研究,由于磨損機(jī)理復(fù)雜,還未有完全適用的理論公式,Archard黏著磨損公式被廣泛應(yīng)用。采用此公式時(shí),其間的主要區(qū)別在于對(duì)公式中法向接觸力求取方法。Flodin等基于簡(jiǎn)化的Winkler模型,建立了靜載荷下直齒輪的輕微磨損預(yù)測(cè)模型[1];Wu等將直齒輪副的嚙合等效為兩圓柱體的接觸,建立滑動(dòng)磨損模型,推導(dǎo)了齒輪磨損計(jì)算公式,計(jì)算了恒定載荷作用下的齒面磨損[2];Mert等采用Archard公式確定了內(nèi)齒輪的磨損量[3]。張俊等研究了準(zhǔn)靜態(tài)下直齒輪嚙合偏差和微觀齒廓修形對(duì)齒面磨損量的影響[4]。實(shí)際運(yùn)行中,齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)中磨損與嚙合力相互影響,準(zhǔn)靜態(tài)磨損對(duì)其耦合作用及嚙合沖擊考慮不足[5]。

動(dòng)載荷下的齒面磨損與實(shí)際情況更為接近。Ellen等基于動(dòng)態(tài)接觸壓力分析了齒輪表面和潤(rùn)滑劑相互作用對(duì)輕度磨損的影響[6];Ding提出了考慮時(shí)變磨損系數(shù)的輪齒磨損評(píng)估模型[7],Wojnarowski引入齒輪動(dòng)力學(xué)模型,研究了齒面磨損對(duì)直齒輪動(dòng)力學(xué)特性的影響[8];Osman等根據(jù)齒輪副動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算動(dòng)態(tài)嚙合力,預(yù)測(cè)了寬齒面直、斜齒輪的齒面磨損,分析了齒面磨損和動(dòng)力學(xué)特性之間的映射關(guān)系[9];Bajpai等基于三維有限元接觸分析建立了斜齒輪副磨損模型,計(jì)算了平行軸斜齒圓柱齒輪的磨損深度,分析了齒廓偏差對(duì)磨損深度的影響[10];王曉筍等將齒面磨損模型和含齒側(cè)間隙、內(nèi)部誤差及時(shí)變嚙合剛度的三自由度齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型相結(jié)合,分析了磨損對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)特性的影響[11]。Brand?o等研究了載荷對(duì)磨損系數(shù)的影響[12]。上述研究主要建立簡(jiǎn)單的外嚙合單級(jí)齒輪副的動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)含有內(nèi)嚙合的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)磨損的研究較少。而內(nèi)嚙合的齒圈與行星輪對(duì)齒面壓力分布呈現(xiàn)出與外嚙合情況不同的分布規(guī)律。此外,行星輪齒面分別與中心輪、齒圈交替磨損形成累積接觸誤差,同時(shí)該誤差反映到與其嚙合的太陽(yáng)輪及齒圈間的嚙合位置誤差。Liang等的綜述工作系統(tǒng)地總結(jié)了包括齒輪磨損、點(diǎn)蝕、剝落和裂紋的齒輪箱故障的動(dòng)力學(xué)建模,并表明時(shí)變嚙合剛度是一個(gè)重要的激勵(lì)并能導(dǎo)出動(dòng)態(tài)響應(yīng)的特征[13]。Chen和Ma研究了齒廓修形和齒形誤差對(duì)嚙合剛度的影響,為評(píng)價(jià)齒面磨損對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響提供了一種新的分析方法[14-17]。

本文以行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象,引入了考慮綜合摩損誤差的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型,采用Archard公式,建立了基于齒輪系統(tǒng)參數(shù)可快速準(zhǔn)確計(jì)算動(dòng)態(tài)磨損的數(shù)學(xué)模型,分析了不同負(fù)載下傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)磨損特性,探究了系統(tǒng)磨損后的嚙合剛度的變化規(guī)律。

1 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

采用UG·NX軟件建立了某行星齒輪系統(tǒng)三維模型,如圖1a所示,其中內(nèi)齒圈固定,太陽(yáng)輪、行星架分別為系統(tǒng)輸入端、輸出端,行星輪用軸承支撐,結(jié)構(gòu)如圖1b所示。齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量等基本參數(shù)可由實(shí)體造型得出,如表1所示。

