信息技術(shù)條件下的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

向引

【摘要】本文將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)與信息技術(shù)有機(jī)結(jié)合，通過兩個教學(xué)課例，說明如何讓學(xué)生主動建構(gòu)知識，并從中獲得數(shù)學(xué)體驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 APOS理論;實(shí)驗(yàn)教學(xué);過程性變式

【基金項目】安徽省教育信息技術(shù)研究2019年度立項課題——信息技術(shù)條件下的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)校本課程的開發(fā)（AH2019341）.

引 言

從當(dāng)前我國中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開展的總體狀況看，中學(xué)階段數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更側(cè)重于教師展示知識的發(fā)展過程，幫助學(xué)生積累感性認(rèn)識，加深理解，充分利用計算機(jī)輔助教學(xué).其實(shí)施的主體是教師而不是學(xué)生，其教學(xué)內(nèi)容與中學(xué)物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)相比，一般沒有穩(wěn)定和相對獨(dú)立的內(nèi)容，因而，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在理論上的重要性不能保證它在課程實(shí)施中，與大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課或中學(xué)的理化實(shí)驗(yàn)課取得平行的重要地位.中學(xué)理化課上，實(shí)驗(yàn)不可缺少，大學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生實(shí)驗(yàn)不能省略，而中學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，被視為可有可無.

2017版課程標(biāo)準(zhǔn)有如下闡述：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性.不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值”.因此，有必要進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的研究.

實(shí)驗(yàn)教學(xué)的軟、硬件條件：

我校高一學(xué)生，每人一臺“智慧課堂”配發(fā)的平板電腦，平板電腦內(nèi)安裝有GeoGebra軟件.

一、APOS理論

杜賓斯基的APOS理論包含四個部分：

（一） “活動（action）”.個體通過一步步的外顯性的指令去變換一個客觀的對象.

（二） 經(jīng)過多次的重復(fù)后，個體內(nèi)化為“程序（process）”心理操作，有了這個“程序”，個體不需要具體操作，而在大腦中實(shí)施這個程序.

（三）將程序作為一個整體處理時，就變成了心理“對象（object）”.在數(shù)學(xué)概念中，概念具有過程性和對象性.概念經(jīng)過個體簡約壓縮后，成為“對象”.

（四）與其他概念相聯(lián)系，形成“圖式（schema）”.

以上的過程，它反映了學(xué)生對概念的思維過程，這與上海青浦教改發(fā)起者顧泠沅先生所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“有層次的推進(jìn)”的理念不謀而合.

二、兩個課例

（一）定積分的教學(xué)

1.“活動”階段

教師介紹數(shù)學(xué)史古希臘圓的面積計算.教師用GeoGebra軟件展示課件：圓的內(nèi)接正多邊形和外切多邊形，邊數(shù)從6到96，用多邊形的面積逼近圓的面積，讓學(xué)生體會“無限細(xì)分，無限求和”的微積分思想.那么如何求y=x2，x∈[0，1]與x軸圍成的面積呢？

2.“程序”階段

學(xué)生打開平板電腦GeoGebra軟件.

在變化中探求不變之理.通過命令框，改變函數(shù)解析式，定義域不變.例如，可以改為y=-x2，y=x2+1等等.通過以上多個函數(shù)的反復(fù)操作、思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同和不同之處.相同的是，上和與下和逼近同一個常數(shù);不同的是，這個常數(shù)可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，甚至可以是0.面積自然不能為負(fù)值.猜測：上和與下和的計算中用到了小區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.

3.“對象”階段

為了讓學(xué)生順利地從“程序”階段壓縮到 “對象”階段，老師板書演示y=x2的“上和”計算過程，得出和式.

學(xué)生類比、歸納得出相應(yīng)的“下和”計算，在實(shí)驗(yàn)報告上寫下y=x2的“下和”計算過程.值得注意的是，受數(shù)列知識的影響，學(xué)生對和式的計算會有困難，但他們可以通過軟件輸入指令迅速得到結(jié)果.

4.“圖式”階段

考查定積分的幾何意義.將它和導(dǎo)數(shù)的概念做比較，導(dǎo)數(shù)是商的極限，定積分是和的極限.

以上過程中，“活動”階段是學(xué)生理解概念的必要條件，學(xué)生感受了定積分思想的雛形.在“程序”階段，學(xué)生有所反思，并思考出共同特征.到了“對象”階段，對其賦予形式化的定義和符號;同時，為了讓學(xué)生更加確定演示結(jié)果，用筆計算“下和”將程序化的過程符號化，以順利壓縮“程序”至“對象”.

