傳熱學與電學問題的遷移類比研究:(1)理論基礎

李元,王晨,張冠軍

(1.西安交通大學電氣工程學院,710049,西安; 2.西安交通大學電力設備電氣絕緣國家重點實驗室,710049,西安)

根據人類和生物界的學習心理,在認知新的概念時,常常會通過既有知識,借助熟悉的、與之相似的經驗來理解新知識。例如,在理解電路的過程中,可以將電路與水管通路進行類比學習,二者的結構與功能存在許多相似之處,如圖1所示。電池的作用類似于水泵提供動力源,燈泡發光類似于水車轉動消耗回路能量,開關類似水閥,電流表類似水流計等。將熟知的水壓形成水流的原理遷移到電路,有助于理解電流的產生與流動過程。

(a)直流電路

(b)水管通路圖1 電路與水管通路的類比思想Fig.1 Analogy between a circuit and a water pipe route

上述應用到遷移類比的邏輯認知方法,即根據兩個對象在某些方面的相同或相似性,推導、探索二者在其他方面的相同與相似性[1]。遷移類比法在認知與解決學科間相似問題上有很多成功應用,例如,牛頓將天體運動與自由落體運動進行類比發現了萬有引力定律;盧瑟福將原子結構與太陽系類比論證了電子繞原子核旋轉運動;麥克斯韋將電學中的勢與流體的壓力類比推導出電場強度的計算公式;歐姆將電的流動與熱的流動類比,在傅里葉定律的基礎上提出了歐姆定律[2]。從科學發展史可以看出,不斷探索不同學科間的共性規律推動了許多學科的交叉發展。

自然界和生產技術中普遍存在熱量傳遞現象,傳熱學是研究熱量傳遞規律的學科[3],傳熱理論在冶金、建筑、航天和電氣等領域廣泛應用。傳熱學與力學、電磁學、光學等物理分支學科相比,缺乏與其他學科間的某些共性規律,基礎理論還不完善[4-6],且實際應用中設備的結構往往較為復雜,直接分析內部傳熱過程較為困難,因此傳熱學理論在工程實踐中存在部分瓶頸。

合理地開展分支學科間的遷移類比可以驅動新興交叉領域的發展,有效解決實際應用問題。學科間的相似屬性越多、相似程度越高,遷移類比結果就越準確。本文從傳熱學與電學的發展淵源著手,基于傳熱學與電學的基礎理論,深入分析傳熱學與電學的共性與差異,依據熱-電類比思想,論證二者遷移類比研究的可行性,以期為電學領域中傳熱學問題的解決提供思路。

1 傳熱學與電學的發展淵源

在漫長的物理學史中,熱與電首次“相遇”于雷電現象。人們發現雷擊有時會引發山火,合理地運用火種可以驅寒飽腹[7]。基于觀察獲取的經驗和生存的需要,人類逐漸掌握了取火的技能,對熱現象的探索由此開啟。后來,對雷電現象的好奇驅使著人類探索更多的電過程,人們對電現象的研究也逐漸起步。

18世紀初,在工業革命驅動生產力大發展的背景下,傳熱學迅速成長發展。20世紀初,傳熱學從熱學獨立出來成為一門學科。傳熱的基本方式有導熱、對流和熱輻射3種,其中導熱和對流的研究起步較早,熱輻射的研究起步較晚[8]。導熱理論的奠基人傅里葉在實驗研究的基礎上,運用數學原理總結出導熱的經驗公式,即傅里葉導熱定理;對流換熱的基礎是流體流動理論,由于流體流動的機理復雜,對流學發展較為緩慢[9]。普朗特提出邊界層理論,解決了流體力學的基本問題,加速了對流換熱理論的發展;熱輻射研究領域的4大定律奠定了熱輻射理論的基礎,分別是基爾霍夫熱輻射定律、斯蒂芬-玻爾茲曼定律、維恩位移定律與黑體輻射定律,使得熱輻射理論在19世紀末獲得蓬勃發展。