1.1 行星齒輪嚙合單元

齒面磨損導(dǎo)致齒廓參數(shù)改變,同時(shí)該磨損誤差反映到其嚙合的位置誤差。將齒等效為彈簧,如圖2所示。在正常工作周期中,齒面磨損深度很小,可忽略對(duì)重合度的影響,那么有

(1)

(a)行星齒輪系統(tǒng)三維模型

(b)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 含磨損誤差的雙齒嚙合簡(jiǎn)圖Fig.2 Sketch of double tooth meshing with wear error

綜合考慮磨損誤差,將齒輪副位置誤差向嚙合線方向投影,得到接觸嚙合線相對(duì)形變量為

(2)

式中:α為嚙合角;e(t)為齒廓間隙誤差(初始值取為零);rq為主動(dòng)輪基圓半徑;rp為從動(dòng)基圓半徑(內(nèi)嚙合取“-”,外嚙合取“+”);δqp為嚙合線方向綜合形變量。假定磨損后齒輪間嚙合作用仍然沿著理論嚙合線方向,齒輪嚙合力為

Fqpi=kmiδqpi

(3)

式中:kmi為嚙合剛度;δqpi為兩質(zhì)體接觸面嚙合線方向相對(duì)形變量。

嚙合剛度采用勢(shì)能法計(jì)算

(4)

式中:Uh為赫茲接觸能;Ub為彎曲勢(shì)能;Ua為軸向壓縮變形能;Us為剪切變形能;kh為赫茲接觸剛度;kb為彎曲剛度;ka為軸向壓縮變形剛度;ks為剪切變形剛度;E和G分別為彈性模量和剪切模量;Ix和Ax為到齒根距離為x的截面的面積矩和慣性面積;hx為半齒厚;d為嚙合點(diǎn)和齒根截面之間的距離;Fb和Fa為壓載F的正交分量。

齒輪磨損時(shí),齒輪參數(shù)中僅轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix、極慣性矩Ax、半齒厚hx發(fā)生變化。根據(jù)文獻(xiàn)[19],接觸剛度更為精確的表達(dá)式為

(5)

式中:h1、h2分別為兩嚙合齒輪的對(duì)稱線與載荷作用線的交點(diǎn)到載荷作用點(diǎn)的距離。

因此,考慮磨損后的嚙合剛度為

(6)

ks、kp、kr—太陽(yáng)輪、行星輪、齒圈支撐剛度;kspi、krpi—行星輪/ 太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈/行星輪間嚙合剛度(其中i=1,2,3,4); ksθ、kcθ、krθ—太陽(yáng)輪、行星架、齒圈扭轉(zhuǎn)剛度。圖3 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型Fig3 Dynamic model of planetary gear transmission system

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型如圖3所示,太陽(yáng)輪中心作為坐標(biāo)系中心o,x、y軸方向如圖所示。

根據(jù)牛頓動(dòng)力學(xué)理論,系統(tǒng)振動(dòng)微分方程如下

(7)

2 行星齒輪動(dòng)態(tài)磨損模型

2.1 行星齒輪動(dòng)態(tài)磨損模型

在行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中,太陽(yáng)輪與齒圈單邊磨損,行星輪經(jīng)歷太陽(yáng)輪和齒圈交替接觸磨損,齒面的實(shí)際磨損在齒廓法向呈非均勻分布,同時(shí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中軸短而剛度大,不易產(chǎn)生偏載,在齒寬方向上幾乎均勻磨損。因行星系統(tǒng)絕大多數(shù)工作狀態(tài)處于材料彈性范圍內(nèi),定義磨損量為試件在材料彈性范圍內(nèi)其體積的減小量。故而以切向磨損深度量化沿齒廓線不同位置齒面磨損量,如圖4所示。

圖4 磨損示意圖Fig.4 Gear wear model

行星齒輪傳動(dòng)大多在高速重載工況中應(yīng)用,在重載工況條件下行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)齒面主要發(fā)生膠合,偶有少量材料脫落,采用適用于黏著磨損理論中的Archard磨損公式計(jì)算磨損

(8)

