構造法在高中數學圓錐曲線解題中的應用

福建省永定第一中學 吳玉輝

在高中數學教學中，圓錐曲線是一個難度較大的知識模塊，由于其計算起來比較繁瑣，思路復雜，所以也是考試中容易失分的一個部分。有些圓錐曲線試題具有較強的技巧性，要應用更加靈活的方法才能正確地解答。構造法是解圓錐曲線試題中的一種常用方法，能夠在解題過程中收獲良好的效果。

使用構造法的前提是讓學生首先明白題目提出的條件是什么，挖掘以往所學的數學知識，巧妙地融合參數等相關內容，最終能夠順利解題。運用構造法需要學生具備較強的解題能力、分析能力，并擁有一定的解題經驗。所以要想熟練掌握，需要投入一定的時間與精力。在教學過程中，教師要分析學生有著怎樣的學習水平，在教學中巧妙地滲透構造法相關知識技巧，通過這種題目的練習，引導學生更加熟悉構造法，讓學生明白如何具體應用構造法，并進一步啟發學生思維，拓展其解題思路，準確地將數學思維方法傳授給學生，構建代數與幾何之間的橋梁。

一、構造法在高中數學解題中應用的必要性

構造法是以原有題型為基礎，對其實施條件或結論提出假設，并通過數學中各種理論、基礎公式的應用構造出滿足題型所需條件或結論的一種數學模型。通常，這一模型的產生主要是根據原有題型做出的一種假設，從而實現解決問題的目的。使用構造法，能夠讓學生做到心中有數。構造法是一種獨特的劃歸手段，能夠在解題過程中發揮重要作用。在實際應用中，構造法常會通過圖形的模式更加直觀地表現已知量，這也是解開題型的關鍵所在。首先，根據某一角度確定論證出發點，依據數形結合思想尋找解題的突破點，從而達到技巧性解題的目的。在具體應用過程中，構造法不只停留于圖形這一層面，同時也會應用到函數、方程、不等式等方法，這些構造法在具體應用中也發揮著至關重要的作用。函數與方程是高中生比較熟悉的一種解題思維，同時也是構造法的常用輔助工具，所以，學生在實際解題過程中不僅能加強所學知識，而且也能夠鞏固以往所學的種種數學知識。構造法最終會通過構造模型解決問題，而構造模型的應用能夠鍛煉學生的創新思維，提升學生的思維能力。

二、構造法在高中數學圓錐曲線解題中的應用

（一）構造圖形在解題中的應用

數學是一門基礎學科，高中數學的難度在不斷增加，學生需要面對較難解決的問題。構造法在高中數學解題中的應用比較普遍，使用構造法會使復雜的問題變得簡單，使抽象的問題變得形象，極大地強化高中生解題信心，提升其解題熱情，提高解題效率。構造圖形是根據題目的描述綜合所學知識繪制數學圖形，直觀地表現題干描述中的參數或者隱含的參數關系，從而找到解題的突破口。通過相關實踐表明，在圓錐曲線解題中應用構造圖形可以提高解題效率，使解題步驟更加簡潔。如果學生掌握了這一解題方法，就能夠有效地增強學生解題能力。為了讓學生充分掌握這一方法的應用，教師應當讓學生了解一些常用的構造方法，如構造直角三角形、圓形、添加輔助線等等，另外，帶領學生推導構造圖形的相關結論，將其直接應用于圓錐曲線的填空題或選擇題中，提高解題效率。教師不僅要講解構造法相關的理論知識，也要精選經典例題，讓學生通過例題的精練熟悉構造法的應用，幫助學生認識到使用構造圖形為解題帶來的便利，并學會使用最恰當的構造圖形方法，為進一步靈活應用打下良好的基礎。

（二）構造命題在解題中的應用

一般，圓錐曲線試題中缺少明確的依據，必須要經過對相關命題的推導與總結，通過命題進行解題。在圓錐曲線解題過程中，如使用構造命題法，首先要保證命題的正確。學生在日常學習中需要積累與推導相關命題，這樣在解題時才能快速準確地構造命題。在教學中，為了讓學生學會靈活應用這種方式解題，教師要根據圓錐曲線具體內容帶領學生共同推導相關命題，激發學生的多重思考，讓學生能夠掌握如何在圓錐曲線解題過程中應用構造命題的技巧。要讓學生在課下多嘗試推導，使學生能夠掌握更多有用、正確的結論。為了增強學生應用構造命題解題的能力，教師要多分析具體例題，引導學生在實際解題過程中學會如何正確地構造圖形，塑造學生應用構造命題解題的意識，并讓學生造成用構造命題方法解題的習慣。

