在疑問(wèn)中思考 在思考中探究

梁萬(wàn)里 徐高蓉

【摘要】把一個(gè)圓剪拼成和它面積相等的近似長(zhǎng)方形，這是通過(guò)“化圓為方”思想解決圓的面積問(wèn)題.僅用“尺規(guī)作圖”不能把一個(gè)圓化成與它面積相等的正方形.如果不僅僅限于“尺規(guī)作圖”，要把一個(gè)圓剪拼成和它面積相等的近似正方形，是可以完成的.

【關(guān)鍵詞】化圓為方;剪拼;滾動(dòng);尺規(guī)作圖

【基金項(xiàng)目】本文系2017年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題《小學(xué)高段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)研究》（課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2017]GHB0780）的研究成果之一，（本文作者為該課題的負(fù)責(zé)人）

亞里士多德曾說(shuō)：“思維自疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始.”在課堂教學(xué)中，常常有許多學(xué)生隨機(jī)生成的問(wèn)題引發(fā)我們的疑問(wèn)和思考.

在一次“圓柱的體積”教學(xué)研討課上，授課教師給同學(xué)們提出了一個(gè)問(wèn)題：“同學(xué)們，上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了圓的面積，大家回憶一下，圓可以剪拼成哪些和它面積相等的圖形？”同學(xué)們踴躍發(fā)言，有的說(shuō)，“圓可以剪拼成和它面積相等的平行四邊形”，有的說(shuō)，“圓可以剪拼成和它面積相等的長(zhǎng)方形”，還有一個(gè)同學(xué)說(shuō)，“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形”.老師聽(tīng)完同學(xué)們的發(fā)言后，說(shuō)大家回答得都很好，接著就進(jìn)入了下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).聽(tīng)到最后這名同學(xué)的發(fā)言，作為聽(tīng)課老師的我當(dāng)時(shí)一頭霧水，“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形嗎？”是授課老師當(dāng)時(shí)沒(méi)聽(tīng)清楚，還是老師不懂?dāng)?shù)學(xué)史知識(shí)？對(duì)于這么好的課堂隨機(jī)生成的資源，老師為什么不進(jìn)一步追問(wèn)和評(píng)判呢？為了搞清楚這個(gè)問(wèn)題，在課后我問(wèn)那位授課教師，學(xué)生說(shuō)“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形”，你為什么不進(jìn)一步追問(wèn)怎么剪呢？怎么不評(píng)價(jià)呢？她說(shuō)當(dāng)時(shí)為了趕課，也沒(méi)細(xì)想，圓是否能剪拼成和它面積相等的正方形，她也不清楚.我又好奇地去問(wèn)那名學(xué)生，你在課堂上說(shuō)，“圓可以剪拼成和它面積相等的正方形”，圓怎么剪成和它面積相等的正方形呢？你是怎么剪的.我原以為他有辦法，結(jié)果在我的一再追問(wèn)下，他面露為難情緒，說(shuō)是他隨口說(shuō)的，他根本不知道怎么剪.可見(jiàn)，在課堂上有時(shí)候?qū)W生為了表現(xiàn)自己，為了配合老師的教學(xué)，活躍課堂氣氛，隨口說(shuō)出的一句話，引起了我深深地思考.圓到底能否剪拼成和它面積相等的正方形呢？作為老師，我們有必要認(rèn)真分析研究一下.

首先我們要知道數(shù)學(xué)史上的一個(gè)歷史事實(shí)，只用直尺（沒(méi)有刻度）和圓規(guī)作圖，“化圓為方”是不能完成的，即把一個(gè)圓做成與它面積相等的正方形，僅用直尺和圓規(guī)作圖是不能夠完成的.這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上三個(gè)不能用尺規(guī)作圖完的著名問(wèn)題之一，即“化圓為方”問(wèn)題.另外兩個(gè)不能用尺規(guī)作圖的問(wèn)題是“三等分角”問(wèn)題和“倍立方”問(wèn)題.“化圓為方”這個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，早在2400年前的古希臘人就已經(jīng)提出來(lái)了，在隨后的幾千年中，無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者苦苦探索，希望能用尺規(guī)作圖把一個(gè)圓做成和它面積相等的正方形，有的還給出了具體的作圖方法，但到最后都被數(shù)學(xué)家證明是錯(cuò)誤的.數(shù)學(xué)家苦苦探索了幾千年，直到1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后，“化圓為方”才被證明為尺規(guī)作圖不能完成的問(wèn)題.