人類早期對電的認識比較零散,系統的科學研究也是始于18世紀[10]。不少學者在實驗基礎上進行觀察與歸納,認識到大量重要規律,為電學的發展奠定基礎。如迪費提出同種電荷相互排斥、異種電荷相互吸引,富蘭克林總結出電荷守恒定律。18世紀后期,庫倫通過扭秤實驗,開展了電荷相互作用的定量研究。人們類比發現,靜電力與萬有引力定律在理論和實驗上都有許多相似之處。1811年,泊松將從萬有引力基礎上發展起來的勢論應用于靜電力,提出了泊松方程。

隨著對電學研究的不斷深入,人們從傳熱學理論中得到啟迪,歐姆定律便是熱與電第二次“相遇”的成果。1826年,歐姆受傅里葉導熱定理的啟發,大膽猜想電傳導與熱傳導具有相似性,認為電源與熱傳導中的溫差有類似作用。后來通過實驗明確了電路中電壓、電流和電阻的關系,總結得到了現在的歐姆定律。此外,奧斯特、法拉第、麥克斯韋等人都為電學理論的發展完善做出了重大貢獻。

縱觀傳熱學與電學的發展歷史,流體力學理論的完善加速了對流傳熱的發展,萬有引力定律為靜電力研究提供了理論支撐,傅里葉導熱定理指導了歐姆定律的形成,理論間的相互借鑒與滲透推動了學科發展。隨著社會進步的迫切需要,學科相互交叉與開拓已成為現代科學研究的重要發展方向[11]。

傳熱是普遍存在的自然現象,包括電學在內的很多科學技術領域中必須予以考慮的主要因素或耦合因素[12],而熱量輸運機理繁復且易受環境因素影響,直接運用傳熱學理論分析較為復雜。本文借鑒遷移類比思想,對傳熱學與電學深入開展相似性與差異分析,為認識交叉學科問題提供新視角。

2 傳熱學與電學的相似性

有效開展學科間類比的前提是選擇合適的核心物理量,使得它們展示學科間相似性的同時也能極大限度地反映學科自身特點[13]。本文分別選擇廣延量熱容量Qvh、電荷量Qve和強度量溫度T、電勢Ue作為中心物理量,以中心物理量為基礎展開相似性分析。

2.1 中心物理量的相似性

熱荷是與物質的熱相關的屬性,沒有質量并且依附于物質而存在。熱荷的數量稱為熱容量,也稱為熵[14],單位為焦耳(J)。傳熱的基本方式分為3種:導熱、對流與熱輻射。嚴格意義上,固體間的傳熱現象為熱傳導,流體間傳熱過程會同時發生熱傳導和熱對流,而熱輻射較為特殊,是電磁輻射的一種,溫度高于熱力學零度的物體便可產生熱輻射。

溫度T用來衡量物體的冷熱特性,相當于傳遞熱量的勢[15]。當兩個溫度不同的物體相互接觸時,在溫差驅動下,熱荷由高溫物體流向低溫物體,直至二者溫度相等,傳熱過程達到平衡,若想實現逆溫度梯度傳遞需要附加熱源。

電荷也是物質的一種物理性質,同樣沒有質量且依附于物質而存在,電荷的數量稱為電荷量。根據形成方式的不同,電流分為傳導電流、位移電流等。我們常討論的電流多為傳導電流,由自由電荷在導體中定向移動而形成;位移電流是電位移通量對于時間的偏導數,不存在熱效應等。

電勢Ue用來衡量電場中各點的能量大小,當兩個帶電體用導線連接時,在電勢差的驅動下電荷由高電勢處流向低電勢處,直至二者電勢相等。若想實現電荷逆電勢傳遞需要附加電源。

2.2 中心物理量衍生量的相似性

在傳熱學中,熱荷在傳熱導體內流動會形成熱流,單位時間內流過任一截面的熱容量稱為熵流IS,表示為[16]

IS=dQvh/dt

(1)

熱容量是一種能量載體,因此熱荷的流動過程中存在能量傳輸,能量的大小被稱為能流強度P,可以表示為

P=TIS

(2)

