高中數學解題中構造法的應用

劉光宇

(福建省三明市永安一中366000)

構造法是指基于對問題本質的深入理解，通過積極聯系所學，構造出熟悉的問題，進而順利求解問題的一種方法.應用構造法解答數學習題的技巧性較強，難度較大，為增強學生的學習自信，應注重與學生一起分析構造法的應用，使學生掌握相關的應用細節，真正的掌握這一方法，并熟練的用于解答相關數學習題.

一、用于證明不等式問題

不等式是高中數學的重要知識點，習題類型靈活多變，尤其證明類的問題在學生平時訓練以及測試中出現頻率較高.不等式證明類問題的解題思路多種多樣，其中運用構造法進行解答，不僅能深化學生對所學知識的理解，而且能夠很好的鍛煉學生思維的靈活性，使其掌握證明不等式的又一方法.如在課堂上可與學生一起分析如下習題：

該題目雖然使用其他方法能夠證明出最終的結論，但是相對來說較為繁瑣，而且不容易理解.課堂上可啟發學生聯系所學的一元二次方程知識，運用構造法進行證明，同時還要注重觀察學生的證明思路，給予針對性的指引.最終經過認真思考以及教師的啟發，學生運用構造法成功的完成了證明，過程如下：

∵a3-b3=a2-b2，且a≠b，則a2+b2+ab=a+b，即(a+b)2-ab=a+b

設a+b=m，則ab=m2-m，可知a、b為方程x2-mx+(m2-m)=0的兩不等正根.

二、用于求解三角函數問題

三角函數在高中數學中占有重要地位，是高考的必考知識點.教學中為拓展學生視野，應結合學生實際情況，設計能夠應用構造法求解的三角函數問題.在課堂上為學生展示具體的解題過程，并注重給學生預留一定的空白，要求學生認真反思，思考從解題中獲得的啟發，更好的掌握運用構造法解答三角函數問題的規律.

很多學生看到該題目，對已知條件進行展開，但是經過繁瑣的運算后發現，并不能解出α、β的值.當學生百思不得其解時，為學生展示如下運用構造法求解的過程：

三、用于解決導數問題

導數是高中數學的重點、難點知識，部分習題難度較大，無法采用常規思維求解，而使用構造法往往能很好的加以突破.教學中為提高學生運用構造法解決導數問題的能力，既要為學生總結解決導數問題時常用的構造思路、構造技巧以及不同構造思路、技巧的適用題型，又要組織學生開展專題訓練活動，使學生在訓練中犯錯、糾錯，逐漸的掌握構造法的應用技巧.如可組織學生圍繞以下習題，開展訓練活動：

設函數f(x)在R上的導函數為f′(x)，對任意的x∈R，都有f(x)+f(-x)=x2，且在(0，+∞)上滿足f′(x)-x<0，若f(4-m)-f(m)≥8-4m，則實數m的取值范圍為( ).

A.[2，+∞) B.(-∞，2]

C.(-∞，2]∪[2，+∞) D.[-2，2]

該題目難度較大，課堂上既要鼓勵學生聯系所學的構造法的理論知識，又要鼓勵學生相互討論，并給予學生適當的點撥，使其能夠透過現象看本質，順利的突破該題.

∵f(x)+f(-x)=x2，∴g(-x)+g(x)=0，即函數g(x)為奇函數.

對g(x)求導得到g′(x)=f′(x)-x，∵在(0，+∞)上滿足f＇(x)-x<0，∴g(x)在(0，+∞)上為減函數.由奇函數性質可知g(x)在(-∞，0)上也為減函數.

四、用于解答數列問題

高中數學數列部分知識點較為零碎，對學生的邏輯推理能力是有一定要求.解答數列問題時既要注重靈活運用數列的相關性質、計算公式，又要具備靈活的頭腦，充分運用已知條件構造新的數列，以更好的找到遞推規律，化陌生為熟悉.為使學生養成運用構造法解答數列習題的習慣，在課堂上可以為學生講解如下習題：

A.2018 B.2019 C.2020 D.2021

認真審題可知，該題目無法直接套用所學的前n項公式計算.但是根據給出的等式關系，可換個角度進行分析，即構造新的數列，求出前2021項和之后代入要求解的式子即可.

構造法是解答數學問題的一種重要方法.高中數學教學中應充分認識到構造法的重要性，尤其為提高學生的解題能力，應注重為學生系統地講解構造法理論以及具體應用，使學生掌握運用構造法解答不同題型的注意事項以及相關細節，吃透構造法精髓，從而做到在解題中真正的能夠舉一反三.