在人民教育出版社編著的新人教版（2013）小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，在六年級(jí)上冊(cè)第五單元講“圓的面積”這一課時(shí)，老師讓學(xué)生用剪拼法把圓剪成面積相等的小扇形并拼成一個(gè)和它面積相等的近似平行四邊形，隨著剪的扇形的份數(shù)越來(lái)越多，拼成的圖形越來(lái)越近似于一個(gè)長(zhǎng)方形.（如圖1）這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)近似于圓的周長(zhǎng)的一半，等于πr，寬近似于圓的半徑，等于r.因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬，所以圓的面積等于πr×r=πr2.這就是小學(xué)教材所謂的“化圓為方”，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作活動(dòng)，用剪拼這個(gè)方法把圓這個(gè)曲邊圖形轉(zhuǎn)化成直邊圖形，借助圖形直觀，用轉(zhuǎn)化方法解決了圓的面積問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化思想和極限思想.而這個(gè)“化圓為方”與數(shù)學(xué)史上的“化圓為方”絕不是同一個(gè)概念.

如果按課堂上那名同學(xué)的想法我們進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，假設(shè)一個(gè)圓能剪拼成一個(gè)和它面積相等的正方形，那么就會(huì)有πr=r，移項(xiàng)得（π-1）r=0，根據(jù)兩個(gè)因數(shù)乘積為0，必有一個(gè)因數(shù)為0，要么r=0;要么r≠0，π=1，無(wú)論哪種情形都是錯(cuò)誤的.可見(jiàn)，根據(jù)六年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，說(shuō)把一個(gè)圓剪拼成一個(gè)和它面積相等的正方形是沒(méi)有經(jīng)過(guò)思考隨口說(shuō)出的，是經(jīng)不起追問(wèn)和推理的.

那么，如果要把一個(gè)圓剪拼成和它面積相等的正方形，就沒(méi)有辦法了嗎？作為老師，我們要認(rèn)真研究思考并回答這個(gè)問(wèn)題，把在課堂上出現(xiàn)的疑問(wèn)認(rèn)認(rèn)真真解決好，這樣既能進(jìn)一步提升教師的專業(yè)素養(yǎng)，又能不斷豐富厚實(shí)我們的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化知識(shí).我仔細(xì)查閱有關(guān)資料，經(jīng)過(guò)深入學(xué)習(xí)研究思考后，發(fā)現(xiàn)辦法確實(shí)是有的，而且很多，下面我僅提供三種方法供大家思考.

方法一：割補(bǔ)法（如圖2）

這種方法就是在圓的內(nèi)接正方形和圓的外切正方形的中間找一個(gè)正方形，逐漸調(diào)整正方形的大小，使它的面積與圓的面積相等.

因?yàn)槲覀冎溃粋€(gè)圓的面積總比它的內(nèi)接正方形的面積大，總比它的外切正方形的面積小，所以對(duì)于圓這種曲邊圖形來(lái)說(shuō)，和這個(gè)圓面積相等的正方形只有在圓的內(nèi)接正方形和外切正方形中間找，這是一種最容易想到的最直接的方法.我們不斷調(diào)整正方形的大小，使得圓多出正方形的每一個(gè)小弓形的面積恰好等于正方形每一個(gè)角多出圓的面積.這樣，把每一個(gè)小弓形剪下來(lái)割補(bǔ)到正方形每一個(gè)角，使得它們的面積恰好相等，這樣圓的面積就等于正方形的面積，我們就完成了把一個(gè)圓剪拼成和它面積相等的正方形.

這種方法和中國(guó)古代的“出入相補(bǔ)”一樣，經(jīng)過(guò)分割和移補(bǔ)，把圖形多出的面積正好移到需要補(bǔ)的地方，使得多出的面積與補(bǔ)的部分的面積相等，雖然圖形的形狀發(fā)生改變但是面積保持不變.這個(gè)方法有一個(gè)缺點(diǎn)，要想使得圖中正方形多出的每一個(gè)弓形的面積恰好等于正方形里面每一個(gè)角多出圓的面積，只能通過(guò)不斷剪拼與調(diào)整，需要重復(fù)操作好多次才能完成，并且有一定的誤差.

方法二：剪拼法+尺規(guī)作圖法（如圖3、4）

這種方法就是按照小學(xué)課本上的方法，先把一個(gè)圓剪成很小的扇形，再把這些小扇形拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，再用尺規(guī)作圖把這個(gè)長(zhǎng)方形做成和它面積相等的近似正方形.

具體做法如下：

1.作線段AD等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（πr）;

2.延長(zhǎng)AD至E，使DE等于長(zhǎng)方形的寬（r）;

3.以AE為直徑作圓;

4.過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線段交圓于點(diǎn)H，連接AH，EH;

5.以DH為邊作正方形DHGF.

