由一道課本練習題引發的多角度探究

賀鳳梅

(新疆伊犁州鞏留縣高級中學 835400)

一、問題展示

人教A版數學選修2-1第72頁練習第題：過點M(2，0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于A、B兩點，求|AB|.

二、總體分析

三、試題解答

1.利用兩點間的距離公式求解

分析這種解法的的關鍵是聯立直線與拋物線的方程組成的方程組，求出方程組的公共解，即得兩交點的坐標，再代入兩點間的距離公式求解，便可以得出弦長.

由兩點間的距離公式得

整理得y2-4y-8=0,

評注解法1和解法2的解題啟示是：運用兩點間的距離公式求弦長時，根據直線的特點，可以靈活選擇消去或消去,當然是以方便求解為原則.這種方法學生比較容易想到，通過此種求解過程，可以鍛煉和提高學生的計算能力.

2.利用弦長公式求解

分析這種解法的的關鍵是聯立直線與拋物線的方程組成的方程組，消去x或者消去y，由根與系數的關系得出兩根之和以及兩根之積，代入相應的弦長公式，便可以求出弦長.

解法3由解法1，有x2-8x+4=0，由根與系數的關系得x1+x2=8,x1x2=4,直線斜率k=1,再代入弦長公式

由直線y=x-2方程變形得x=y+2,

代入拋物線y2=4x方程，消去x，得

y2=4(y+2),

整理得y2-4y-8=0,

可知y1、y2是以上關于y的方程的產根，由根與系數的關系得y1+y2=4,y1y2=-8,

代入對應的弦長公式

評注解法3和解法4比較而言，學生比較容易想到的是解法3，如果選擇使用弦長公式求解，需要給學生講清楚的是聯立方程得到的方程組消元時，同樣需要根據直線方程的特點，以方便求解為前提條件.

3.構造直角三角形，由邊角關系求解

分析這種解法的關鍵是根據題目條件，數形結合，找到直線與拋物線兩交點的縱坐標(或橫坐標)、弦長以及直線傾斜角之間的聯系，在所構造的直角三角形中求解完成.

由解法4得

4.利用直線的參數方程求解

分析這種求解方法的關鍵是利用直線參數方程的幾何意義，當直線參數方程為標準型時，將直線的參數方程中的x和y代入拋物線方程，得到關于t的一元二次方程，借助根與系數的關系(韋達定理)，以及|AB|=|t1-t2|，可順利求解完成解答.

設A、B兩點的參數分別為t1、t2，由參數的幾何意義得

評注用此法求弦長時，一定要明確直線參數方程中是否具有幾何意義.若具有幾何意義,可直接求解;若不具有幾何意義，一定要進行變形，求出具有幾何意義的直線參數方程，方可求解.

變式將直線l所經過的點改為(1,0),即經過拋物線的焦點F，這道題就是人教A版選修2-1課本第69頁的例4.

現作為解法8和解法9簡述如下：

5.利用拋物線的定義求解

分析此解法的關鍵是直線經過拋物線的焦點，根據拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，轉化求解即可完成.

|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB

=x1+x2+p=x1+x2+2

直線方程為y=x-1,

x2-6x+1=0，由根與系數的關系x1+x2=6,

于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.

評注此法只要求出兩點A、B的橫坐標之和x1+x2，就可以求出弦長|AB|.

6.利用拋物線的焦點弦求解

解法9由于直線經過拋物線y2=4x的焦點F，所以可以由拋物線的焦點弦公式求解.

代入拋物線方程中y2=4x，

化簡并整理得

由弦長公式

因此，利用焦點弦公式求得

評注此解法在高三總復習的一些參考資料上出現過，原則上這種方法做解答題時需要證明結論的正確性才可以使用.不過做選擇題或填空題還是比較方便和快捷的.

四、解后反思

這道練習題和相關聯的例題是一道容易題，但卻是一道好題.它蘊含著豐富的數學思想方法，考查了學生的運算求解能力，數形結合思想，以及化歸轉化等方法.在平常的解題中，要引導學生運用所學知識，多角度多方位進行思考，從而獲取不同的解法.在平時的解題教學中，一定要跳出定勢思維的束縛，提倡一題多解，可以從代數方面進行思考和突破，也可以從幾何方面入手，運用數形結合來解決.當然，一定要引導學生重視教材，培養學生研究教材的興趣，讓學生清楚地認識到教材的重要性，同時培養學生的探索精神,還能達到觸類旁通、舉一反三的效果.