式中:V為磨損體積;S為磨損滑移距離;W為法向載荷;K為磨損系數(shù);H為接觸材料硬度。

通過(guò)接觸分析可獲得齒面的壓力分布,將齒廓按嚙合角等角度離散,得到齒面壓力和嚙合角之間的函數(shù)關(guān)系。文獻(xiàn)[20]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了齒輪相似粗糙度和硬度的無(wú)量綱磨損系數(shù)k在材料和工況確定時(shí)為定值,此處取5×10-18。由此結(jié)合嚙合處的相對(duì)滑動(dòng)距離S,并定義齒與齒間從開始接觸摩擦到本次接觸摩擦完成為一次磨損,有效單次磨損深度為其階段的平均磨損深度。n次動(dòng)態(tài)磨損后的各齒廓離散位置的磨損深度為

hn(t)=h(n-1)(t)+kpn(t)sn(t)

(9)

式中:hn為第n次磨損后磨損深度;pn為第n-1次磨損后接觸壓力;k為無(wú)量綱磨損系數(shù);sn為第n-1次磨損后相對(duì)滑動(dòng)距離,si=2aH(1-u2/u1);ui=wRi。

由于磨損深度小于1 μm時(shí)齒面的壓力幾乎不變,設(shè)定重構(gòu)閥值為1 μm。在此基礎(chǔ)上,為了加快迭代速度,改進(jìn)了磨損深度的累計(jì)方式,將累計(jì)步長(zhǎng)設(shè)定為重構(gòu)閥值次數(shù)的1/10。因此,基于行星齒輪參數(shù)和確定工況下的齒輪動(dòng)態(tài)磨損計(jì)算可分為兩步:先依據(jù)負(fù)載工況(多組輸入轉(zhuǎn)矩300～700 N·m)、齒輪參數(shù)、材料等,分別對(duì)接觸壓力、相對(duì)滑移距離和磨損系數(shù)的求解;再根據(jù)改進(jìn)的磨損深度累計(jì)方式進(jìn)行迭代計(jì)算,從而快速計(jì)算齒面磨損深度。根據(jù)上述分析,可得出齒面磨損的流程,如圖5所示。

圖5 齒面磨損流程圖Fig.5 Gear wear flow chart

2.2 齒面接觸壓力分析

齒輪傳動(dòng)是單雙齒交替嚙合的過(guò)程,雙齒嚙合時(shí)載荷分配相對(duì)復(fù)雜,又因磨損導(dǎo)致齒間間隙時(shí)刻改變,增加了載荷的分配難度。將雙齒嚙合簡(jiǎn)化為兩個(gè)無(wú)阻尼彈簧,得到如下關(guān)系

(10)

式中:Fti為第i對(duì)齒的實(shí)際載荷(其中i=1,2);kti為第i對(duì)齒的嚙合剛度;hi為第i對(duì)齒的磨損累積量;pb為齒距;yi為嚙合點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)的距離[21]。

依據(jù)變形協(xié)調(diào)原理考慮齒面磨損時(shí)的載荷分配系數(shù)ζ為

(11)

嚙合力即為接觸面的法向載荷,采用Hertz接觸分析得到齒面壓力。齒輪嚙合接觸在理論上為線接觸,受載而發(fā)生變形,因此近似采用矩形面接觸。假定摩擦因素不變,可得到嚙合齒面接觸壓力

(12)

式中:p為最大接觸壓力;aH為赫茲接觸半寬;R*為綜合曲率半徑(內(nèi)嚙合取“-”,外嚙合取“+”);Rb為基圓半徑;α為嚙合處壓力角;Ft為嚙合力;φ為壓力角;E1、E2為彈性模量;ν1、ν2為泊松比。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力和齒面接觸壓力

計(jì)算了轉(zhuǎn)速相同、轉(zhuǎn)矩不同時(shí)的嚙合力。限于篇幅,在此僅給出轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1、轉(zhuǎn)矩為600、700 N·m時(shí)行星輪與齒圈動(dòng)態(tài)嚙合力分布,如圖6所示。從中可以看出:由于齒輪單雙齒周期性交替嚙合傳動(dòng),嚙合力呈周期性變化;轉(zhuǎn)矩為700 N·m時(shí)理論靜態(tài)嚙合力為3 040.5 N,波動(dòng)幅值為80 N;轉(zhuǎn)矩為600 N·m時(shí)波動(dòng)幅值為60 N,波動(dòng)幅值隨著輸入轉(zhuǎn)矩的增加而增大。