則正方形DHGF為所作的與原來(lái)的圓面積相等的近似正方形.

為什么正方形DHGF的面積與原來(lái)的圓面積相等呢？其實(shí)道理很簡(jiǎn)單，只要學(xué)過(guò)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)就能聽(tīng)懂.因?yàn)橐訟E為直徑作圓，DH垂直于AE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以三角形AHE為直角三角形.根據(jù)射影定理，DH2=AD×DE，即DH2=πr×r=πr2.以DH為邊作正方形DHGF，說(shuō)明以DH為邊作的正方形DHGF的面積（DH2）就等于πr2，所以，正方形DHGF的面積與原來(lái)的圓面積相等.不過(guò)，這個(gè)面積相等也是一種近似的相等，因?yàn)樵陂_(kāi)始把圓剪拼成長(zhǎng)方形時(shí)存在一定的誤差，盡管后面的尺規(guī)作圖是嚴(yán)格的幾何作圖，但仍然是一種近似的面積相等.

方法三：滾動(dòng)法+尺規(guī)作圖法（如圖5、6）

這種方法就是先滾動(dòng)直徑為1個(gè)單位的圓一圈，做出π，再用尺規(guī)作圖法做出正方形.

具體做法如下：

1.作線段AD等于圓滾動(dòng)一周的長(zhǎng)（π）;

2.延長(zhǎng)AD至E，使DE等于1[]4個(gè)單位長(zhǎng);

3.以AE為直徑作圓;

4.過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線段交圓于點(diǎn)H，連接AH，EH;

5.以DH為邊作正方形DHGF.

則正方形DHGF為所作的與原來(lái)的圓面積相等的近似正方形.

道理與方法二相近.因?yàn)橐訟E為直徑作圓，DH垂直于AE，所以三角形AHE為直角三角形.根據(jù)射影定理，DH2=AD×DE，即DH2=π×1[]4=1[]4π.以DH為邊作正方形DHGF，說(shuō)明以DH為邊作的正方形DHGF的面積（DH2）就等于1[]4π，而直徑為1個(gè)單位的圓的面積就是1[]4π，所以，正方形DHGF的面積與原來(lái)的圓面積相等.這個(gè)面積相等也是一種近似的相等，因?yàn)樵陂_(kāi)始把圓滾動(dòng)時(shí)作π存在一定的誤差，盡管后面的尺規(guī)作圖也是嚴(yán)格的幾何作圖，但仍然是一種近似的面積相等.

以上三種作圖方法，都可以把一個(gè)圓做成和它面積相等的近似正方形，都已經(jīng)超越了尺規(guī)作圖的限制，達(dá)到了“化圓為方”的目的.并且后兩種幾何作圖應(yīng)用了初中的“射影定理”，超出了小學(xué)生的認(rèn)知水平.

把一個(gè)圓做成和它面積相等的正方形，是數(shù)學(xué)史上的著名問(wèn)題，僅僅使用直尺（沒(méi)刻度）和圓規(guī)是不能完成的.因?yàn)閳A周率π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，算出圓面積后進(jìn)行算術(shù)平方根運(yùn)算，最后得到的正方形的邊長(zhǎng)仍然是無(wú)理數(shù).因?yàn)闊o(wú)理數(shù)不可能用尺規(guī)精確做出它在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)的，這就是為什么一個(gè)圓不能用直尺和圓規(guī)做成和它面積相等的正方形的原因.

數(shù)學(xué)課是最能培養(yǎng)學(xué)生思維能力的課，在數(shù)學(xué)課上出現(xiàn)的與預(yù)設(shè)不同的隨機(jī)生成的問(wèn)題是一種很好的教學(xué)資源，老師要善于捕捉這種資源并利用它為我們的教學(xué)服務(wù).作為老師一定要養(yǎng)成善于思考的習(xí)慣，在學(xué)生有疑問(wèn)的地方多一些思考，在思考時(shí)多一些探究.要挖掘每節(jié)課的廣度和深度，既要關(guān)注備課的預(yù)設(shè)，又要考慮課堂上隨機(jī)生成的問(wèn)題，要能在學(xué)生的問(wèn)題中深挖數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，透過(guò)問(wèn)題把我們的課堂教學(xué)進(jìn)一步引向深入.在課堂上要加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練，有效滲透數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化知識(shí).只有這樣，我們的課堂教學(xué)才能不斷促進(jìn)學(xué)生深度思考，學(xué)生的思維品質(zhì)才能不斷提升，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能真正在課堂落地生根.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京： 高等教育出版社，2000.

[2]董毅.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012.