解析幾何最值問題求解的基本思路探究

李莉莉

(四川師范大學附屬中學 610000)

一、聯系平面幾何知識求解解析幾何的最值問題

有一類解析幾何問題會與平面幾何的知識建立密切的聯系，同學們需要借助題目中的已知條件建立坐標系，并尋找目標函數，然后將平面圖形的解析式與解析幾何的解析式放在坐標系中，尋找兩個圖象之間的關系，再利用求解函數最值問題的方式尋找問題的答案.

分析題目中給出了橢圓曲線的方程，同學們需要先找到橢圓的焦點，然后判斷橢圓與直線方程的位置關系，之后可將問題進行轉化，可將題目中的“橢圓D的長軸最短”這個已知條件通過分析轉化為求解在直線l上求點P并使得|PF1|+|PF2|最小，從而求解題目要求.

解由題目已知條件可知橢圓D的焦點為F1(-3,0)、F2(3,0).設存在點F1(x,y)是點F1(-3,0)關于直線l的對稱點，可以解得F1坐標為(-9,6).

在坐標系上連接F1F2，則直線F1F2與直線l的交點為P，如圖所示.

又因為點P在橢圓D上，將P點坐標帶入可得λ=33

二、結合圓錐曲線定義及相關性質求解解析幾何的最值問題

在高中數學中常見的解析幾何問題有橢圓、雙曲線、拋物線等等，相關的性質、定義在課堂上都有幫助同學們進行總結，在日常練習的時候需要同學們準確地把握相關的知識，靈活的運用解決解析幾何的最值問題.而在運用定義和性質解決相關圓錐曲線問題時，可能會在圖線中出現三角形，同學們要切記可以使用三角形的相關性質解答，該性質為：“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.”例如下面這道題.

例2假設線段AB的長固定不變為3，假設線段AB的兩端都在拋物線y2=x上移動，如果線段AB的中點為M，試著求解點M到y軸的最短距離，并且求出此時點M的坐標具體為多少.

分析：題目中給出的拋物線方程式的圖象為開口向右的在第一象限和第四象限的圖象，而且題目中的已知條件可得AB在拋物線上移動但AB連接的線段的長是固定不變的.同學們首先需要求出拋物線的焦點F，然后將圖象上的A、B、F三點連接成一個三角形，試著將問題進行轉化，從而確定線段AB的位置.

解根據題目條件可設拋物線的焦點為F，準線為l，分別作AC、BD、MK垂直于準線交準線l在點C、D、K上，如圖所示：

則根據題目條件可知

即當線段AB是過F點的弦時，

|AF|+|BF|=|AB|

則此時點M到y軸的距離最短.

三、建立目標函數求解函數的最值

求解圓錐曲線的最值問題可以將題目轉化為求解函數的最值問題，因為圓錐曲線方程本質上來講也是一種函數的存在形式，所以同學們可以建立相關的目標函數，根據題目的要求對題目問題進行轉化，從而簡化解題的過程，提高解題的準確性.

分析這道題目中，同學們首先應該根據題目中給出的相關條件設出題目中方程的形式，分別將拋物線的方程和頂點用未知數的方式設出來，然后根據相關的點求解點到直線的距離，將問題轉化為函數的最值問題，從而得出拋物線的方程和直線方程.

解根據題目可知拋物線C的頂點坐標為(a,0)，且a<0，

因此拋物線的方程為y2=2(-2a)(x-a),即y2=-4a(x-a).

將直線l與拋物線C的方程聯立可得

x2+(2m+4a)x+m2-4a2=0

該方程判別式Δ=(2m+4a)2-4(m2-4a2)>0，解得：

由弦長公式可得

故△AOB的面積為

當且僅當-4a-2m=m,即m=2時(適合m<-2a的要求)S△AOB的面積最大.

解析幾何中的最值問題的常用方法還有很多，希望各位同學能在遇到相關題目時注意總結，注意建立目標函數，準確地把握解析幾何的相關定義和性質，從而利用函數的相關知識求解最值，提高學生的解題能力，讓同學們學過的知識都能達到融會貫通的程度.