一道2020年高考圓錐曲線試題的探究與推廣

喻秋生

(廣東省深圳實驗學校高中部 518055)

一、問題的提出

2020年高考(北京卷)第20題是求值問題，該試題如下：

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖1，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k(x+4)，

把y1=k(x1+4)，y2=k(x2+4)代入上式化簡，得

在這道試題中，橢圓C是給定的橢圓，點A、B分別是橢圓C、x軸上的特殊點，通過計算發(fā)現點B為PQ的中點.如果橢圓C是任意的橢圓，點A、點B分別是橢圓C、x軸上的任意點，是否仍然有對任意過點B的直線l，都使得點B為PQ的中點這一結論呢？

二、問題的探究

當直線l垂直于x軸且與橢圓有交點時，點P,Q即為M,N，點B為PQ的中點.

①

∵m-x0≠0，2y0，m-x0為常數，

∵y1=k(x1-m)，y2=k(x2-m)，

②

在結論1中，點B在x軸上，如果點B在y軸上，可以得出下面的結論，證明過程略.

在圓中，經研究也有類似的結論：

結論3 已知圓C:x2+y2=r2，點A(x0,y0)在圓C上，過點B(m,0)(m≠x0)的動直線l與圓C交于M,N，直線MA,NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P,Q.當且僅當mx0=r2，即直線AB為圓C的切線時，點B為PQ的中點.

三、問題的推廣

如果曲線C為雙曲線或拋物線，經研究也有類似的結論：

結論6 已知拋物線C:y2=2px，點A(x0,y0)在拋物線C上，過點B(m,0)(m≠x0)的動直線l與拋物線C交于M,N，直線MA,NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P,Q.當且僅當m+x0=0，即直線AB為拋物線C的切線時，點B為PQ的中點.

上面三個結論的證明與結論1的證明類似，證明過程略.