可以看出,熵流運載能量的能力與其溫度相關,溫度越高,運載能力越強。

過增元團隊較早地對熱學與電學量開展了對比分析研究,比擬導熱與導電過程,提出了具有勢能意義的物理量Evh,表征物體傳遞熱量的能力,為定義傳熱效率和優化傳熱過程做出了重要貢獻[17-20]。當外界對熱容量為Qvh的物體加熱,使其溫度由0 K變為T時,物體具有的熱勢能即,表達式為[21]

Evh=QvhT/2

(3)

在傳熱過程中由于熱阻RT的存在,存在耗散不守恒[22]。

若在傳熱導體區域內選取一個閉合的曲面A,假定不存在熵增過程,曲面區域內減少的熱容量dS等于從該曲面流出的熱容量之和,則熵流的連續性方程可以表示為[16]

(4)

式中:jS為熵流密度,即單位面積流過的熵流。

對應地,依據電磁學知識,電荷在導體內流動形成電流,單位時間內流過任一截面的電荷量Qve稱為電流強度I,表示為

I=dQve/dt

(5)

電荷流動同樣在輸送能量,能量的強度也就是我們熟知的功率,即

P=UeI

(6)

電學中最常見的勢能是靜電勢能,表征傳遞電量的能力,若平行板電容器的帶電量為Qve,兩板的電勢差為Ue,則電容器的電勢能可以表示為

Eve=QveUe/2

(7)

同樣,在導電過程中由于電阻R的存在,電勢能也不守恒[23]。

類似地,在導體內任取一個閉合曲面A,由電荷守恒可知,從該曲面流出的電荷量與曲面區域內減少的電荷量相等,即

(8)

式中:j為電流密度,即單位面積流過的電流。

通過梳理發現,傳熱學與電學的部分物理量存在對偶關系,這些物理量的概念相似且表達式結構對稱。基于物理學的統一性,對比上述中心物理量衍生量,可歸納發現傳熱學與電學在能流、能流強度、勢能,以及能流的連續性方程上具有對稱性,從能量角度體現了兩個學科的相似性。

2.3 熱場與電場的相似性

2.3.1 場函數 溫度場是指某一時刻空間內各點溫度的總稱,是時間和空間的函數,用直角坐標系表示為

T=f(x,y,z,t)

(9)

式中:表示物體的溫度在x、y、z3個坐標方向和時間上都發生變化的三維非穩態溫度場。

電場是電荷及變化磁場周圍空間里存在的一種特殊物質。與溫度場類似,它也可以用時間和空間的函數關系表示,用直角坐標系表示為

Ue=f(x,y,z,t)

(10)

式中:表示電勢在x、y、z3個方向和在時間上都發生變化的三維非穩態電場。

2.3.2 傳導方程 根據能量守恒定律,溫度場中任何一個微元體的熱流量守恒。對于常物性且有內熱源的穩態溫度場傳導方程的一般形式為

(11)

式中:Φ為熱源,J·m-3;λ為導熱系數,W·m-1· ℃-1。

對應地,電場的內部電荷進出平衡。在各向同性與線性的均勻媒質中,有源穩態電場的電傳導方程可以表示為

(12)

式中:ρ為電荷密度,C·m-3;ε為介電常數,F·m-3。

2.3.3 傳導方程邊界條件 為了確定傳導方程的解,需要給定邊界條件,不同的邊界條件顯著影響計算結果的精度。導熱微分方程常用邊界條件有3類:一是溫度邊界條件,規定邊界上的溫度值;二是熱流邊界條件,規定邊界上的熱流密度值;三是熱交換邊界條件,規定邊界上物體與周圍流體間的表面傳熱系數α及周圍流體的溫度。

導電微分方程的邊界條件也有3種:一是電勢邊界條件,規定邊界上的電勢大小;二是電勢法向導數邊界條件,即規定邊界上的電流密度;三是場域邊界面上各點電勢和電勢法向導數的線性組合的值。