(a)轉(zhuǎn)矩為600 N·m

(b)轉(zhuǎn)矩為700 N·m

(a)太陽(yáng)輪/行星輪

(b)行星輪/齒圈圖7 不同磨損次數(shù)下嚙合角對(duì)應(yīng)的齒面壓力Fig.7 Match of mesh angle and press on wear times

齒面磨損不斷累積,齒間間隙連續(xù)改變,齒面接觸壓力分布發(fā)生變化。不同磨損次數(shù)下齒面接觸壓力分布如圖7所示。從圖中可得到:單齒嚙合區(qū)齒面接觸壓力較大,不同磨損次數(shù)下齒面接觸壓力呈小幅波動(dòng)。太陽(yáng)輪/行星輪在雙齒嚙合區(qū)齒面接觸壓力較小并呈“∧”形分布,行星輪/齒圈雙齒嚙合區(qū)齒面接觸壓力由于曲率差值較大且呈傾斜分布,齒根處最大。內(nèi)嚙合接觸壓力分布趨勢(shì)與文獻(xiàn)[3]對(duì)應(yīng),由此可知該論文方法正確與可行性。從圖7可以看出:太陽(yáng)輪/行星輪磨損次數(shù)4.75×108時(shí)的齒面接觸壓力較磨損次數(shù)為6.25×107時(shí)最大降低了83.1 MPa;行星輪/齒圈磨損次數(shù)1.33×108時(shí)的齒面接觸壓力較磨損次數(shù)為1.75×107時(shí)降低了93 MPa;此外,在嚙入、嚙出雙齒區(qū),齒面接觸壓力隨著磨損次數(shù)的增加而降低。動(dòng)態(tài)嚙合力和磨損在齒根齒頂及單雙齒交替位置較大,而對(duì)應(yīng)位置壓力變化顯著,與理論分析一致,可確定該結(jié)論正確。

3.2 磨損次數(shù)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)齒面磨損量的影響

在轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1、轉(zhuǎn)矩為700 N·m、不同磨損次數(shù)下,太陽(yáng)輪/行星輪、行星輪/齒圈的齒面磨損曲線隨嚙合角的變化如圖8所示。太陽(yáng)輪嚙合角13.09°、20°、27.5°分別對(duì)應(yīng)齒輪齒根、節(jié)圓和齒頂,齒圈嚙合角16°、20°、23°分別對(duì)應(yīng)齒輪齒頂、節(jié)圓和齒根。可以知道:單齒嚙合區(qū)太陽(yáng)輪/行星輪、行星輪/齒圈的齒面磨損曲線基本呈“∨”形分布,雙齒嚙合區(qū)保持著節(jié)圓兩邊的磨損變化趨勢(shì),交替處呈傾斜過(guò)渡。太陽(yáng)輪和行星輪齒根處磨損深度最大,從齒根到節(jié)圓磨損曲線逐漸減小到0,從節(jié)圓到齒頂磨損深度再?gòu)?逐漸增大。這是因?yàn)?太陽(yáng)輪/行星輪在節(jié)圓處作純滾動(dòng),滑移距離為0,而齒根處壓力相對(duì)較大。齒圈為內(nèi)嚙合,因此齒頂處磨損深度最大,從齒頂?shù)焦?jié)圓磨損曲線逐漸減小到0,從節(jié)圓到齒根磨損深度再?gòu)?逐漸增大。上述結(jié)論與文獻(xiàn)[3,18]得到相同結(jié)論,可以間接證明本文結(jié)論的正確性和本文采用方法的有效性。但本文在其靠近齒根與齒頂位置的磨損變化趨勢(shì)變緩,以及單雙齒交替處磨損深度“垂直式”突變變緩。這與齒面壓力分布變化趨勢(shì)一一對(duì)應(yīng),因而可以說(shuō)明結(jié)論正確。