解析：設橢圓中心為（x，y），根據題意，有x=2t，y=-t2.消去參數得橢圓中心軌跡方程為f（x，y）=x2+4y=0.由上可知，它關于M（-1，1）對稱圖形的軌跡方程為f（-2-x，2-y）=0， 即（-2-x）2+4（2-y）=0，化為（x+2）2=4（2-y），即為所求的軌跡方程。

點評：由于題中沒有直接給出曲線方程關于一個點對稱的方程式，采用這種構造法，可以很快地打開解題思路，最終解決問題。

（三）構造方程在解題中的應用

在解題過程中，往往題目中并沒有給出明確信息，所以需要學生自己認真分析，將未知的內容轉化為已知內容。通過所構造的函數方程、圖形等分析參數之間存在的某種關系，以此為切入點，正確地解答題目。但是相關方面的題目，具有較大的方程構造難度，學生必須要更多地學習相關技巧，通過多次的訓練不斷積累方程構造方法。為了讓學生擁有更強的方程構造能力，在教學中，教師首先要提高學生的計算能力。解圓錐曲線題目時，通常要經歷繁瑣的計算，應多開展計算方面的訓練，增強學生計算的準確性。比如：構造方程也比較難，教師可以引導學生嘗試聯立方程的計算，讓學生細致觀察并分析其中的規律，從而實現準確、高效地計算。另外，精講具有代表性的題型，帶領學生深入地剖析也必不可少。詳細地書寫方程構造的具體過程，引導學生多多反思、分析的構造方程過程中應當注意哪些問題。比如：在方程構造時，要先明確定義與范圍，這樣才有利于準確地構造方程。

（四）構造函數在解題中的應用

高中生對于函數比較熟悉，進入高中階段學習的函數知識能夠滿足學生的解題需求，在解答相關題目時，也可以嘗試通過構造函數的方式，分析函數的具體性質，并進一步找到參數的最大值、最小值，在具體解題過程中，這種解題方式非常實用。所以，掌握這一構造方法非常必要。在教學過程中，引導學生分清函數性質，學會如何通過函數最值求解，如何開展函數的求導等等知識，在打好基本功之后，可以為學生構造出所需要的函數打下良好的基礎。另外，通常人們會利用構造函數解答題目，而這種解題途徑需要極強的技巧，為了讓學生形成解題的自信心，并充分掌握這一方法，要更加關注相關例題的講解，帶領學生逐漸深入地了解題目內容，探尋相應的突破口幫助學生順利解題，獲得成就感，從而更加積極地鉆研，巧妙地構造函數來解答問題。

（五）構造不等式關系在解題中的應用

不等式知識相對比較抽象，其中涵括了多個知識點，在解答大題時常會應用到不等式這一工具。在解答圓錐曲線試題時，有些題目會讓學生求解參數的取值范圍，通過應用不等式常會獲得良好的效果。所以在教學中，要關注如何構造不等式。首先，要深入、全面地了解相關試題中經常會出現的不等式關系，掌握不等式的定義結論。在使用不等式之前，必須要充分了解掌握參數范圍，使最終的條件屬于取值范圍之內。如果解題時并未應用基本不等式，那么可以多轉換一個角度，通過函數知識解決問題。其次，不等式的構造常常需要更加靈活地知識運用，講解相關知識時，也要以經典題目為例，給出詳細的推導依據，讓學生能夠更加關注不等式構造的嚴謹性及合理性，更加靈活地應用不等式解答題目。

綜上所述，高中生有著較大的課業壓力，學生經常需要面對浩瀚如海的數學題組，所以難免會形成無形的壓力。鑒于此，讓高中生學習構造法有利于其在數學解題中的應用，不僅能夠節省解題時間，而且也能鍛煉高中生的創新能力與思維能力。