3 傳熱學與電學的差異性

通過對所類比的兩個模型差異性進行分析,可以顯現研究對象的個性與特殊性。它們的差異性會影響因為相似性類比得到的類推結果,如果這些差別與我們所研究的問題關系很小,則相似性類比得到結論相對可靠;反之,則往往會得到錯誤的結論。因此,在傳熱學和電學的類比中,既應該關注它們的相似性,也要考慮它們的差異性。

3.1 物理量的差異性

為了方便問題的研究,傳熱學中存在許多假想的概念,例如熱荷是為了研究問題方便而提出的,熱流中并不存在熱荷,而是存在由于分子的熱運動傳遞著的內能;靜電場是以場的形式客觀存在的物質,而溫度場不是一種物質,是為研究問題方便而給出的物理圖像。

具體而言,首先電荷有正負之分,并且遵循異種電荷相互吸引,同種電荷相互排斥的規律,而熱荷不區分正負。電荷量是一個守恒量,而熱荷量并不守恒[13]。例如在摩擦發熱過程中,產生的熱荷是系統的凈增量,區別于摩擦起電過程中,電荷從一個物體轉移到另一個物體,系統電荷量守恒。

其次,電學中有電感的概念,它是閉合回路的一種屬性,當電流通過閉合線圈時,會在線圈中感應出磁場,磁場又會感應電流來抵制通過線圈中的電流。這種電流與線圈的相互作用關系稱為電感。電感是在電能量和磁能量的交互感應下,抵制電流變化的現象。目前,在傳熱學中沒有熱感的概念,對于熱場中是否存在某種作用能量或作用力可以與熱量交互變化,進而抵制熱量的變化仍是未知。

3.2 傳熱與導電機理的差異性

在非閉合的導電回路中,由于沒有放電通道,電壓存在穩定的階躍差。在閉合回路中,金屬導線上的各個位置均存在自由電荷,在沒有電場時電荷做無規則的熱運動,導線內建立電場后,自由電荷在電場作用下定向移動形成電流。電能的傳播速度實際上是電場的傳播速度,理論值等于光速3×108m/s。對于熱量的傳遞,存在熱絕緣層時,層內外溫度同樣存在階躍差。而從熱絕緣變為熱導通狀態后,傳熱在空間上不再受回路的限制,在溫度達到平衡前,熱交換過程可以持續,因而在無外界能量作用的情況下,相鄰物體的溫差是一個漸變過程。所以,即使遠距離的物體間能夠快速建立溫度差,也無法引起熱量的快速轉移,因此導電與傳熱過程在時間尺度上存在顯著差異。但需指出,熱輻射的傳播速度與電磁波相同,接近于光速。

4 熱-電遷移類比研究

不同現象的相似性可分為表面相似性與結構相似性[24-25]。由上述異同比較可知,傳熱學與電學屬于結構相似性,二者可通過類比法分析。類比法依據兩個現象的某種相似關系,可將一種現象的理論應用于另一種現象[26]。由于電路理論的建立簡化了電學中許多的復雜問題,為了簡化傳熱過程,可將電路遷移類比得到熱路。雖然電路和熱路的參量存在差異,但是多個參量存在對偶性,在一些短距離的熱量傳遞過程中,借鑒電路分析思想能夠快速建立對象的溫度計算分析方程,實現熱學工程問題的快速求解。

4.1 對偶參量

4.1.1 電壓與溫差 在穩態電場中,任意兩點間的電勢差稱作電壓,用來表示單位電荷位于電場不同電勢下所產生的能量差,通常用U表示,單位是伏特(V)。溫差為不含內熱源的恒定熱場中任意兩點間的溫度差,用ΔT表示,單位是開爾文(K)。

