借助逆向思維 解答數學難題

郎烈駿

(安徽省廬江第四中學 231500)

逆向思維又稱求異思維，是對似乎已成定論或司空見慣的觀點或事物從相反視角思考的一種思維方式，從思維的對立面方向思考和探索，繼而創立新形象和形成新思想.在初中數學解題訓練中，當出現難題時，采用常規方法無法處理時，教師可提示學生基于逆向視角切入，重新審視題目內容，使其極力發揮個人思維優勢，最終輔助他們順利解答數學難題.

一、打破題目固有順序，借助逆向思維解題

針對初中數學解題教學來說，學生的思考與處理通常會受到固定思維的影響，喜歡按照一樣的步驟完成解答，由于通過多次重復性聯系，他們的個人思維模式慢慢成型，難以轉換過來.初中生采用這樣方法處理簡易題目時可能非常有用，當遇到難題時就極易陷入到困境當中，無法準確找到突破口，這時數學教師可引導學生打破題目的固有順序，把題設內容顛倒過來，使其借助逆向思維來解題，從而提升他們解題的實際效果，有效處理數學難題.

二、借助逆向思維優勢，反面思考解答難題

逆向思維是相對于正向思維而言的，在日常生活中，人們通常習慣于沿著事物發展的正方向思考問題且尋求解決辦法，當遇到障礙時，可從反面視角出發，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許能讓問題變得簡單化.在初中數學解題教學中，對于難題的解題而言，當從正向視角思考很難解決時，教師就可鼓勵學生借助逆向思維優勢，嘗試進行反面思考，重新整理題干信息，把難題變得簡便且易于處理，幫助他們正確求出難題的答案.

例2當取什么實數時，拋物線y=-x2+(m-2)x+m-5的頂點不在第四象限？

分析當拋物線的頂點“不在第四象限”時，所指的范圍相當廣泛，不僅其它三個象限均可，還可以在橫縱向軸上面，假如學生對這幾種情況進行逐個討論，結合各種情況下的結果求出m的集合，再確定共同的部分，這樣討論范圍比較大，他們很難精準無誤的計算.所以說教師可以指導學生借助逆向思維優勢反面思考這一試題，直接求出拋物線的頂點在第四象限時實數m的集合，再剔除這部分，就是題目答案，顯得較為簡便.

三、運用反證逆向思維，順利處理數學難題

反證法屬于間接證明方法中的一種，當處理某些難題用直接證法比較困難時，往往使用反證法.在初中數學解題訓練中，針對不少難題的解答，教師可指引學生運用反證法處理題目內容，即為對逆向思維的應用，使其從結論的反面展開思考、分析、交流與探討，由此降低題目的難度，讓他們在訓練過程中慢慢形成逆向思維，能夠準確處理數學難題.

例3如圖1所示，已知點D與點E分別是AB與AC上面的點，BE與CD交于O點，假如OB=OC，AD=AE，嘗試說明OD=OE.

圖1 圖2

分析處理本題時如果學生基于正面視角出發，需要考慮的方面較多，難度較大，要先畫一個輔助圓，經過A、B、C三點，再結合全等三角形的相關性質說明.教師可提示學生借助逆向思維依靠反證法嘗試說明，假如OD與OE不相等，當OD∠3，從中推斷出∠BDO>∠3，依據∠EDO>∠1，∠1=∠2，∠2<∠DEO得出∠EDO>∠DEO，說明∠BDO+∠EDO>∠3+∠DEO，則∠BDE>∠CED.另外，∠BDE與∠ADE、∠CDE與∠AED均是互補關系，說明∠ADE<∠AED，AEOE時，運用同樣的方法說明AD>AE，也與題設條件不符，故說明OD=OE.

四、基于結論視角切入，借助逆向思維證明

初中數學解題訓練主要分為代數與幾何兩大部分，幾何證明類問題作為一種比較常見的題型，同樣存在著不少難題，不過無論題目難易程度如何，往往需要從兩個方面切入.一方面是利用題目中給出的已知條件，通過正向推理以后就能夠輕松得出結論.另一方面是從待證的結論著手，思索為證明結論所需的具體條件，及現存與缺失條件，假如發現條件不足的話，教師引導學生基于結論切入，使其借助逆向思維證明，讓他們推理出結論與條件的契合.

例4如圖3所示，已知在△ABC中，D與E都是AC邊上的點，且AB=AD，BD是∠CBE的角平分線，請證明AD2=AE·AC.

圖3

在初中數學解題訓練活動中，教師應保證學生具備扎實而豐富的“雙基”知識為前提，有意引領他們借助逆向思維優勢處理與解答數學難題，這對克服思維呆板與思維定勢來說有著積極意義，使其擺脫固有思維的限制與束縛，思維變得更為靈活，最終突破難題障礙.