(a)太陽(yáng)輪齒面磨損

(b)行星輪齒面1磨損

(c)齒圈齒面磨損

(d)行星輪齒面2磨損

隨著磨損次數(shù)的增加太陽(yáng)輪和行星輪齒根處磨損深度、齒圈齒頂處的磨損深度基本成倍增加;與齒圈嚙合的行星輪的齒面磨損深度約為與太陽(yáng)輪嚙合時(shí)的磨損深度的50%。同時(shí),隨著磨損次數(shù)的增加,在單雙齒過(guò)渡處的變化差值逐漸增大。

在轉(zhuǎn)速相同(3 000 r·min-1)、轉(zhuǎn)矩不同(300、450、550、650、700 N·m)時(shí),磨損次數(shù)與最大磨損深度的關(guān)系如圖9所示。從圖中可以看出:最大磨損深度隨著磨損次數(shù)增加呈線性增大,磨損速率(線段斜率表示磨損速率)隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩增大而加快。

(a)太陽(yáng)輪與行星輪(與太陽(yáng)輪嚙合的面)

(b)齒圈與行星輪(與齒圈嚙合的面)圖9 不同轉(zhuǎn)矩下磨損次數(shù)對(duì)應(yīng)的單次最大平均磨損深度Fig9 Relation of wear times with maximum mean wear under torque

3.3 齒面磨損對(duì)嚙合剛度的影響

在轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1、為轉(zhuǎn)矩700 N·m條件下,不同磨損次數(shù)的太陽(yáng)輪/行星輪與齒圈/行星輪的時(shí)變嚙合剛度與嚙合角的變化如圖10所示。從圖中可以看出:齒面嚙合剛度隨磨損深度增加而減小。當(dāng)磨損4.76×108次時(shí),在雙齒嚙合區(qū)太陽(yáng)輪/行星輪的嚙合剛度較無(wú)磨損時(shí)降低了10.5%,磨損對(duì)單齒嚙合區(qū)嚙合剛度影響相對(duì)較小。為進(jìn)一步討論磨損深度與嚙合剛度的關(guān)系,分析得到齒面最大磨損深度與時(shí)變嚙合剛度的變化關(guān)系,如圖11所示。可以看出,嚙合剛度隨最大磨損深度的增加逐漸降低,在合理范圍內(nèi)可近似采用一次函數(shù)關(guān)系進(jìn)行表示,分別為y=-161.3x+1.69,y=-234.3x+1.88。還可以看出,齒輪動(dòng)態(tài)磨損過(guò)程中對(duì)齒輪嚙合剛度有很大的影響。

(a)太陽(yáng)輪/行星輪

(b)行星輪/齒圈圖10 不同磨損次數(shù)下的齒輪副嚙合剛度Fig.10 Mesh stiffness of pairs along mesh angle with wear

圖11 最大磨損深度下的齒對(duì)嚙合剛度Fig.11 Mesh stiffness of gear pairs with maximum wear

4 結(jié) 論

本文考慮了齒廓磨損誤差和時(shí)變嚙合剛度激勵(lì),建立了平移-扭轉(zhuǎn)多自由度動(dòng)力學(xué)模型求解動(dòng)態(tài)嚙合力。結(jié)合接觸理論、黏著磨損理論,建立了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)磨損模型,改進(jìn)磨損累計(jì)方式縮短了計(jì)算時(shí)長(zhǎng),由此分析了傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)磨損規(guī)律,主要結(jié)論如下。

(1)齒輪磨損后雙齒嚙合區(qū)齒面壓力呈“∧”形變化,在雙齒嚙合區(qū)磨損波動(dòng)較大。

(2)齒輪磨損深度沿嚙合角在單齒嚙合區(qū)呈“∨”形非線性分布,雙齒嚙合區(qū)傾斜分布,交替處由于動(dòng)態(tài)嚙合力而“垂直式”突變改善。

(3)磨損次數(shù)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)磨損影響顯著。隨著磨損次數(shù)的增加,磨損深度基本成倍增加,磨損速率與負(fù)載轉(zhuǎn)矩呈正比映射關(guān)系,與磨損次數(shù)呈指數(shù)映射關(guān)系。

(4)齒輪最大磨損深度對(duì)嚙合剛度影響較大,兩者近似呈一次函數(shù)映射關(guān)系。