4.1.2 電流與熵流 電流通常用字母I表示,單位是安培(A);熵流通常用IS表示,單位是W/K。2.1節對此已詳細說明,不再贅述。

4.1.3 電阻與熱阻 電流在導體中流動會遇到阻礙,這種阻礙稱為電阻,電阻是描述導體導電性能的物理量,常用R表示,單位是歐姆(Ω)。熱量在導熱媒質中傳遞時受到的阻礙稱為熱阻,用RT表示[22],單位是K/W。導體的電阻一般與材料電導率、長度、橫截面積以及溫度有關,其中電導率σ是描述物質中電荷流動難易程度的參數,易受溫度影響,單位是S/m。導熱體的熱阻值與物質熱導率、厚度和面積等因素有關。熱導率是物質導熱能力的量度,又稱導熱系數,同樣與溫度具有強相關性,用符號λ表示,單位為W/(m·K)。

4.1.4 電容與熱容 電容是反映電容器容納電荷能力的物理量。一般來說,當導體之間存在介質,阻礙電荷在電場中的受力運動,使電荷在介質表面累積儲存,電介質在電場中儲存靜電能的相對能力通常用介電常數衡量,儲存的電荷量稱為電容,常用C表示,單位是法拉第(F)。相應地,材料存儲熱量的本領稱作熱容,通常表現為物質溫度的升高,用CT表示,單位是J/K。熱容的大小與材料本身的密度、體積及比熱容有關,其中比熱容用來表示物體的吸熱或散熱能力。電容和熱容在微觀上分別用電容率(介電常數)ε和比熱容c來表示。

將以上對偶參量匯總列于表1。如前文所述,電學中有電感的概念,而目前在傳熱學中沒有熱感的概念,在此沒有列出。

表1 電路與熱路的對偶參量

4.2 熱路模型

參照電學的RC電路模型,可以根據對偶參量構造傳熱學的RTCT熱路模型,如圖2所示。熱路模型可以合理地簡化并解釋復雜傳熱過程。熱源發熱引起回路溫度上升,在溫度差的驅動下發生熱量傳遞。熱量傳遞過程中部分材料溫度升高,可以用熱容表示材料的儲熱能力,部分材料由于阻礙作用耗散熱量,這部分阻力可視為熱阻,動態的產熱與散熱過程形成了穩定的熱流回路。需要指出,本文所述的熱路模型是通過類比直流電路得到的,交流(甚至高頻)電路如何類比得到對應的熱路模型、是否可以應用于傳熱領域以及適用于哪類應用場景等問題仍待探究。

(a)RC直流電路

(b)RTCT熱路圖2 電路與熱路的類比模型Fig.2 Analogical models of electric and thermal circuits

實際工程應用中,由于設備的結構和應用場景較為復雜,直接計算內部熱場分布運算量大、耗時長,現場實施較為困難,可依據上述分析與電路分析理論構建設備的簡化熱路模型進行快速計算。運用基于穩態電路歐姆定律與基爾霍夫電流定律對偶,得到適用于穩態熱路的公式[22]

RT=ΔT/IS

(13)

(14)

即可求解設備溫度分布,具體的工程實踐應用案例將在下文中給出。

5 結 論

本文在介紹遷移類比理論、傳熱學與電學發展淵源的基礎上,詳細分析了傳熱學與電學的相似性與差異性,通過遷移類比為傳熱學中部分問題的解決提供新思路,將傳熱問題利用電路分析思路遷移類比得到熱路模型,主要結論如下。

(1)在傳熱學與電學發展史中,遷移類比思想起到了重要的推動作用。以傳熱學與電學的中心物理量為基礎展開的對比分析發現,二者在基本物理量、物理量間的關系式、場概念、場方程及其邊界條件都具有相似性。

(2)傳熱學與電學的部分物理量(熱荷與電荷等)以及傳熱與導電機理上雖然存在差異,但是電路和熱路基本參量更體現出顯著的對偶性,使得熱學與電學類比的研究具有一定的理論基礎。

(3)基于傳熱學與電學中物理參量的對偶關系,依據熱-電類比理論建立的熱路模型,使復雜的傳熱過程得以簡化,可實現熱學工程問題的快速求解。

致謝:針對熱學和電學的關聯性,作者與西安交通大學能源與動力工程學院、熱流科學與工程教育部重點實驗室陶文銓院士和王秋旺教授進行了交流討論,促使了本文思路的形成和論文完成,在此向兩位老師表示誠摯的感謝。