噪聲不一致背景下脈沖串輻射源直接定位算法

鐘華,阮懷林,孫兵,龔燕

(國防科技大學電子對抗學院,230037,合肥)

Cramer-Rao bound; pulse train radiation source

無源定位通過被動接收輻射源信號,具有機動靈活且電磁隱蔽性強的特點,在軍事情報偵察、機載偵察、資源考察等領域作用日趨顯著。傳統的無源定位技術,主要包括測向交叉定位[1-2]、到達時間(TOA)定位[3-4]、時差(TDOA)定位[5-6]、頻差(FDOA)定位[7]以及同時利用多種定位方法的復合定位[8]等。

直接定位法(DPD)是近些年無源定位領域的熱門算法[9-24]。Weiss等人首次提出了DPD算法[9],利用多個觀測站,將目標的角度信息融合在陣列流型中,同時通過對接收數據進行離散傅里葉變換,將時延信息轉換為相位信息,便于數據的處理,算法初次實現了單目標的直接定位。文獻[10]研究了未知波形信號的DPD算法,結果表明MUSIC方法能有效降低算法的復雜度。文獻[11]對存在多徑效應、陣列誤差、相位誤差等情況下的DPD算法定位表現進行了研究。當輻射源發射的信號波形完全已知時,可以有效提高DPD算法的定位表現。Bar-Shalom和Weiss提出了一種針對OFDM信號的DPD算法[12],該算法將OFDM信號中的先驗信息和數據中的信息結合在一起,以獲得OFDM信號輻射源的極大似然估計值,相比于傳統的兩步定位法,該算法在低信噪比下更接近于克拉美羅界(CRLB)。當存在多個窄帶目標輻射源信號時,Weiss等人提出了針對多個窄帶信號輻射源的DPD算法[13],該算法以迭代方式實現ML標準。之后,Weiss等人將多普勒頻移用于DPD算法,運用速度和位置已知的運動接收站對輻射源進行定位,分別在信號已知和未知狀態下建立代價函數,最后尋找目標函數極值點對應的網格點,實現對輻射源的定位[14]。針對靜止輻射源,Weiss等人提出了一種用移動接收站觀測的基于時延和多普勒頻移的極大似然估計器[15],為了實現所提出的方法,所有的觀測信號必須輸送到一個處理中心進行后續信號處理。

同時,國內專家學者也對直接定位算法的應用進行了很多有意義的探索。文獻[20]先將接收到的輻射源信號劃分為多個非重疊短時信號段,再利用同一接收機接收到短時信號之間的相干性,進行直接定位處理。經過相干求和處理,定位精度會隨著兩個短時信號時間間隔的增加而提高。文獻[21]提出了一種確定波形條件下,直達與非直達環境中多目標直接定位算法。算法利用已知波形信息,將多目標問題轉換為單目標問題進行求解。該算法相對傳統兩步定位算法計算量更低,定位精度更高。文獻[22]提出了一種針對嚴格非圓源的直接定位算法,通過有限次迭代,將接收到的信號進行解耦處理,大大降低了計算的復雜度,同時文章推導了嚴格非圓陣的克拉美羅界。文獻[23]對恒定速度和恒定加速度的窄帶移動輻射源定位情況進行了研究,針對兩個運動模型提出了適合其特性的牛頓迭代算法,與多維網格搜索算法相比,該算法在不影響估計精度的前提下更有吸引力。文獻[24]使用多個接收機收集時延和多普勒拉伸信號來解決固定輻射源的定位問題,通過將寬帶信號高精度地分解為少量的低維信號,并結合信號的時延和縮放信息,提出了一種計算效率高的DPD算法。

以上列舉的直接定位算法均假定各接收機接收的噪聲是均值為0、方差恒定的高斯白噪聲,然而在實際偵察接收過程中,各陣元接收到的信號噪聲統計特性無法完全保持一致。一方面,由于各偵察站接收機的帶寬差異引起接收機內部噪聲強度不同。另一方面,各偵察站不同傳輸路徑損耗、接收天線的通道不一致性等因素干擾,都有可能造成各偵察站接收到的等效外部噪聲強度不同[25]。由于各偵察站接收到信號的等效信噪比不同,此時采用傳統的直接定位算法,輻射源定位精度會有所下降。

