探索輪換方程組問題的解法

曾溢唐 指導教師：吳姚新

(上海市民辦新華初級中學 200080)

一、基本對稱式法

首先定義三元基本對稱式為x+y+z，xy+xz+yz，xyz.

④×⑤×⑥：(a-b)(b-c)(c-a)=a2b2c2(a-b)(b-c)(c-a).

由此，有以下2種情況：

(1)當a=b時，代入④得b=c，則a=b=c.

代入①易得此時，a2+b2+c2=6.

(2)當a≠b時，同理有a≠b≠c，則a2b2c2=1⑦，即abc=±1⑧.

結合恒等式：

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc，

得(a+b+c)(ab+bc+ca)=2abc

結合⑧、⑨、⑩，可得三元基本對稱式關系如以下4種情況：

又由不等式(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c).

此時，a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=6.

綜上，a2+b2+c2=6.

說明：在解三元基本對稱式時，應先利用不等式(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)排除不可能的情況.

例2 求證：存在互不相等的三個實數a、b、c使得三個方程x2+ax+b=0 ①、x2+bx+c=0 ②、x2+cx+a=0 ③無公共根，而任意兩個方程恰有一公共根，并求出此時a2+b2+c2的值.

解由題意可設x2+ax+b=0的兩根為x1、x2，x2+bx+c=0的兩根為x2、x3，x2+cx+a=0兩根為x1、x3.

由根的定義：

因為①、③有公共根x1，

所以x12+ax1+b=0 ④，

x12+cx1+a=0 ⑤.

所以x1x2x3=-1 ⑥.

由韋達定理知:

abc=(x1x2x3)2 =1⑨.

此時問題與例1基本相同，筆者不再重復.

例1例2是解三元的輪換對稱方程組，若輪換方程組不對稱該如何處理？現在以例3為例：

二、不等式法

解由①得：x(xy-1)=2(yz-1)④.

由②得：y(yz-1)=2(zx-1)⑤.

由③得：z(zx-1)=2(xy-1)⑥.

④×⑤×⑥：xyz(xy-1)(yz-1)(zx-1)=8(xy-1)(yz-1)(zx-1).

(1)當xy=1時，易得yz=1，zx=1.

(2)當xy≠1時，易得yz≠1，zx≠1，則xyz=8⑦.

引理a3+b3+c3≥ab2+bc2+ca2.

引理證明 不妨設max{a,b,c}=a.

(1)當a≥b≥c時,a2≥b2≥c2.

則由排序不等式(順序和≥亂序和)有

a3+b3+c3≥ab2+bc2+ca2⑧.

(2)當a≥c≥b時，類似可證.

引理證畢.

代入①+②+③得：

即4a3+4b3+4c3+3abc=a2c+b2a+c2b+4ac2+4ba2+4cb2⑨.

由舒爾不等式：a3+b3+c3+3abc≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2⑩.

⑧×3+⑩：4a3+4b3+4c3+3abc≥a2c+b2a+c2b+4ac2+4ba2+4cb2.

結合⑨得不等式恰好取等，等號成立當且僅當a=b=c，此時x=y=z=2.

說明：由于本題方程組不對稱，不易求出另外兩個基本對稱式.而容易發現x=y=z=2為方程組的解，考慮通過取等條件應用不等式法求解.