（二）函數(shù)y=x+ax單調(diào)性的“分界點(diǎn)”

高一學(xué)生在學(xué)完函數(shù)y=x+1x 后，同學(xué)對函數(shù)的單調(diào)性定義和圖像特征有所認(rèn)識.但是，y=x+ax在0，+∞上的單調(diào)性，由于學(xué)生對單調(diào)性的分界點(diǎn)（極值點(diǎn)）是a感到困惑，如果老師說“由圖像可知”，那么學(xué)生會用具體的函數(shù)圖像歸納，但圖像只是其代數(shù)形式的一種表征，而且學(xué)生在畫圖像時如果僅僅用描點(diǎn)法，那么畫出的圖像就顯得較為粗糙，“形少數(shù)時難入微”.如果老師回答“用高二的導(dǎo)數(shù)知識可求”，學(xué)生的探究的進(jìn)程就會暫時被擱淺，探究的激情也會受挫.因此在學(xué)生現(xiàn)有的知識儲備下，如何有意義的建構(gòu)該極值點(diǎn)為a？

1.“活動”階段

學(xué)生求解方程x+1x=4，在GGB軟件運(yùn)算區(qū)，輸入方程，點(diǎn)擊“求近似解”按鈕，即得近似解.在指令區(qū)輸入y=x+1x與y=4，即得兩個函數(shù)的圖像.類似地，解方程x+1x=2，x+1x=12，得到相應(yīng)函數(shù)圖像.

2.“程序”階段

在活動階段學(xué)生通過方程的輸入和相應(yīng)圖像的建立，經(jīng)過多次重復(fù)，建立起了一套程序，即通過方程的根的個數(shù)判斷兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個數(shù).

讓學(xué)生設(shè)計實(shí)驗(yàn)：方程x+1x=t，當(dāng)t為何值時，方程只有一個根，根為多少？

3.“對象”階段.

（1）當(dāng)學(xué)生能夠?qū)+1x=t化為x2-tx+1=0時，表明學(xué)生可以將以上過程中左右兩邊的變化的函數(shù)壓縮為一個對象，即關(guān)于x的二次方程.當(dāng)該方程有且只有一個實(shí)根時，此時學(xué)生可以從二次方程的判別式求出方程的一個根，得到t的值，進(jìn)而求出方程的根1，

4.“圖式”階段

（1）學(xué)生通過割線來逼近切線的方法，認(rèn)識到了單調(diào)性的“分界點(diǎn)”即為切點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時，y=t為y=x+ax的切線.這種思想可與后續(xù)的“導(dǎo)數(shù)幾何意義”相聯(lián)系.

（2）學(xué)生可以研究得出f（x）=g（x）有實(shí)數(shù)解y=f（x）與y=g（x）圖像有交點(diǎn).

三、總結(jié)

1.對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的思考

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高首要任務(wù)是激發(fā)學(xué)生思考.實(shí)驗(yàn)操作的外顯行為和內(nèi)在的數(shù)學(xué)性質(zhì)會激發(fā)個體產(chǎn)生猜測，并在操作數(shù)學(xué)對象及分析可能的動態(tài)結(jié)果中驗(yàn)證猜測，進(jìn)而產(chǎn)生結(jié)論，形成思考.然而，學(xué)生不容易把握實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)學(xué)性質(zhì)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系而無法形成這種思考模式.因此，在GGB環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過程中，教師適時給予結(jié)構(gòu)性的提示將有助于學(xué)生思考.（例如 “方程的根是成對出現(xiàn)，這和我們所學(xué)的什么方程類似？方程在結(jié)構(gòu)上能否化為二次方程”）

2.關(guān)于實(shí)驗(yàn)工具

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，我們選用了動態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件GeoGebra，學(xué)生可以直接在命令框中輸入命令作圖、計算，實(shí)現(xiàn)幾何圖形與代數(shù)方程的同步變化.另外，GeoGebra還具備符號計算、微積分、統(tǒng)計等功能.在普通高中教科書數(shù)學(xué)系列中（人民教育出版社，2019版）將GeoGebra作為信息技術(shù)處理數(shù)學(xué)問題的首要工具，通過信息技術(shù)，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，同時增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.