針對上述問題,本文主要研究噪聲功率不一致情況下采用多個移動偵察站對固定目標定位的最大似然估計算法。通常情況下,在討論噪聲時主要討論噪聲為高斯白噪聲的情況,現實中存在非高斯白噪聲的情況,將噪聲簡化為高斯白噪聲有利于算法建模過程中對數似然函數的簡化[25]。以確定性未知信號為模型,分別針對外部噪聲統計特性已知和未知兩種情況,建立對應的時頻域直接定位算法模型,并推導了信號和傳輸損耗未知時直接定位法的CRLB。與文獻[18]的經典直接定位算法相比,本文提出的算法充分利用了脈沖串信號的完備位置信息,通過多個脈沖間的時差頻差信息累加,達到更高的定位精度,同時,通過對不同信噪比強度的信號賦予不同的權系數,增加較高信噪比信號的定位貢獻,實現對目標輻射源的有效定位。

1 信號模型

第l個偵察站接收到輻射源的第m個脈沖信號為

rl,m(t)=alsm(fl,m(t-tl,m))·

exp{j2πfcβl,m(t-τl,m)}+wl,m(t)

(1)

式中:al為信號到達第l個偵察站的路徑損耗;wl,m(t)表示第l個偵察站接收到第m個脈沖信號時的復高斯白噪聲;τl,m表示第m個脈沖信號到達第l個偵察站的時間延遲,即

τl,m‖xl,m-p0‖/c

(2)

βl,m表示第m個脈沖信號到達第l個偵察站時的尺度變換因子,即

(3)

考慮到βl,m對信號包絡的影響可以忽略不計,將式(1)化簡為

rl,m(t)=alsm(t-τl,m)exp{j2πfc(t-τl,m)}·

exp{j2πfl,m(t-τl,m)}+wl,m(t)=

alym(t-τl,m)exp{j2πfl,m(t-τl,m)}+wl,m(t)

(4)

對偵察站接收信號進行采樣,得

rl,m(tl,m,nT)=alym(tl,m+nT-τl,m)·

exp{j2πfl,m(tl,m+nT-τl,m)}+wl,m(nT)

n=1,…,N

(5)

式中:N表示各脈沖的采樣數;T是采樣周期。對式(5)改寫,得

rl,m(tl,m,nT)=alym(tl,m+nT-τl,m)·

exp{j2πfl,m(tl,m+nT)}·

exp(-j2πfl,mτl,m)+wl,m(nT)

(6)

結合傅里葉變換相關性質,rl,m可以表示為

rl,m=alDfl,mFHDrl,mFym+wl,m=

Gl,mym+wl,m

(7)

式中

Dfl,m=diag{exp(j2πfl,m(n+(tl,m-τl,m)1N))}

Gl,m=alDfl,mFHDτl,mF

ym=[ym(1),ym(2),…,ym(N)]T

rl,m=[rl,m(1),rl,m(2),…,rl,m(N)]T

wl,m=[wl,m(1),wl,m(2),…,wl,m(N)]T

為了表述方便,定義如下向量

(8)

(9)

Gl=diag[Gl,1,Gl,2,…,Gl,M]

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

綜上所述,得

r=Gy+w

(15)

2 定位算法

2.1 噪聲一致背景下的直接定位算法

傳統的直接定位算法都是假設各偵察站接收的噪聲是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。此時,多站時頻域ML-DPD算法為

LML(ξ)=λmax(QML)

(16)

式中:λmax(·)表示計算矩陣的最大特征值;QML表示一致噪聲下的互模糊矩陣

(17)

其中

(18)

對于矩陣QML,其第(l,k)個元素表示偵察站l和偵察站k的互模糊函數,即

(19)

從式(19)可以看出,噪聲一致情況下的ML-DPD算法將各偵察站接收到的信號看作是等價的,沒有考慮各偵察站接收到信號的噪聲不一致情況?？紤]若是將較高信噪比信號對定位的貢獻提高,將較低信噪比信號對定位的貢獻降低,此時得到的定位結果將會更優。下面將重點研究噪聲不一致背景下的直接定位算法。

2.2 噪聲不一致背景下的直接定位算法

ξ[Re{yT},Im{yT},aT]T

(20)

式中

(21)

忽略對數似然函數的常數項,則多站相參脈沖串直接定位的對數似然函數為

(22)

求對數似然函數關于y的偏導數,得

(23)

式中

(24)

(25)

(26)

將式(26)代入式(22),得到關于a的函數

(27)

令

(28)

此時,式(22)最大值問題可以轉化為

(29)

考慮若將a看作矩陣Q的一個特征向量,此時L1(a)的最大值對應著矩陣Q的最大特征值。式(27)可以表示為

L2(p0)=λmax{Q}

(30)

(31)

(1)利用傳統直接定位算法估計目標輻射源的初始位置p0和系統傳輸損耗向量a;

(2)利用估計得到的目標輻射源初始位置計算時延矩陣G;

(32)

3 克拉美羅界

參數估計精度的理論下界是克拉美羅下界,可以通過費舍爾信息矩陣(FIM)求逆得到,針對噪聲一致背景下的直接定位算法,關于ξ的FIM可以表示為

(33)

式中

(34)

得

(35)

式中

(36)

(37)

由于位置信息p0和時間延遲、多普勒頻移均有關,因此可得

(38)

式中

綜上,得

(39)

觀察式(39)可以看出,很難對Jξ矩陣求逆,可以考慮利用分塊矩陣的性質對Jξ進行分塊處理[26]。本文中,感興趣的是目標輻射源定位精度,結合式(21),即可以通過計算變量α的FIM矩陣,得到定位精度的CRLB,有效降低了計算復雜度。利用分塊矩陣得到僅關于α的FIM矩陣

(40)

式中

(41)

(42)

(43)

(44)

通過對矩陣Ia取逆,即得到關于輻射源位置p0的CRLB。

4 仿真分析

為了充分驗證本文所提噪聲不一致背景下的多站時頻差最大似然估計算法的有效性,本節進行仿真實驗。將本文所提的外部噪聲特性不一致且噪聲參數已知條件下時頻域直接定位算法(NWO-DPD)、外部噪聲特性不一致且噪聲參數未知條件下時頻域直接定位算法(UN-NWO-DPD)與文獻[18]提出的外部噪聲特性一致且噪聲參數已知條件下的經典DPD算法(ML-DPD)進行對比,仿真實驗的相關參數參考文獻[18]設置。

4.1 定位結果對比圖

假定觀測區域內目標位置為p1=[100,80]Tkm,脈沖重復時間間隔20 ms,帶寬10 MHz,脈寬2 μs。接收機分別從x1=[0,0]T、x2=[200,0]Tkm、x=[0,200]Tkm和x4=[200,200]Tkm處沿X軸以300 m/s速度飛行。接收機的采樣頻率為fs=100 MHz,采樣快拍數為N=512,累計觀測脈沖數Kp=128。假設1～4號接收機接收信號的信噪比強度分別為-5、-2、0、8 dB。圖1分別給出了3種算法定位結果對比。

(a)ML-DPD算法

(b)本文NWO-DPD算法

(c)本文UN-NWO-DPD算法圖1 3種算法定位結果對比Fig1 Comparison of localization results of three algorithms

從圖1可以看出,3種定位算法中,本文提出的兩種噪聲不一致背景下的優化算法優勢更加明顯。無論是在噪聲參數已知還是未知的情況下,均能夠得到更好的定位效果。圖1a中的目標輻射源由于旁瓣干擾,定位結果與真實位置存在一定偏差,同時,在目標主峰周圍存在一定數量的偽峰,影響定位精度。圖1b和圖1c中的目標輻射源位置清晰,定位結果與真實位置一致。其中,NWO-DPD算法僅存在略微的旁瓣影響,而UN-NWO-DPD算法在主峰周圍存在有限數量的偽峰,距離主峰較近,和ML-DPD算法相比,偽峰對定位誤差的影響較小。兩種優化算法通過對不同信噪比下的信號進行加權處理,增加高信噪比信號的權系數值,減少低信噪比信號權系數值。相對于ML-DPD算法,高信噪比信號對定位結果的影響更大,定位結果的表現也就越出色。同時,從整體的定位表現來看,NWO-DPD算法的峰值點也更加突出,旁瓣壓制更好。主要是由于NWO-DPD算法是利用真實的噪聲方差值進行定位,而UN-NWO-DPD算法的噪聲方差值僅能通過估計得到,與真實噪聲方差值之間存在偏差。

4.2 定位誤差橢圓

圖2是在上述仿真條件下,對3種算法進行100次Monte Carlo實驗得到的定位結果分布和95%誤差橢圓。圖中的搜索區域范圍為10 m×10 m方形區域,網格點大小為0.02 m×0.02 m。

(a)ML-DPD算法

(b)本文NWO-DPD算法

(c)本文UN-NWO-DPD算法圖2 3種算法定位結果分布和95%誤差橢圓圖Fig.2 Location result distributions and 95% error ellipses of three algorithms

觀察圖2a可以看出,ML-DPD算法的誤差橢圓最大,同時定位均值也離真實輻射源位置較遠,為有偏估計。從圖2b和圖2c可以看出,噪聲不一致背景下的優化算法定位結果基本圍繞在真實值附近。同時,NWO-DPD算法的定位誤差橢圓略小于UN-NWO-DPD算法。其中,NWO-DPD算法定位誤差的均方根值為1.863 m,UN-NWO-DPD算法定位誤差的均方根值為2.282 m。這主要是由于UN-NWO-DPD算法在對各偵察站接收噪聲的方差進行估計時引入了誤差。整體來看,本文所提兩種算法得到的定位結果均值與真實值保持一致,均為無偏估計。

4.3 觀測脈沖數對定位誤差均方根的影響

假設觀測脈沖數Kp的變化范圍是60～180,其余條件同4.1節仿真,3種算法的定位誤差均方根及克拉美羅界隨觀測脈沖數Kp變化的曲線圖如圖3所示。

圖3 3種算法定位誤差與克拉美羅界隨觀測脈沖數變化的曲線圖Fig.3 RMSE of three algorithms and CRB vs pulse number curves

從圖3可以看出:隨著觀測脈沖數的提高,3種算法的定位誤差均方根均呈現下降趨勢;相同觀測脈沖數條件下,NWO-DPD算法的定位精度最高,ML-DPD算法的定位精度最低;隨著觀測脈沖數的提高,NWO-DPD算法的定位誤差均方根逼近CRB。通過以上分析可以看出,在信噪比較低且算法定位效果不理想時,可以通過提高觀測脈沖數有效提高定位精度。

4.4 信噪比對定位誤差均方根的影響

假設1-3號接收機接收信號的信噪比強度分別為-5、-2、0 dB,4號接收機信噪比從-10 dB變化到15 dB,其余條件同4.1節仿真,3種算法的定位誤差均方根及克拉美羅界隨信噪比變化的曲線圖如圖4所示。

圖4 3種算法定位誤差與克拉美羅界隨信噪比變化的曲線圖Fig.4 RMSE of three algorithms and CRB vs SNR curves

從圖4可以看出:噪聲不一致背景下的優化算法定位精度明顯優于ML-DPD算法;在信噪比變化范圍內,隨著信噪比提高,定位精度有效降低;當4號偵察站信噪比在0 dB附近時,3種定位算法的定位精度均提高較為明顯;當信噪比高于10 dB之后,即使信噪比提高,ML-DPD算法的定位精度變化不明顯,與其他兩種算法相比,定位精度差距較大。整體來看,4號偵察站信噪比相同時,NWO-DPD算法定位誤差最小,并且在信噪比較高時,定位精度逼近CRLB。

5 結 論

(1)本文針對外部噪聲參數已知和未知兩種情況,提出了噪聲不一致背景下多站時頻差最大似然直接定位算法。

(2)算法充分利用了脈沖串信號的位置信息,實現了多個脈沖間的時差頻差信息累加,同時給高信噪比信號賦予更高的權系數,有效提高了定位精度。

(3)本文算法與傳統的直接定位算法相比,在信噪比較低時,能有效抑制旁瓣高度,控制偽峰數量,定位誤差較低。

(4)NWO-DPD算法利用真實的噪聲方差值進行定位,在相同條件下,可以取得比UN-NWO-DPD算法更優的定位效果。

(5)仿真實驗進一步驗證了本文算法在高信噪比條件下可以逼近克拉美羅界。